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1、新编基础物理学上册5新编基础物理学上册5第五章 5-1 有一弹簧振子，振幅A?10?2m，周期T?，初相?3?/4.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。 分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。 解：振动方程为：x?Acos?t?Acos代入有关数据得：x?2?t?振子的速度和加速度分别是： 2?t? T3?(SI) 43?(SI) 43?a?d2x/dt2?2cos2?t?(SI) 4v?dx/dt?sin2?t?5-2若简谐振动方程为x?20?t?/4m，求： 振幅、频率、角频率、周期和初相； t=2s时的位移、速度和加速度. 分析 通过与简谐振动标准方程

2、对比，得出特征参量。 解：(1)可用比较法求解.根据x?Acos?t?20?t?/4 得：振幅A?，角频率?20?rad/s，频率?/2?10s?1， 周期T?1/?，?/4rad t?2s时，振动相位为：?20?t?/4?(40?/4)rad x?Acos?，?A?sin?，a?A?2cos?2x得 x?,?/s,a?279m/s2 5-3质量为2kg的质点，按方程x?5t?(?/6)(SI)沿着x轴振动.求： t=0时，作用于质点的力的大小； 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置. 分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。 解：跟据f?ma?m?2x，x?

3、5t?(?/6) 将t?0代入上式中，得：f? f?m?2x可知，当x?A?时，质点受力最大，为f? 5-4为了测得一物体的质量m，将其挂到一弹簧上并让其自振动，测得振动频率?1?；而当将另一已知质量为m的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为?2?设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量. 分析 根据简谐振动频率公式比较即可。 解：?12?k/m，对于同一弹簧采用比较法可得：?1m ?2m解得：m?4m 5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A?10?2m，周期T=，当t=0时， 物体在正方向端点； 物体在平衡位置，向负方向运动； 物体在x?10?2m处，向负方向运动； 物体在x?10

4、?2m处，向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。 分析 根据旋转矢量图位移和速度确定相位。进而得出各种情况的振动方程。 解：设所求振动方程为：x?AcosA旋转矢量图可求出 2?t?4?t? T?1?0,?2?/2,?3?/3,?4?2?/3 题图5-5 x?4?t(SI)x?4?t?x?4?t?2(SI) 2?(SI) 3?3(SI)x?4?t?5-6在一轻弹簧下悬挂m0?100g砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂m?250g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度.选x轴向下，求振动方程. 分析 在平衡位置为原点建立坐标，初始条件

5、得出特征参量。 解：弹簧的劲度系数k?m0g/?l。 当该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：x?Acos?t? 角频率为?k/m代入数据后求得?7rad/s 以平衡位置为原点建立坐标，有：x0?,v0?/s 据A?x0?(v0/?)2得：A? x0得?于v0?0,应取?(rad) A2据?cos?1于是，所求方程为：x?(7t?)(m) 5-7 某质点振动的x-t曲线如题图57所示.求： 质点的振动方程； 质点到达P点相应位置所需的最短时间. 分析 旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P点的相位确定最短时间。 解：设所求方程为：1x?Acos(

6、?t?0)从图中可见，t?0,x0?A/2,v0?0旋转矢量法可知；?0?又?t?1s,?t?3 ?3?2?5?6题图5-7 5?t?)m63?P点的相位为0故：x?(?tp?0?5?tp?0tp? 63即质点到达P点相应状态所要的最短时间为有一弹簧，当下面挂一质量为m的物体时，伸长量为?10?2m.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向. 当t0时，物体在平衡位置上方?10?2m，静止开始向下运动，求振动方程. (2) 当t0时，物体在平衡位置并以/s的速度向上运动，求振动方程. 分析 根据初始条件求出特征量建立振动方程。 解：设所求振动方程为：x?Acos(?t?) 其中角频率?k/m?mg

7、/m?lg，代入数据得：?10rad/s ?l以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：x0?,v0?0 据A?x0?(v0/?)2得：A? x0得?rad于v00,不妨取?rad A2据?cos?1于是，所求方程为：x1?(10t?)(SI) 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：x0?0,v0?/s 据A?x0?(v0/?)2得：A? x0得?/2rad于v0?0,应取?/2rad A2据?cos?1于是，所求方程为：x2?(10t?/2)(SI) 5-9 一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为x?4?10?2cos(2?t?)(SI)，求：从 t=0时刻3起到质点位置在x=-2cm处，且向x轴

8、正方向运动的最短时间. 分析 旋转矢量图求得两点相位差，结合振动方程中特征量即可确定最短时间。 解: 依题意有旋转矢量图 从图可见? 而?t?2?(t0?0) 故所求时间为：t0?5-10两个物体同方向作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为A/2的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡解答图5-9 ?1s 2位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差. 分析 旋转矢量图求解。根据运动速度的方向与位移共同确定相位。 解：于x10?A/2、v10?0可求得：?1?/4 于x20?A/2、v20?0可求得：?2?/4 如图5-10所示，相位

9、差：?1?2?/2 题图5-10 题图5-11 题图5-11 5-11一简谐振动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程. 分析 利用旋转矢量图求解，图中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角频率。 解：设所求方程为x?Acos(?t?) 当t=0时：x1?5cm,v1?0A旋转矢量图可得：?t?0?2?/3rad 当t=2s时：从x-t图中可以看出：x2?0,v2?0 t?0时，x?5cm?Acos? t?2s时，x?5cm?Acos(2?)?Asin?上二式解得 tg?1 因为在A点质点的速度大于零，所以? t = 4 s ?3?5? 或44? x A B vA O vB vB ?t =

10、 0 t = 2 s 题解图5-19 A?x/cos?52cm ?t3? 振动方程x?52?10cos(?物体对平板的压力的表达式. T?，振幅A?4cm，求：平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？ 分析 首先确定简谐振动方程，再根据物体离开平板的临界位置为最高点，且对平板压力为零。 解：物体与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标，振动方程为：x?(4?t?)(SI) 设平板对物体的作用力为N，于是物体在运动中所受合力为： f?mg?N?ma?m?2x 据牛顿第三定律，物体对平板的作用力N为：N?N?m(g?2x) 即：N?m(g?16?2x)?2cos(4?t?) 当频率不变

11、时，设振幅变为A，在最高点处物体与平板间作用力最小 令N?0可得：A?g/?2? 5-22一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动.已知氢原子质量m?10?27Kg，振动频率?1014Hz，振幅A?10?11m.试计算：(1)此氢原子的最大速度；(2)与此振动相联系的能量. 分析 振动能量可其最大动能确定。 解：(1)最大振动速度：vm?A?2?A?103m/s 1mvm2?10?20J 25-23 一物体质量为，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k=25N/m，如果起始振动时具有势能和动能，求： (1)振幅； (2)动能恰等于势能时的位移； (3)经过平衡位置时物体的速度. 分析 简谐振动

12、能量守恒，其能量振幅决定。 1解：E?EK?EP?kA2 2(2)氢原子的振动能量为：E?A?2(EK?EP)/k1/2?(m) (2)因为E?EK?EP?12kA，当EK?EP时，有2EP?E，又因为EP?kx2/2 2得：2x2?A2，即x?A/2?(m) (3)过平衡点时，x?0，此时动能等于总能量E?EK?EP?1mv2 2v?2(EK?EP)/m1/2?(m/s) 5-24 一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如题图524所示.设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力.现将物体m从平衡位置拉

13、下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率. 分析 牛顿第二定律和转动定律确定其加速度与位移的关系即可得到证明。 解：取如图x坐标,平衡位置为原点O，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长x0 mg?kx0(1) 设m在x位置，分析受力，这时弹簧伸长x?x0 T2?k(x?x0)(2) 牛顿第二定律和转动定律列方程： mg?T1?maT1R?T2R?J?(3) (4) m a?R?(5) kx 2(J/R)?m题图5-24 联立(1)(2)(3)(4)(5)解得a?于x系数为一负常数，故物体做简谐振动， k其角频率为:?(J/R2)?m kR2 J?mR2题图5-24 15-25两个同

14、方向的简谐振动的振动方程分别为:x1?4?10?2cos2?(t?)(SI), 81合振动的振幅和初相；若另有一同方向同频率x2?3?10?2cos2?(t?)(SI)求：4的简谐振动x3?5?10?2cos(2?t?)(SI)，则?为多少时，x1?x3的振幅最大？?又为多少时，x2?x3的振幅最小？ 分析 合振动的振幅其分振动的相位差决定。 解：x?x1?x2?Acos(2?t?) 按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为 A?42?32?24cos(?/2?/4)?10?2?10?2m 4sin(?/4)?3sin(?/2)? 4cos(?/4)?3cos(?/2) ?arctg所以，

15、合振动方程为x?10?2cos(2?t?)(SI) (2)当?1?2k?，即?2k?/4时，x1?x3的振幅最大. 当?2?(2k?1)?，即?2k?3?/2时，x2?x3的振幅最小. 5-26有两个同方向同频率的振动，其合振动的振幅为，合振动的相位与第一个振动的相位差为?/6，第一个振动的振幅为，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。 分析 根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。 解：采用旋转矢量合成图求解 取第一个振动的初相位为零，则合振动的相位为?/6 据A?A1?A2可知A2?A?A1,如图： A2?A1?A2?2AA1cos?(m) 2于A、A1、A2的量值恰好满足勾股定理， 故

16、A1与A2垂直. 即第二振动与第一振动的相位差为?/2 527一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为题图5-26 x1?5?10?2cos(4t?/3)(SI)，x2?3?10?2sin(4t?/6)(SI)画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程. 分析 须将方程转化为标准方程从而确定其特征矢量，画出矢量图。 解：x2?3?10?2sin(4t?/6)?3?10?2cos(4t?/6?/2) ?3?10?2cos(4t?2?/3) 作两振动的旋转矢量图，如图所示. 图得：合振动的振幅和初相分别为 A?(5?3)cm?2cm,?/3. 合振动方程为x?2?10?2cos(4t

17、?/3)(SI) 题图5-27 528将频率为348Hz的标准音叉和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为若在待测音叉的一端加上一个小物体，则拍频将减小，求待测音叉的角频率. 分析 质量增加频率将会减小，根据拍频减少可推知两个频率的关系。 解：拍频公式?2?1可知：?2?1? 在待测音叉的一端加上一个小物体，待测音叉的频率?2会减少，若拍频?也随之减小，则说明?2?1,于是可求得：?2?1?351Hz 5-29一物体悬挂在弹簧下作简谐振动，开始时其振幅为，经144s后振幅减为 问：(1)阻尼系数是多少？ (2)如振幅减至，需要经过多少时间？ 分析 阻尼振动振幅随时间的变化规律可直接得到。 解:(

18、1)阻尼振动振幅随时间的变化规律A?A0e?t得 ln?t1A0A?10?3(1/s) A?A0e?t得A1e?t1?t2A2e?144s 于是：?t?t2?t1?lnA1/A2?5-30一弹簧振子系统，物体的质量m= Kg，弹簧的劲度系数k=900N/m.系统振动时受到阻尼作用，其阻尼系数为? 1/s，为了使振动持续，现加一周期性外力F?100cos30t(SI)作用.求： 振动达到稳定时的振动角频率； 若外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象？其共振的振幅为多大？ 分析 受迫振动的频率外力决定。 解：振动达到稳定时，振动角频率等于周期性外力的角频率，有?30rad/s (2

19、)受迫振动达到稳定后，其振幅为：A?(F0/m)/(?0?2)2?4?2?2 式中?0?2k/m为系统振动的固有角频率，F0为外力的振幅 上式可解得，当外力的频率?为：?02?2?2?/s时 系统出现共振现象，共振的振幅为：Ar? F0/m2?0?22? 第六章 6-1频率为?104Hz的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量E?1011N/m2，棒的密度?10Kg/m.求该纵波的波长. 33分析 纵波在固体中传播，波速弹性模量与密度决定。 解：波速u?E/?,波长?u/? ?E/?2? 6-2一横波在沿绳子传播时的波方程为：y?(?t?x)(SI)(1)求波的振幅、波速、频率及波长；(

20、2)求绳上的质点振动时的最大速度；(3)分别画出t=1s和t=2s的波形，并指出波峰和波谷.画出x=处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同. 解：用比较法，y?(?t?x)?Acos(?t?A? ； ?/2?/2?；2?x)得 2?,? u?/s ?m?A?/s 题图t=1(s)时波形方程为：y1?(?x)t=2(s)时波形方程为：y2?(5?x) x=1(m)处的振动方程为：y?(?t?) 6-3 一简谐波沿x轴正方向传播，t=T/4时的波形图如题图63所示虚线，若各点的振动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为即可求解波的表达。只要把各种情况中b的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得

21、b点的振动规律。 解: 设其波长为,选o点处为坐标原点,方程y?Acos(?t?)；可得取图中a 题图6-4 所示的坐标,则x处质点的振动比A点滞后x2?,故 ?Acos(?t?同理可得 x?x2?) ?Acos(?t?2?) ?Acos(?t?Acos(?t?x?l?x?l2?) 2?) ?要求距A为b的点的振动规律,只要把各种情况中b的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得.从结果可知,取不同的坐标只是改变了坐标的原点,波的表达式在形式上有所不同,但b点的振动方程却不变.即 (2) ?y?Acos(?t?b?2?) 6-5一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为?，波速为u.设t?t时

22、刻的波形曲线如题图65所示.求(1)x=0处质点振动方程；(2)该波的波方程. 分析 于图中是t时刻波形图，因此，对x=0处质点，图得出的相位也为t时刻的相位。再旋转矢量推算出t=0时刻的初相位。进而写出波动方程。 解：(1)设x?0处质点的振动方程为 y?Acos2?(t?t)?。图可知，t?t时y?Acos?0，?A?sin?0。所以?/2 t?t? 题图6-5 1? 21(2)该波的表达式为： y?Acos2?(t?t?x/u)? 2x?0处的振动方程为：y?Acos2?(t?t)?6-6一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A?10cm，波的角频率?7?rad/s，当而x?20cm处的b

23、t?时，x?10cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，质点正通过y?点向y轴正方向运动.设该波波长?10cm，求该平面波的波方程. 分析 通过旋转矢量图法，结合x?10cm点和x?20cm点，在t?的运动状态，可得到波长和初相。 解：设平面简谐波的波长为?，坐标原点处质点振动初相为?，则该列平面简谐波的表达式可写成y?(7?t?2?x/?)(SI)。t?时x?10cm 处 y?7?2?(/?)?0 因此时a质点向y轴负方向运动，故7?2?(/?)?1?2(1) 而此时, b质点正通过y?处，有y?7?2?(/?)?，且质1点b向y轴正方向运动，故7?2?(/?)?3(2)(1)、(2

24、)两式联立得 ? ， ?17?/3 所以，该平面简谐波的表达式为：y?7?t?17?(SI) 36-7 已知一平面简谐波的波方程为y?(125t?)(SI)(1)分别求x1?10m,x2?25m两点处质点的振动方程；(2)求x1、x2两点间的振动相位差；(3)求x1点在t=4s时的振动位移. 分析 波方程中如果已知某点的位置即转化为某点的振动方程。直接求解两点的振动相位差和某时刻的振动位移。 解：(1)x1?10m、x2?25m的振动方程分别为：yx?10?(125t?)(SI), yx?25?(125t?)(SI)(2) x2与x1两点间相位差?2?1? (3) x1点在t=4s时的振动位移

25、 y?(125?4?)? 6-8如题图6-8所示，一平面波在介质中以波速u?20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为y?3?10?2cos4?t(SI). (1)以A点为坐标原点写出波方程； (2)以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程. 分析 波相对坐标轴的传播方向和已知点的振动方程 直接写出波方程。 解：(1)坐标为x处质点的振动相位为 ?t?4?t?(x/u)?4?t?(x/20)波的表达式为u B A 题图6-8 y?3?10?2cos4?t?(x/20)(SI) (2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为?t?4?t?波的表达式为 y?3?10?2cos4?(t?x

26、?5(SI) 20x)?(SI) 206-9 有一平面简谐波在介质中传播，波速u?100m/s，波线上右侧距波源O为75m处的一点P的运动方程为y?(2?t?/2)(SI),求： (1)波向x轴正向传播的波方程；(2)波向x轴负向传播的波方程. 解：(1)设以x?0处为波源，沿轴正向传播的波方程为：y?Acos?(t?x/u)?0 在上式中，代入x?75m，并与该处实际的振动方程y?(2?t?/2)比较 可得：A?,?2?s?1,?0?2?， 可得：y?(2?t?(2)设沿轴负向传播的波方程为：y?Acos?(t?x/u)?0 在上式中，代入x?75m，并与该处实际的振动方程y?(2?t?/2

27、)比较 可得：A?,?2?s?1,?0?，可得：y?2?t?所求 6-10 一平面谐波沿ox轴的负方向传播,波长为，P点处质点的振动规律如题图610所示.求: P点处质点的振动方程;此波的波动方程；若图中d?/2,求O点处质点的振动方程. 分析 首先已知振动规律结合旋转矢量图可得P点振动的初相与周期，从而得到其振动方程。波动方程则P与原点的距离直接得到。波动方程中直接代入某点的坐标就可求出该点的振动方程。 解:从图中可见T?4s,且t?0,ypo?A,?0?,则P点处质点的振动方程为 yp?Acos( 2?x)(SI)为所求 1002?x(SI)为100yP (m) 2?t?)?Acos(t?

28、)(SI) 420 1 -A O 向负方向传播的波动方程为 t (s) y?Acos把d?/2,?2(t?x?d?)? d P x x?0代入波动方程即得 ?/2y0?Acos?2(t?3?)?Acos(t?) 24题图6-10 6-11一平面简谐波的频率为500Hz，在空气(?/m3)中以340m/s的速度传播，达到人耳时的振幅为?10?6m.试求波在人耳中的平均能量密度和声强. 分析 平均能量密度公式直接求解。声强即是声波的能流密度。 解:波在耳中的平均能量密度：w?1?A2?2?2?2?A2?2?10?6J/m3 2?32声强就是声波的能流密度，即：I?uw?10W/m 6-12 一正弦

29、空气波,沿直径为的圆柱形管传播,波的平均强度为9?10?3J/s?m2,频率为300Hz,波速为300m/s.求: (1) 波中的平均能量密度和最大的能量密度各是多少? (2) 每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量? 分析 平均能量密度为其在一个周期内的平均值，为最大值的一半。两个相邻同相面既是相距一个波长的距离的波段。 解: (1)?I?w?v I9?10?3?w?3?10?5J/m3 v300又?wmax?2w ?wmax?6?10?5J/m3 (2) 两个相邻同相面间的波段所对应的体积为 ?d?d?u?300V?10?2m3?2?2?2?300?W?wV?10?7J 222613 在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox轴传播，波动表达式分别为 y1?Acos2?(?t?x/?)与y2?2Acos2?(?t?x/?)，试求Ox轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。 分析 合振幅大小相位差确定。 2解：(1)设合振幅最大处的合振幅为Amax，有Amax?(2A)2?A2?2A?2Acos? 式中?4?x/? 因为当cos?1时，合振幅最大，即有4?x/?2k? 所以，合振幅最大的点 x?1k? 22(2)设合振幅最小处的合振幅为Amin，有Amin?(2A)2?A2?2A?2Acos? 式中?4?x/? 因为当cos?1时，合振幅最小，即有4?x/?(2k?1)? 所以，合