1、算法与分析平时作业 答案平时作业1、给定下述二分搜索算法,请判断算法的正确性,指出错误算法的产生原因。 a) int BinarySearch(Type a, const Type& x, int l, int r) while (r = l) int m = (l+r)/2; if (x = am) return m; if (x = l) int m = (l+r)/2; if (x = am) return m; if (x am) r = m+1; else l = m-1; return -1; 答:错误if (x am) r = m+1; 当查找的元素在中间元素的左边时,右指针应该
2、为m-1位置,修改成if (x l) int m = (l+r)/2; if (x = am) return m; if (x l) 要考虑到 数组只有一个元素的情况 所以应该是 r=l ;2、O(1)空间子数组环卫算法:设a0:n-1是一个n维数组,k(1 k n-1)是一个非负整数。试设计一个算法将子数组a0 : k-1与ak+1 : n-1换位。要求算法在最坏情况下耗时O(n),且只用O(1)的辅助空间。答:最简单的方法就是循环(n-k-1)次,将a数组的末尾数字插入到a0之前。具体做法: (1) 首先开辟一个额外空间temp用于存放每一次a数组的末尾数据。 (2) temp - an-
3、1 (3) 将a0: n-2 每个数据都依次向后移动一位赋值给a1: n-1。 (4) a0 - temp (5) 循环执行(2) -(4) 步 (n-k+1)次。代价分析: 时间代价 O(n-1)*(n-k+1) 即O(n2)数量级;空间代价: O(1)3、定义: 给定一个自然数n,由n开始依次产生半数集set(n)中的元素如下: 1); 2)在n的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过最近添加的数的一半; 3)按此规则进行处理,直至不能再添加新的自然数为止。 例如 。其中共有6个元素。 半数集问题:对于给定的n,求半数集set(n) 中元素的个数。答:半数集set(n)中元素个数的求解是个
4、递归的过程。设set(n)中的元素个数为f(n),则显然有递归表达式:f(n)=1+f(i),i=1,2n/2。即半数集set(n)元素个数f(n)=1+f(1)+f(2)+.+f(floor(n/2). 用递推法求解。C语言代码如下:#include#includeint main() int n; int i,j,s; int buf106; char *in=input.txt,*out=output.txt; FILE *ip,*op; if(ip=fopen(in,r)=NULL)return 1; if(op=fopen(out,w)=NULL)return 2; fscanf(i
5、p,%d,&n); fclose(ip); buf1=1; buf2=2; buf3=2; for(i=4;i*2=n;i+) s=1; for(j=1;j=i/2;j+) s+=bufj; bufi=s; s=1; for(j=1;j=n/2;j+) s+=bufj; fprintf(op,%d,s); fclose(op);/* system(pause);*/ return 0;4、设计一个算法,找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列的长度。答: #include #define m 10 /快速排序 void QuickSort(int R,int s,int t) int i=s
6、,j=t; int tmp; if(si&Rj=tmp) j-; Ri=Rj; while(ij&Ri=tmp) i+; Rj=Ri; Ri=tmp; QuickSort(R,s,i-1); QuickSort(R,i+1,t); /找出最长公共子序列 void LCSLength(int x,int y,int n,int cmm,int bmm) int i,j; for(i=0;in;i+) c0i=0; ci0=0; for(i=0;in;i+) for(j=0;j=cij-1) cij=ci-1j; bij=2; else cij=cij-1; bij=3; void LCS(int
7、 i,int j,int *x,int bmm) if(i0|j0) return; if(bij=1) LCS(i-1,j-1,x,b); coutxi ; else if(bij=2) LCS(i-1,j,x,b); else LCS(i,j-1,x,b); void main() int xm,ym,d; cout请输入元素个数d; cout请输入元素endl; for(int i=0;ixi; yi=xi; int cmm=0,bmm=0; QuickSort(x,0,d-1); LCSLength(x,y,d,c,b); cout最长单调递增子序列为:endl; LCS(d-1,d-
8、1,x,b); 5、会场安排问题:假设要在足够多的会场里安排一批活动,并希望使用尽可能少的会场。设计一个有效的贪心算法进行安排。对于给定的n个待安排的活动,计算使用最少会场的个数。每个活动i都有一个开始时间和结束时间,分别表示为b(i),f(i)。答: #include using namespace std;#define M 50/最大活动数struct Active int b;/开始时间 int f;/结束时间int no;/预安排会场号 aM; /两元素交换位置 void s &a,Active &b) Active t=a; a=b; b=t; void main() int k,
9、 i,j; cout输入待安排活动数:k; cout输入待安排活动的开始时间和结束时间:endl; /输入活动时间 /活动时间排序for(i=1;i=k;i+) for(j=i;jaj.b) swap(ai,aj);if(ai.b=aj.b) if(ai.faj.f) swap(ai,aj); int int sum=1;/使用的会场数初始化 int n; a1.no=sum; for(i=2;i=k;i+) for(n=1;ni;n+) if(an.no!=0&an.f=ai.b) ai.no=an.no; an.no=0;/已经安排过的活动就不再比较 break; if(n=i) sum+
10、=1; ai.no=sum; cout输出最少会场数:nsumendl; system(pause); 6、最优分解问题:设n是一个正整数。现要求将n分解为若干个互不相同的自然数的和,使得这些自然数的乘积最大。设计一个算法,得到最优分解方案。 分析:我们知道如果a+b=常数,则|a-b|越小,a*b越大。 贪心策略:将n分成从2开始的连续自然数的和。如果最后剩下一个数,将此数在后项优先的方式下均匀地分给前面各项。答: void dicomp(int n, int a) int k = 1; if (n 3) a1 = 0; return; if (n ak) k+; ak = ak - 1 +
11、 1; n -= ak; if (n = ak) ak+; n-; for (int i = 0; i n; i+) ak - i+; 7、子集和问题:设是n个正整数的集合,c是一个正整数。那么是否存在S的一个子集S1,使得子集中元素之和等于c,即。答: #includeint n,c; int a100; int current100; /存放当前选择的情况 int best100; /存放最后选择的子集合,besti=1,表示包含,反之即不包含。 int d=1; /判断有无满足的情况 int d2=0; /是否已经选出子集和 void Back(int m,int count); int
12、 main() int i,j; scanf(%d %d,&n,&c); for(i=0;in;i+) scanf(%d,&ai); currenti=besti=0; Back(0,0); if(d) printf(no solutionn); for(j=0;jn)return; if(count=c) d=0; /有满足的子集和 if(d2) return 0; for(k=0;k 0 xi = yi 时 , cij = ci-1j-1 + 1 当 i , j 0 xi != yi 时 , cij = max cij-1 , ci-1j public class LSC private
13、int c,b; private int m,n; private char A,B; public LSC(char A,char B) this.A=A; this.B=B; m=A.length; n=B.length; c=new intm+1n+1; b=new intm+1n+1; for(int i=0;in+1;i+) c0i=0; for(int j=0;jm+1;j+) cj0=0; public LSC() public int LSCLength() for(int i=1;im+1;i+) for(int j=1;j=cij-1) cij=ci-1j; bij=1;
14、/* * 情况 */ else cij=cij-1; bij=2; return cmn; public void print(int i,int j) if(i=0|j=0) return; else if(bij=0) print(i-1,j-1); System.out.print(Ai-1); else if(bij=1) print(i-1,j); else print(i,j-1); public int LSCLength2(int i,int j) if(i0|ja2?a1:a2; public static void main(String args) char A=g,f,
15、d,a,s,d,a,c; charB=g,c,f,a,t,0,c,c; LSC lsc=new LSC(A,B); System.out.println(lsc.LSCLength2(7,7); 9、记矩阵连乘积 。 确定计算A1:n的最优计算次序,使得所需数乘的次数最少。 1、说明矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解,即最优子结构性质。 2、该问题具备子问题的重叠性质。 3、说明采用动态规划方法可以解决该问题。 4、设计该算法,分析算法的复杂性。答:计算 Ai:j的最优次序所包含的计算矩阵子链 Ai:k和 Ak+1:j的次序也是最优的。 设计算 Ai:j,1ijn,所需要的最少
16、数乘次数 mi,j,则原问 题的最优值为 m1,n 当 i=j 时,Ai:j=Ai,无需计算,因此,mi,j=0,i=1,2,n 当 ij 时,利用最优子结构性质计算 mi,j . 设 Ai:j的最优次序在 Ak 和 Ak1 之间断开,则 ,i-1kj其中 Ai 的维数为 pi-1pj k 的位置只有 j-i 种可能, i, i+1, , j-1,其中使计算量最小的那个位置 为最优解,数乘次数 mi,j最小值为问题的最优值可以递归地定义 mi,j为: ,= mini,k + 0k +1, j +i-1kj i=jij 将最优值 mi j对应的断开位置记为 si j,则可递归的由 si j构造出
17、相应的最优 解 对于 1ijn 不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此,不同子问题的 个数最多只有 由此可见,在递归计算时,许多子问题被重复计算多次。这也是该问题可用动态 规划算法求解的又一显著特征。 用动态规划算法解此问题, 可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算 过程中,保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次,而在后面需要时只 要简单查一下,从而避免大量的重复计算最终得到多项式时间的算法 matrixChain 已经记录了构造最优解所需的全部信息。从 s1n 可知,计算 A1:n的最优加括号方式为 ( A 1 : s1n ) (As1n+1: n ) 计算 A 1 :
18、 s1n 的最优加括号方式为 (A 1 : s1s1n )(A s1s1n +1 : s1n )10、考虑分数背包问题,定义如下:给出n 个大小为 s1, s2, , sn , 价值为v1, v2, , vn 的物品, 并设背包容量为C, 要找到非负实数x1, x2, , xn, 使和 在约束下最大。写出求解问题的贪心算法,估计算法的时间复杂性。答:从问题的某一初始解出发;while 能朝给定总目标前进一步 do 求出可行解的 一个解元素; 由所有解元素组合成问题的一个可行解;从问题的某一个初始解出 发逐步逼近给定的目标, 以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一 步不能再继续前进时,
19、算法停止。 #include #define total 10 float ptotal,wtotal,ttotal; void greedy_knaPsack(int x,int c) int note,i; float max; while(1) note=0; max=0; for(i=0;ix;i+) if(maxpi/wi) & (ti=0) max=pi/wi; note=i; if(wnotec) tnote=1; c-=wnote; else tnote=c/wnote; break; int main() int i=0,n=0; float cu; printf(请输入物品
20、总数(不大于%d)与背包的容量:,total); while(1) scanf(%d%f,&n,&cu); if(ntotal) break; else printf(物品总数超出范围,请重新输入:); printf(请输入每个物品的价值与重量:n); for(i=0;in;i+) scanf(%f%f,&pi,&wi); ti=0; greedy_knaPsack(n,cu); printf(由贪心算法所得最优解是:n); for(i=0;in;i+) printf(%f ,ti); return 0; 时间复杂度分析: 算法中用到三个 for 循环,故计算时间复杂度: O(n)=n+n+n=3n 即此算法的时间复杂度为: O(n)=n
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