实际问题与一元一次方程常见题型.docx

1、实际问题与一元一次方程常见题型实际问题与一元一次方程（一）基础【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答由此可得解决此类题的一般步骤为：审、找、设、列、解、检、答 要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系。（2）“找”寻找等量关系；（3）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（4）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注

2、意方程两边是同一类量，单位要统一；（5）“解”就是解方程，求出未知数的值（6）“检”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（7）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚知识点二、常见列方程解应用题的几种类型1和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量原有量增长率，现有量原有量+增长量，现有量原有量-降低量（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等2行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度时间 （2）基本类型有： 相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程=速度和相遇时间 寻找相等关系：甲走的路

3、程+乙走的路程两地距离追及问题：基本量及关系：追及路程=速度差追及时间寻找相等关系：第一， 同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程；第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离追者走的路程航行问题：基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度，顺水速度逆水速度2水流速度；寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑3工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1基本关系式：（1）总工作量=工作效率工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和4调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑【

4、典型例题】类型一、和差倍分问题12011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米 依题意，得5.8-x3x+0.6 解得x1.3 5.8-x5.8-1.34.5（亿立方米）答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x，另外一个用含x的式子表示本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量5.8亿立方米举一反三：【变式】(麻城期末考试

5、)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，依题意可得：x+2x+4x2800，解得：x400 答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台类型二、行程问题1.一般问题2小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城试问学校到县城的距离是多少千米?【答案与解析】 解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得： 4x

6、+0.55(x-0.5)，解得x3 所以4x+0.543+0.512.5(千米) 答：学校到县城的距离是12.5千米【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量举一反三：【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度【答案】解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为小时，下坡行驶的时间为小时依题意，得：，化简得： 显然a0，解得答：汽车的平均速度为千米/时2.相遇问题（相向问题） 【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410

7、 相遇问题】3 A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？【答案与解析】解:设甲经过x小时与乙相遇. 由题意得： 解得，x=2.75答：甲经过2.75小时与乙相遇【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km举一反三：【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?【答案】解：设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2.5)千米，根据题意，得：解得：（千米）答：甲每小

8、时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米3.追及问题（同向问题）4一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?【答案与解析】解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，得，得：， 小时=10分钟答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍【总结升华】追及问题：路程差=速度差时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位4.航行问题（顺逆风问题） 5一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时

9、，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离【答案与解析】解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)5(x-4)，解得：x=16，（16+4）3=60（千米） 答：两码头之间的距离为60千米解法2：设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时，逆水航行时速度为千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：，解得：答：两码头之间的距离为60千米【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程类型三

10、、工程问题6一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?【思路点拨】视水池的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的，甲管单独注水每小时注水池的，合注7小时注水池的，乙管每小时注水池的【答案与解析】 解：设乙管还需x小时才能注满水池 由题意得方程： 解此方程得：x9 答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池【总结升华】工作效率工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” 举一反三：【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完

11、成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?【答案】解：设乙中途离开x天，由题意得解得：答：乙中途离开了3天类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）7星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣 件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量【

12、答案与解析】解：设做上衣需要xm，则做裤子为(750-x)m，做上衣的件数为件，做裤子的件数为，则有：解得：x450， 750-x750-450300(m)， （套） 答：用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数裤子的总件数举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 调配问题】【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 .解：设从甲队调出x人到乙队.由题意得， 解得，x=12.答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 .实际问题与一元

13、一次方程（二）（提高）【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量原有量增长率，现有量原有量+增长量，现有量原有量-降低量（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等2行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度时间 （2）基本类型有： 相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程=速度和相遇时间 寻找相等关系：甲走的路程+乙走的

14、路程两地距离追及问题：基本量及关系：追及路程=速度差追及时间寻找相等关系： 第一，同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离追者走的路程航行问题：基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度，顺水速度逆水速度2水速；寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑3工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1基本关系式：（1）总工作量=工作效率工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和4调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑【典型例题】类型

15、一、和差倍分问题1旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案与解析】解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x40% 解得：x=10 答：油箱里原有汽油10公斤.【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?【答案】解：设这个班有x名学生，根据题意得： 3x+244

16、x-26 解得：x50 所以3x+24350+24174 答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票类型二、行程问题1.车过桥问题2. 某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义【答案与解析】解：设火车车身长为xm，根据题意，得：，解得：x300， 所以答：火车的长度是300m，车速是30m/s【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)： (1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所

17、示，此时火车走的路程是桥长+车长(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长车长由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度整个火车在桥上的速度 举一反三：【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？【答案】 解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得：，解得：x3答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟2.相遇问题（相向问题） 3小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点

18、，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.【答案与解析】解：设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：解得：108答：A、B两地间的路程为108千米.【点评】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和时间可得方程举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.【答案】解：设A、B两站间的距离

19、为x km，由题意得： 解得：x=122答： A、B两站间的距离为122km.3.追及问题（同向问题）4一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度【答案与解析】解：设卡车的速度为x千米/时，由题意得： 解得：x=24 答：卡车的速度为24千米/时【点评】采用“线示”分析法，画出示意图利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间4.航行问题（顺逆风问题）5盛夏，某校组织长江夜游，在流

20、速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间；（2）C地在A地上游【答案与解析】解：设A、B两地间的距离为x千米 (1)当C地在A、B两地之间时，依题意得 解这个方程得：x20(千米) (2)当C地在A地上游时，依题意得： 解这个方程得： 答：A、B两地间的距离为20千米或千米【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解5.环形问题

21、6环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，环城一周是20千米，求两个人的速度. 【答案与解析】解；设最慢的人速度为x千米/时，则最快的人的速度为x千米/时， 由题意得:x-x=20 解得：x=10 答：最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时.【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：最快的人骑的路程 - 最慢人骑的路程=20千米. 举一反三：【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按ABCDA方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在

22、正方形的哪一条边上?【答案】解：设乙追上甲用了x分钟，则有： 72x-65x390 （分）答：乙第一次追上甲时走了(m) 此时乙在AD边上类型三、工程问题7一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?【答案与解析】解：设再过x小时可把水注满由题意得：解得：答：打开丙管后小时可把水放满【点评】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1举一反三：【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割后，改用新式农

23、机，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积【答案】解：设这块水稻田的面积为x亩，由题意得： 解得：答：这块水稻田的面积为36亩类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）8某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?【答案与解析】解：设安排x人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：5x3(120-x)，解得x45 120-4575(人)答：应安排45人挖土，75人运土【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等举一反三：【高清课堂

24、：实际问题与一元一次方程(一) 配制问题】【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？【答案】解：设要用A种糖果x千克，则B种糖果用(100-x)千克.依题意，得： 28x+20(100-x)=25100 解得：x=62.5. 当x=62.5时，100-x=37.5.答：要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.实际问题与一元一次方程（三）（基础）【学习目标】(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；(2)熟

25、悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）1利润问题 （1） (2) 标价成本(或进价)(1利润率) (3) 实际售价标价打折率(4) 利润售价成本(或进价)成本利润率注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售2存贷款问题 （1）利息=本金利率期数（2）本息和（本利和）本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息利息税率（5）年利率月利率12（6）月利率年利率3.数字问题 已知各

26、数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a4方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论【典型例题】类型一、利润问题【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 利润问题例2】1以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？【答案与解析】解：设该商品的成本为a元，则商品的现价

27、为(1+30%)a元，依题意其后来折扣的售价为(1+30%)a(1+40%)(1-50%)=0.91a.0.91a-a=-0.09a, 100%=-9%.答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413利润问题例3】【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？【答案】解：设该商品打x折，依题意，则： 500(1+40%)=500（1+12%）.x=8. 答：该商

28、品的广告上可写上打八折.【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价【答案】 解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：0.8x+20x-12，解这个方程得：x160答：李明上次所买书籍的原价是160元类型二、存贷款问题2爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元.【答案与解析】解：设爸爸开始存入x元.根据题意，得xx2.7517025.解之，得x15000答：爸爸开始存入15000元.【总结升华】本息和本金利息，利息本金利率期数类型三、数字问题3一个三位数，十位上的数是

29、百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.【答案与解析】解：设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x 由题意得：x+14-2x-x=2x+2 解得：x=3 x=3， 2x=6，14-2x-x=5答：这个三位数为365【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；(3) 三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以10，然后把所得的结果和个位数字相加举一反三：【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，这个两位数又是这两个数字的和的4倍，求这个两位数.【答案】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为（），由题意得： 解得： 答：这两位数是48.类型四、方案设计问题4为鼓励学生参加体育锻炼学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球已知篮球和排球的