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1、鲁棒优化模型和最优解解法毕业论文毕业论文鲁棒优化模型和最优解解法摘要这项研究涉及在不确定条件下的生产线平衡，并提出两个鲁棒优化模型。假设了不 确定性区间运行的时间。该方法提出了生成线设计方法，使其免受混乱的破坏。基于分 解的算法开发出来并与增强策略结合起来解决大规模优化实例。该算法的效率已被测 试，实验结果也已经发表。本文的理论贡献在于文中提出的模型和基于分解的精确算法 的开发。另外，基于我们的算法设计出的基于不确定性整合的生产线的产出率会更高， 因此也更具有实际意义。此外，这是一个在装配线平衡问题上的开创性工作，并应该作 为一个决策支持系统的基础。关键字：装配线平衡； 不确定性；鲁棒优化；组

2、合优化；精确算法1.简介装配线就是包括一系列在车间中进行连续操作的生产系统。 零部件依次向下移动直到完工。它们通常被使用在高效地生产大量地标准件的工业行业之中。在这方面，建模 和解决生产线平衡问题也鉴于工业对于效率的追求变得日益重要。生产线平衡处理的是分配作业到工作站来优化一些预定义的目标函数。 那些定义操作顺序的优先关系都是要被考虑的，同时也要对能力或基于成本的目标函数进行优化。就生产（绍尔，1999）产品型号的数量来说，装配线可分为三类：单一模型（SALBP）， 混合模型（MALBP）和多模式（MMALBP ）。在混合模型线和类似的生产流程中的同一 产品的几个版本都需要他们。凡生产流程有明

3、显不同的生产线都需要计划并被称为多模 型生产线。从整体上对单一模型的装配线来说，对于一种均匀的产品的制造，就会有两个基本 能力取向的问题：在给定一个所需的周期时间内最小化工作站的数量，所有这是由工作 站时间的最大值（SALBP1 ）中所定义；或在给定的工作站数目下最小化周期时间（SALBP2）。结合两种构想和优化工作站的数量和周期时间的效率问题 （SALBP 2），也 经常被研究。在现实生活中，装配过程中受到各种不确定性来源的影响，如操作时间的可变性、资 源使用或可用性。这些变化威胁到装配目标和避免它们造成的损失是至关重要的。在这 些资源中，操作时间的变化是重要的，特别是对于包含手动操作的生产

4、线。 在大量变化的 情况下，生产管理是昂贵的（生产线停工，工人的再分配，加班、短缺，等等）。在这方面, 本研究着重于预防这些成本的产生。为此,我们制定了鲁棒SALBP-2在这个问题中,工 作站被认为是预先确定的数量，因此变化影响生产周期和生产率。开发一个算法来分配 操作工作站，使其有可能在定义的最小周期内完成。因此，即使面对突发事件也能表现 良好的更可靠的装配系统将会被设计出来。我们强调，这项研究既有助于装配线设计的理论也有助于其实践。 从理论上讲，这是 第一篇将鲁棒优化理念应用在模型上和避免在生产线产生中断的文章 ，。此外,弯管机分 解并不常用来解决平衡问题。事实上,绝大多数的研究使用动态规

5、划，分支界限法或启发 式方法。另一方面，在实践中，在汽车，机械和电子行业的不同公司可能受益我们的模型和 算法从而建立可靠的装配生产线。此外，我们的算法具有不需要综合历史数据或概率分 布的优势；在许多行业中，以前的可靠的数据可能不能用来估计运行时间的概率分布，特别是对新的生产线来说本文的其余部分安排如下。第2部分就相关问题和生产线平衡方法和模型的文献和 对不确定性的规避做了总结。第3.1节和3.2节分别叙述了确定性的数学模型和鲁棒问 题。为了解决争用问题，分解算法是在第 4节表达，实验分析和计算结果在第 5节，。最后，第6节则给出了结论和未来研究的角度。2相关文献为了使SALBP-2最优，绍尔和

6、克莱因（1996）提出了一个分支定界算法，而学士学 位urdag等（1997）开发了近似算法。Goksen和Agpak（ 2006）随后提出了一个多准则 决策方法及制定了目标规划模型，U型线。然而，Simaria和维拉里纽（2004）强调了 混合模型，具体MALBP-2生产，并得出与遗传算法的近似解。奥兹坎和 Toklu（2009）提出了一个数学模型和模拟退火算法来平衡双面线路。 多桂等研究了一个生产线平衡不同的扩展和最低成本目标下合并设备的选择（2012）。对所有问题的分类方案和代表性的论文通过百胜等人提出（2007年）。我们也参考 了读者舍尔和Becker（ 2006）,百胜等人的调查和

7、Battaia Dolgui （2013）其他有关问 题和模型。需要注意的是生产线平衡的研究论文的大部分假设所有数据的完全了解。但是，在今天，为了达到输出目标对不确定性的来源保障机制的整合是至关重要的， 。为了这个目的，我们可以使用鲁棒优化，这是那些模型不确定性和影响的基础优化方法之一，正 如随机规划，灵敏度分析，参数规划和模糊规划一样。在这些方法中，随机规划被广泛应用，因为它是一个使用概率分布来描述不确定的 数据的功能强大的建模系统。它同样也被应用到生产线平衡，但我们再次强调，随机的 方法只有在准确的概率描述下是适用的。最近已经吸引了许多研究者关注的另一种替代方法是模糊规划。 它采用模糊数字

8、和通过模糊集隶属函数，而不是随机变量的定义产生的约束。隶属函数可能会允许一些约 束违反和衡量约束补偿。它也应用到生产线平衡。敏感度分析或稳定性有所不同，因为它在本质上是反应性的，不适用于在建模阶段 的不确定性。Sotskov和Gurevsky等研究了解决生产线平衡问题的方案， 并得出在加工时间的微小变化下保持最优的预先解决方案的充要条件。他们进行了事后最优性分析， 而我们在处理时间模型的可变性，并得出鲁棒问题的最优解（ S）。鲁棒优化考虑最坏情况下的绩效，并寻求那些在最坏的情况表现良好的解决方案。最常见的鲁棒模型是最小最大化模型和极大极小遗憾模型。 该最小最大模型是在所有情况下最小化最高费用。

9、Kouvelis和Yu（ 1997）全面地讨论它们并将它们应用于宽范围 组合优化问题之中。最小最大后悔模型寻求最小化最大的遗憾，这就是解决方案的成本和在所有的情况中最优方案的差别。他们常被用来模拟鲁棒版本的组合优化问题：比如 最小生成树问题，一些生产线平衡问题。最小最大化模型和极大极小遗憾方法是悲观的， 所以他们可能在很多情况下表现不佳。为了避免过度悲观，Bertsimas和Sim建议了一种限制不确定的方法，该方法中在 所有系数子集得到他们的上界值。使用这种限制不确定性的方法， Hazir得出多模式项目调度的优化模型。其在生产线平衡中的应用都是十分新的。 Al-e hashem提出了一个混合模

10、型生产线（MMALBP的构想。Gurevsky （2012年）制定了鲁棒SALBP-1,并提 出了分支定界求解算法。近日，纳扎里安及高（2013年）调查了决策制定者的保守程度 与生产线设计之间的关系；不同的是，他们把研究重点放在车间的非生产时间的分析。3.问题与模型3.1确定性的单一模型数（工作地总操作时间，方程（3）前提下的最小化周期时间（方程（1）, 一个工作(1)Min C在上述配方中，二元决策变量Xjk分配操作j站到k （式（5）。图G = （ N，A ），其中N为节点集和A N N是一组弧，操作的是模型的优先级关系。此外，以下参数是必需的，以消除多余的优先级约束：在操作 j可以被执行

11、（ESj和LSj）的最早和 最晚工作站，工作站区间（SIj=ESj , LSj）和设置操作分配到台站k（Mk = j: k SIj）- -1 - -1ES厂 1( tj + 瓦 t)/CJ J 1LSj=K+1- ( tj S/C*丨云Pj*底Fj值得注意的是，本文这些参数的设定需要定义一系列前提条件( P；和F；)和设定周期时间C的上限我们使用两个鲁棒优化模型和现在的精确解算法制定了鲁棒SALBP-2 (RSALBP-2 )。3.2 鲁棒 SALBP-2 ( RSALBP-2)。在本节中，我们提出一个考虑操作时间变化的模型。当考虑到变化时，时间周期不 可避免地会比不考虑变化的确定性解决方案要

12、长，。然而，在这一点我们的主要目的是 保持尽可能小的增加。接下来，我们指出如下的鲁棒方法：考虑到操作时间的区间不确定性，不确定的时间由 t j定义，可以在其标准值和上 限值之间取值，也就是t j - 11 j, t j ，j=1，n。假定标准值tj是逼近时间，以此 降低观察到较低涨幅的可能性。这样看来，随着误差的增加，操作 j面临的风险也可能 增加了。我们第一个问题的解决借用了 Bertsimas和Sim (2003)的方法，而第二个问题则遵 循了一种新的方法。应该注意到的是， RSALBP-2问题的两个版本都是非确定性难题，因为作为因为一种特殊情况的 SALBP-2也是非确定性困难问题。3.

13、2.1问题1在这个问题中，只有操作-分配给有变化的工作地。当-=0时，操作时间的变化 所带来的后果被忽略，并且确定性问题标准时间值( SALBP-2被获得。相比之下，这个参数的高值表明风险规避行为。极端的情况下成为一个极大极小优化问题。这个鲁棒 版本的组成如下：Mi nC (6)服从于 tjXjk - g(x)C k=1，下 (7)j- Mk和方程(2)，(4)，(5)g（x） Max djXjkUjk： Ujk , Ujk 0,1 （8）j创k j创k在这个模型中，g/x）定义了每个工作站的最大时间偏差 k。该组操作须遵守该二进 制向量u,即j: Ujk = 1 - k。正如上面提到的，这些

14、操作会有等于上界的操作时 间。然而,使用参数丨总可能的偏差是有界的，这也反映了决策者的悲观情绪程度。因为 随着丨变得更大,会考虑到更大数量的偏差。尽管问题1包含操作时间的不确定性，它却没考虑操作分配给工作站的数量和对不 确定性的影响。不管是什么任务，考虑每站最坏的情况下的最多丨操作。然而,作为一个 工作站处理更多的操作，因为每个操作都涉及风险，总偏有可能会高更。在下一节中 ，取决于操作的数量总偏差说我一个新问题将被讨论。3.2.2问题2不同的是，这第二个问题，假设在工作站上的操作顶多有 h%可以在上限取值。因此，由方程（8）定义的偏差函数组成如下：g k（x） Maxp djXjkUjk: U

15、jk Xjk，Ujk 0,1，- k （ 9）jWk j讯k jk表1.表示从A到N的例子在右边的，分配给工作站k的操作总数被表述出来并且其中至多有 h %被考虑到。这 种方法的一个优点是，关于工作站数量分布的可变性将不知不觉地减少 ，因为工作站处 理的操作由函数gk（x）约束。为了说明问题1和2,我们给出具有K=3的工作站的单一流水线。图1中的节点网 络图显示的具有代表性的活动优先关系。上面显示的节点显示了标准执行时间和上界 值， _ -在表1中，3是可行的解决方案，FS1, FS2和FS3与一个确定的（:=0）和两个 鲁棒问题（丨二1和h= 0.5 ）进行了比较。每一行都指定一个解决方案。

16、第一列，标 记为负载，表示出了操作（N =1, . ，9）到工作站（K= 1, 2, 3）的分配。第二个， （丨=0）表示出了每个机器k确定的工作站的时间（ST和每个循环得到的时间。对于 鲁棒的问题，偏差（gk）和循环时间（参见方程（8）和（9）给出。最好的解决方法 标有符号“芋”。注意，在问题1中至多有一个操作的持续性是不确定的；然而，问题 2中则大几乎 有一半都是。对于确定性问题，FS2（9比10）有最低的周期时间。然而，对于鲁棒问 题1，FS1是最好的（12比13），这是因为，在确定性的情况下被忽略的操作 5的偏差相对来说较高。尽管如此，FS2和FS1在问题1中有相同的目标函数值，FS3

17、则在问题2中明显占 优势。因为它包含一个有四个操作的工作站，其中 0.5 4=2被认为是有风险的。其结 果是，计算偏差将会更高而我们的鲁棒方法将永远不会把 FS3作为候选方案。总结起来, 这个例子告诉我们，每一种方法（确定性或鲁棒的）可能会产生不同的解决方案。第二, 我们观察到，当考虑到不确定性因素时，一条线在确定性的情况下的分配做得不错的（FS）可能会导致不可接受的周期。4解决方法偏差公式（方程（8）和（9）要求参数Mk被定义。然而，对于鲁棒模型来说，这个参数需要一个有效的上界。接下来，我们要为 RSALBP-2制定严格的上界，和介绍基于分解算法的解决方案。在算法的每一次迭代中，较宽松的问题

18、被解决了。因此对于下 界（LB）来说，在非降迭代的次数中则会产生。此外，上界也因更好的解决方案而得到 更新。4.1鲁棒模型的上界肖勒在1999年使用相关的并行多机调度问题，提出 SALBP-2的两个上限。第一个 约束忽视了优先关系。第二个是基于优先关系的解决方案。由于在鲁棒问题中，一些执 行时间大于其标准值，这些范围对于 RSALBP-2是无效的。对于SALBP-2给定一个由Cd 表示的上限值，我们用Cr来定义RSALBP-2的上限值。下面，我们将使用两个步骤来介 绍。此过程假定具有操作的至少需要 Cd时间单位然后再根据最坏情况情况对偏差进行 了计算。表1.从额模型中的点得到的三个可行方案负载

19、:=0:=1二=0.5FSK=1K=2K=3ST1ST2ST3Cg1g2g3Cg1g2g3C11,2,34,5,67,8,910791024312 24312*21,3,42,5,67,8,98999 243132431333,4,5,61,2,78,991071043213732161.初始约束：首先，忽略优先级约束和设置将会在第二部中使用的初始上限具体步骤如下：2.通过集成有限关系进行改进：第一步假定具有最大可能性的偏差的操作将会在同一工 作站被处理。然而，当优先约束被集成后，它们将会在装配的不同阶段被处理，一些是 在开始，一些则会在最后，考虑到这些，我们建议了以下更加严格的约束：+ Kl

20、 力 为映：工炊冬匚吗皿I I ） 曰如口）鲁棒问题的所有参数ESj，LSj，Slj和Mk将会由Cr也就是ES（ Cr ）计算出来。这 个约束对于问题1和问题2都是有依据的。然而，对于问题2来说，我们考虑到了最坏 情况并且将丨作为每个操作的最大值分配给工作站：F =日（n-K+1） （10）4.2分解算法首先我们给出一个算法来解决问题1，其次我们来解释怎样改进这个算法使之解决 问题2.在方程（8）中，gk（x）是一个具有飞空可行解的渐缩问题。松弛线性规划有二 进制松弛最优解。用 “（x）定义的多面体可以由一个已制定顶点的凸集合计算出来，因此，使用方程（11），模型1就可以由以下方程表示:(12

21、)Min Cc f j冷+匸厲呱为4 k = 1 匕/ = 1,丄（/t）（13）和方程（2）, （4）, （ 5）使用重组后的方程（13）, 一种奔德斯分解算法可以用来精确地解决这个问题。这 种方法可以通过把问题分解为一些简单的小问题用来解决大规模的线性规划和集成问 题：主要问题和次要问题。主要问题是来解决松弛类型的和给整数变量和最小值的上限 集成实验值。次要问题时指那些整数变量暂时不变的一类问题。在双次要问题中插入可 行解和最优解，当可行解得到满足时，分解主要问题就会得到上限值。直到上限值和下 限值收敛时，只要问题和次要问题才会迭代求解。因此，射线和极值点，可行性和最优 解会根据需要产生。

22、奔德斯分解在组合优化中得到广泛的使用， 它的高效性在各种项目调度相关问题和网络优化问题中显示出来。我们注意到线平衡问题有共同的结构 ，特别是在资源受限的项目调度中。我们注意到，它也可以很好的解决生产线平衡问题。 对应于解决RSALBP-2 来说，由于当前存在的两个相关优化问题（第一个问题时由方程（ 6）和方程（7）定义的，第二个最需要在方程（8）中解出g（ x）的复杂性，分解方法就是十分适合的。奔 德斯分解遵循迭代的方法，并在每一次迭代后，较简单的问题都解决了。 指数t用来表示迭代t。1以初始解法开始0 = 0，那么（不可见问题）X，=心 nxX： W 匚肿、V（iJ）:划 0否则解决次要问题

23、sp2（xt）设k*是具有最大负荷的机械和ut是最优解 如果 Ctzt-1X = Xi 少叫 + 町%） 否则，停止并将xt作为最优解输出。结束3.解决主要松弛问题Mpt: Zt=Mi n C X；：让xt作为最优解。4.t = t+1， xt =xt-15.返回到步骤2该算法解决了在每个迭代过程中的两个子问题 （SP1和SP2）。SP1是一个可行性检 验问题（关于优先级限制）并产生可行性削减。然而 SP2则发现了最大负荷机器，它定义周期时间和产生了最佳路径。请注意，SP1包含一些可行性的辅助变量， yj，也就是说，如果可=0，- （i，j） A， Ct和Zt分别为上限和下限。4.3解决问题2

24、之前为问题1设计的算法对于问题2来说并不适用，因为不确定变量的数目不是固 定的（每个工作站不是）。这取决于随着得带过程而改变的分配给工作站的总数。因此，我们给悲观水平模型引进了一个新的函数。首先，重组后的方程（ 9）如下所示卜 Vk(14)j毛叭 J丿接下来，对于每个迭代t,定义了以下函数：z （r, k） = 乂兄h , k = 1,K(15)通过函数-（t，k）解决了 s后，接下来的不等式如下:-t然而，论文不等式当且仅当在最优解中， 每个机器k包含至少j.xjk个操作，以保证这个条件以下约束插在每次迭代t中匸1 + /川丄)冷_|”苗+ /疋加yrk(17)jMt 隊-切 w Myrk(

25、18)另应-谢十1 WM(1 -yft)(19)ytk 0,1 （20）-1在每步迭代中，如果机器k在最优解中至少包含V j“xjk个操作，那么为了使ytk等于0，一个二进制的变量ytk和分离约束方程（18）和（19）被插入，否则，它就会等于1而且方程（17）就会变得多余。参数M被定义为一个较大的数字而且设定为 n-k+1值得注意的是尽管方程（8）和方程（9）是非线性的，但是因为变量x在每一步迭 代中时固定的，因此该算法插入了线性不等式。这就是我们迭代算法的优势。另一个好 处就是，无论是可行解还是最优解路径都会随需要增加， 由于奔德斯分解收敛速度较慢，一些加速机制被加到该算法以加速该算法。43

26、1算法改进在每一次迭代中，主要问题通过迭代的次数和时间来解决主要取决于效率。此外，从一个紧UB关键限制搜索空间。考虑方面的论文，下面的增强策略建议。此外，对搜 索空间的限制需要一个较紧的上限。考虑到这些方面，下面的提升策略被提出来。1.多重路径：为了减少迭代的次数，我们将多重路径插入迭代的每一步中。我们决定mt个工作站和在迭代t中添加mt个最优路径而不是是在迭代t中添加最优路径。根据工 作站书进行分类，ST、在周期时间中，那些执行时间超过 100 %的工作站被称为关键 站，也就是CS5 kiSTkC，和mCSt，其中CSt和Ct分别定义在迭代过程t中 的关键工作站和周期t。请注意，关键工作站可

27、能是在随后的迭代过程中定义周期时间的。在工作站次数变化非 常低的情况下，插入多重路径是十分值得的。这在操作次数变化较低的情况下是十分常 见的，通过使用一些数据进行测试，如 二1 0.85,0.90,0.95,0.97,0.99：，最好的结果就可以得出为 =0.952.使用近似算法：为了得出路径，所有主要问题的迭代都不需要得出最优结果，因为每 个组要问题都是在近似的情况下解得的松弛答案，每个解决方案产生有效可见性和 最优路径。因此，对于较大的例子，在缩短方案中产生解决路径是有效的。这就是说，通过在对公差等级 1, ,，5实验后得到的相对优化公差等级 3可以用来解决 主要问题。分支定界算法在每一次

28、迭代和现有的解决方案中截断，所有这些是保证 在3%的最优值。如果最后主要问题迭代得到最优并且产生了可行解，那么解决方案 就是最优的。3.较严格上限：之前的上限是在4.1部分中描述出来，这个界限是用较严格的上限来开 始的。除此之外，在每次迭代结束时就会获得一个上限，这个上限被用来消除变化 和降低问题的规模。5.实验结果为了检测得出的算法，由肖勒和贝克尔提出的 SALBP-2的随机实例的子集被使用。我们考虑的测试中的子集包含有 29-70个操作的规模。更重要的是，为了精炼鲁棒模型, 两个额外的参数被使用到：鲁棒层次的和二以及通过间隔长度定义的非确定性因子 非确定性因子是在统一分布间隔0.1,0.5

29、之间产生的。也就是说dj =tj与0.1,0.5o 其结果是，操作时间的间隔长短取决于正常时间，但是他们对于每个操作来说是随机生 成的。该算法在奔腾IV电脑（3 GHz的2.5 GB的内存）上运行和用C编程语言编写的。 优化软件CPLEX9是用来解决整数规划。中小型实例可以得到最优解决，但是对于较大 的例子，在第431节的解释的基于截断近似算法是一个很好的选择。首先，我们探讨-对计算的影响。图2显示的是以特定问题的实例 N =35和K=6 为代表的结果；类似的模式在所有实例背观察到。具有非常低或非常高的 -更快地解决 案件，因为该问题直达确定性问题。最高的计算时间可以再这之间观察到。问题1的结

30、果在表2中表述出来，其中有操作数、工作站、以及当丨=3时用来解决 实力的平均最长CPU运行时间。计算上的工作站数有显著作用，这是因为由于决策变量的数目与工作站的数量增 加。对于给定的数据集（哈恩），结果为确定性和鲁棒模型在表 3中表示出来。比较平 均CPU时间，我们就可以得出结论：解决鲁棒问题（丨=3, =0.5 ）需要较大的计算量， 因为在这个算法中需要更多的迭代和额外的优化路径。图2在CPU时间上悲观层次的影响表2对于问题1的标杆测试作者nK#1 nstCPUminCPUavgCPUmaxBuxey297-1485201992.633367Gun ther356-15101152815.5017.702Hah n533-1089552.501630Killbridge453-1196623082.7865.212Lutz1328-1253131217.601716Sawyer307-148184211367.7531.362Tonge703-64222275.257653