汉诺塔.docx

1、汉诺塔课题名称： 梵天的汉诺启示 汉诺塔益智器具教学设计执教教师：江西省新余市长青小学 黄小蓉评析人： 江西省新余市长青小学 邓小宝教材版本：经典益智器具校本教材思维潜能开发课程及义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）教学内容：本课选择学校校本教材思维潜能开发课程的第2课及（人教版）五年级上册数学广角 益智器具：汉诺塔 单人游戏，著名的递归问题，游戏目的是把一根柱子上的N个环依次移到另一根柱子上，游戏规则要求每次只能移一个环，移动过程中大环不能压小环。游戏策略是逆推思维。趣味等级： 难度等级：教学设计：一、教学设计思路玩是孩子们的天性，在玩中增长智慧，开发智能，玩出名堂，这是我们致力追求的目

2、标。这节课就是想让学生了解汉诺塔的游戏目的规则，再根据目的规则去探究游戏策略，掌握游戏思路，化难为易，从而渗透一些“递归”的数学思想和方法，同时了解一些汉诺塔的历史传说、算法、类似故事等相关知识，拓展学生的知识面。使学生在主动地动手、动口、动脑、自主、合作、探究中学会观察，激活顿悟，培养其严密性等思维品质及推理判断等逻辑思维能力，积淀智慧，培养探究学习兴趣和创新能力，努力凸显“乐学高效”的优质课堂愿景。中国教育科学研究院李嘉骏教授在开发思维潜能，培养聪明学生的报告中谈到：在课程改革实施过程中，为顺应现代教育变革的观念和关系，提升教学技艺、探究教学游戏、践行优质课堂，提高教学质量，使学生更聪明，

3、培养新时代需要的合格人才，而努力！我们研究的方向要坚守！目标：追求好的教育，培养聪明的学生！要将劲儿往实处做让学生变个样！教师变个样！学校变个样！培育自己的特色、树起好标杆！1（一） 教材分析1、教材地位作用和内容：实验教材一六年级数学广角的整体编排如下表：年级册 数内 容一年级上册无下册P88第八单元找规律二年级上册P99第八单元简单的排列组合、逻辑推理下册P115第九单元找规律三年级上册P112第九单元排列组合下册P108第九单元集合、等量代换四年级上册P112第七单元运筹学下册P117第八单元植树问题五年级上册P116第七单元编码问题下册P134第七单元找次品六年级上册P116第七单元鸡

4、兔同笼问题下册P81第五单元抽屉原理编排作用：用学生易于理解的生活实例或经典的数学问题渗透数学思想方法，让学生感受数学与生活的联系。22、知识的前后联系：3、相关旧知识分析知识的连接点：到五年级，学生已经有了一些逆推思维，比如说减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，解决问题时从问题出发一步一步去寻找必要的条件等等，以及学习了运用一些优化思想、对策问题、排列组合法、排除法、不完全归纳法、以小见多法、化难为易法等等数学思想和方法来解决新的数学问题。知识的生长点：使学生运用逆推法和类推法推导出解决汉诺塔问题的关键就是要知道第一个圆环放到哪个柱子上，并且使学生理解辅助柱和起始柱地相对关系。为五年级继

5、续学习数学广角知识里的编码问题和找次品问题做好思维上的准备。（二）学情分析孩子们小时候大多数都玩过叠象牙塔的玩具，就是把一些圆环按从大到小的顺序依次叠在一根柱子上，但是像汉诺塔这样在底座上有三根柱子，要把一些圆环按从大到小的顺序依次从一根柱子移到另一根柱子上，在移动过程中一次只能移一个且不能以大压小的益智玩具，学生就没有玩过。（三） 教学资源分析多媒体教学课件、实物投影仪、汉诺塔益智器具。（四） 主要教学方式、方法1.演示法：巧用课件演示功能，将汉诺塔的历史故事、基本玩法、相关知识等一一演示呈现，更具逼真的演示效果。 2.实验法：学生实际运用汉诺塔器具进行操作和探究。 二、教学目标1、 使学生

6、运用倒推法，推导出“汉诺塔”的游戏策略，掌握其游戏思路。2、 使学生了解些汉诺塔的相关知识。3、 培养学生学习数学的兴趣，培养其思维的逻辑性，提高其思维的敏捷性。三、教学要点1、 重点：汉诺塔的游戏策略和思路。2、 难点：单数圆环个数和双数圆环个数时，第一个往哪移。3、 关键：在每次的移环过程中理解“辅助柱”和“起始柱”的相对关系。四、教学流程 五、教学准备：教具：汉诺塔，课件；学具：人手一个汉诺塔。六、教学过程教学过程教学环节教师活动学生活动环节意图导 入故事导入、激发兴趣：课件播放故事动画视频：法国数学家爱德华卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块

7、黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔，也叫河内塔。梵天命令僧侣们把圆盘从下到上按大小顺序重新摆放在另一根针上。并且规定：在三根针之间一次只能移动一个圆盘，每次移动时在小圆盘上不能放大圆盘，。从此，不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中毁灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。师：僧侣们的预言会是真的吗？这节课让我们一起来研究一下“汉诺塔”吧。出示课题：梵天的汉

8、诺启示学生观看故事动画视频。预设学生猜测故事中僧侣们的预言会不会实现：我猜会实现；我猜不会实现；说不准，可能会也可能不会。【设计意图：从传说故事中引入新课，学生一下就被故事吸引，而且最后的问题关乎宇宙是否毁灭，学生的探索欲和求知欲一下就被提起来了，兴趣盎然。】授新课一、必要了解、准备探究：（1）了解其结构：问：听了这个印度古老传说，你能想象一下汉诺塔是什么样子的吗？出示汉诺塔的器具：（2）了解目的规则：问：你能再从这个印度古老传说中，知道玩汉诺塔游戏的目的是什么吗？游戏规则呢？1、 一次一个：一次只能移动一个圆环；2、 大不压小：大圆环不能压在小圆环上，也就是小圆环必须在大圆环上面。课件演示：

9、预设学生回答汉诺塔的样子：有三根柱子，其中一根竹子上有从大到小的一些圆环。预设学生回答游戏目的：把圆环从一根柱子移到另一根柱子上，而且从下到上依旧按从大到小的顺序排列好。预设学生回答游戏规则：一次只能移动一个圆环；大圆环不能压在小圆环上。【设计意图：先了解汉诺塔的基本机构是哪几部分构成的，是研究探索的准备之一，从故事当中展开想象，考验了学生听故事的认真程度。】【设计意图：玩游戏之前肯定要知道这个游戏的目的怎样才算赢了或者说过关了，还要知道游戏过程中有些什么规则要求，所以明确这个游戏的目的和规则时很有必要的，也是研究探索的重要准备之一。在这里，老师不是直接告诉学生游戏目的和规则，而是再次让学生从

10、故事中寻找，把主动权留给学生，比灌输的效果来的好。】二、尝试操作、激发探究：师：孩子们，按照这样的游戏目的和规则，你觉得要把一根柱子上的圆环全部移到另一根柱子上容易吗？那么好，请孩子们先自己尝试着移动汉诺塔上的八个圆环，看你能不能把这些圆环全部成功地移到另一根柱子上去？尝试操作完毕，问：孩子们，现在你觉得容易吗？（不容易）在操作过程中，你遇到了什么困难了吗？师：是呀！那你想不想知道汉诺塔到底怎么玩才能一次性把这些圆环移成功啊？这里面是不是有什么规律啊？的确，汉诺塔的玩法是有规律可循的，下面我们一起来探究，好吗？预设可能大多数学生都会说容易，也可能会有少数学生会不容易，还有的会说不知道，试试才知

11、道。学生开始尝试操作。操作过程中，学生可能会遇到困难，比如总是会出现大圆环压小圆环的情况，然后又要倒回去，重新移动。这时候老师不急于去帮助解决，而是让学生试着自己去感知和反复操作体验。预设学生可能会说操作过程中遇到的困难：总是会出现以大压小的情况，不得不又要倒回去重新来过。【设计意图：学生玩之前，肯定大多数学生会觉得很容易，规则就只两条，目的就是一个，以为会是很简单的事，然后让学生开始先自己尝试着玩，发现原来并不是件容易的事，看上去简单，实际上很难，这就在学生心目中造成了冲突，这时老师问是不是很想知道汉诺塔到底怎么玩，是不是有什么规律，自然把孩子们的心里话给问出来了，激发了学生探究的急切欲望，

12、同时水到渠成地过渡到了下一环节“自主探究”。】三、自主探究、总结策略：师：为了便与研究，我们把三根柱子分别取个名字，好吗？圆环原来所在的柱子，叫“起始柱”；圆环要移到的柱子，叫“目标柱”；移动过程中需要借助的柱子，叫“辅助柱”。师：或用字母表示也可以，分别记作：A柱、B柱、C柱。师：圆环的顺序我们也统一一下，从上往下数，从小到大分别为第1环、第2环、第3环第N环。（一）3个环师：我们先用3个环试试，先操作，再说说你是怎么移的？课件演示： 起始柱 辅助柱 目标柱 课件演示：课件演示：(二)4个环师：我们再增加环试试？现在操作4个环，看看4个环怎么移？课件演示：起始柱 辅助柱 目标柱（三）N个环师

13、：刚才我们用倒推法，推导出移动3个环和4个环时，第1环先要移到哪根柱子上。之前你们不会按照倒推法来移，而是随便将第1环移到哪跟柱子上，结果发生什么情况？师：看来要不以大压下，又不走回头路，成功玩好汉诺塔的关键就是要想清楚第1环究竟要先移到目标柱，还是要先移到辅助柱。师：现在你可以不操作汉诺塔，通过倒推法，想象一下如果是5个环，要将第1环移到哪根柱子上去？6个环呢？7个环呢？8个环呢？（四）总结策略 问：你发现了什么没有？学生观察汇报后教师总结：单数个环，就要将第1环移到目标柱去；双数个环，就要将第1环移到辅助柱去。师肯定：这就是玩好汉诺塔的秘诀，或者说策略。不过在运用这个策略之前，你觉得还应该

14、明白哪几件事？问：按照这样的策略，将最底下一个环移到了目标柱，那倒数第二个环要移到目标柱去呢？第1环是不是还是按照这样的策略移呢？（是）这时候老师可以这样讲解：的确，移3个环时，第二步要将第2环移到目标柱，就要先将第1环移到起始柱。但是，其实到这一步，对于第1、第2环来说，现在它们所在的柱子应该是它们的起始柱，目标柱还是原来的目标柱，但原来的起始柱就变成它们俩的辅助柱了。所以，说第1环移到原起始柱，其实也可以说第1环移到它的辅助柱。课件演示： 原起始柱 原辅助柱 原目标柱第1、2环的 第1、2环的 目标柱辅助柱 起始柱师：所以说，不管你要移动哪个环，只要知道它是第几环，是单数环，还是双数环，再

15、以这个环所在的柱子为它的起始柱，确定它要移到的目标柱，就知道相应的另一根柱子就是它的辅助柱。然后就可以按照刚才的策略：单数环，就把第1环移到目标柱；双数环，就把第1环移到它的辅助柱。从下往上，依次下去，这就是解决汉诺塔的核心思路和重要策略了。明白了之后，剩下的就是反复练习到熟练的问题了。学生操作后，汇报：第一步：使最底下的第3环从起始柱移到目标柱。那就必须先把上面第、第2环移开，移到辅助柱去。又因为不能以大压小，所以不能把第1个环先移到辅助柱，而让第2环压在第一个环的上面，因此必须先把第1环暂时先移到目标柱，等把第2环移到辅助柱之后，再把第1环从目标柱移到辅助柱，这样就又腾空了目标柱，这时候就

16、可以把第3环移到目标柱了。第一步完成。第二步：使第个环移到目标柱。那就先要将上面的第环移开，移到前面说的起始柱去，这样才能把第2环移到目标柱去！第二步完成。第三步：使第1环移到目标柱。直接将第1环从刚才的起始柱移到目标柱就可以。第三步完成。学生反复操作，直至成功，学生操作过程中，老师巡视，适时帮助、点拨实在有困难的学生。学生操作完之后，汇报是怎么移动成功的：第一步：将第4环移到目标柱那我们就要想办法将第3环移到辅助柱，这样，上面第2环就只能先移到目标柱，而第1环最开始就要移到辅助柱，等第2环移到目标柱之后，再将第1环移到第2环上面，第1、第2环都到目标柱了，第3环就可以顺利地移到辅助柱了，然后

17、再按照之前的办法，将第2、第1环依次移到第3环上面，这样就可以成功地将第4环移到目标柱了。第一步完成。第二步：将第3环移到目标柱。第三步：将第2环移到目标柱。第四步：将第1环移到目标柱。这三步就是重复移3个环的步骤。预设学生回答：随便将第1环移到哪跟柱子上，结果就会以大压下，走回头路。学生开始对照汉诺塔想象推导。汇报：5个环，要将第1环移到目标柱去。6个环，要将第1环移到辅助柱去。7个环，要将第1环移到目标柱去。8个环，要将第1环移到辅助柱去。9个环，要将第1环移到目标柱去。10个环，要将第1环移到辅助柱去。 预设学生观察后发现：单数个环，就要将第1环移到目标柱去；双数个环，就要将第1环移到辅

18、助柱去。6、预设学生回答应该明白以下两件事：第一：要知道一共有几个环；第二：要确定哪根是目标柱。学生对此可能会有疑惑，也可能会反对，学生可能会这样提出反证：移3个环时，第二步要将第2环移到目标柱，按照双数个环的规律，就要把第1环移到辅助柱，可是第1、第2环本身就已经在辅助柱，怎么能把第1环移到它本身在的柱子上呢？所以是要将第1环移到起始柱，而不是辅助柱。【设计意图：在这里给三根柱子起好名字，第一是为了统一术语，叙述上方便，第二也是为了使学生了解三根柱子不同的作用。统一记录圆环的顺序，也是为了叙述上的方便。】【设计意图：从3个环开始，符合从易到难的认知规律，而且3个环，是最少的单数个数，更容易让

19、学生运用倒推法理解为什么第1个要先移到目标柱，为后面的总结做准备。】【设计意图：增加环的个数到4个环，既增加了难度，又是双数环中最少的，通过倒推法，使学生理解重点在第一步，而第一步成功的关键在第一个环应该要移到辅助柱上，同时又使学生体会到第4环移到目标柱之后，前3环的移动其实就是重复刚才3个环的步骤。】【设计意图：说明第1环移到哪个位置的重要性，从而得出成功完好汉诺塔的关键所在就是要想清楚第1环究竟是要先移到目标柱，还是要先移到辅助柱。】【设计意图：从实物操作到推理想象，促使学生从具体形象思维逐步发展到抽象逻辑思维，促进学生思维能力的提升。】【设计意图：观察列举的3到10个环，可以得出第1个环

20、移到哪根柱子上去的规律，也就找到了玩好汉诺塔的重要策略，但还必须使学生明白要运用这个策略，还得有两个前提，第一是要知道一共有几个环，第二是要确定哪根是目标柱，不然没办法运用这个策略。】【设计意图：使学生明白“起始柱”和“辅助柱”不是一成不变的，而是相对来说的，你要移动哪个环，哪个环所在的柱子就是它的起始柱，相应的另一根柱子就是它的辅助柱，而“目标柱”是固定不变的。在理清了三根柱子的相对性之后，就更容易理顺玩好汉诺塔的思路，选择正确的策略来解决问题。】拓展一、运用策略，反复练习：1、课件动感练习：学生通过拖拉圆环，可以实现圆环的移动。2、实物速度练习：学生人手一个汉诺塔开始练习，速度又慢及快。学

21、生运用课件模拟练习和运用器具实际练习。【设计意图：在课件上拖拉圆环练习，可以起到一个给全班示范操作的作用，也可以起到一个让全班判断正确与否的作用。在这个基础上，再让学生人手一个汉诺塔，在实物上由慢及快，逐步练习速度。当然，这节课才是第一课时，对速度上不要要求过高，最重要的是正确性，后面再安排几节练习课，专门练习速度。】二、了解算法、拓展知识：(1)解决汉诺塔古老传说的疑问：师：那课前讲的印度古老传说中僧侣们的预言会不会是实现呢？我们来了解一下汉诺塔移动次数的算法就知道了。师：刚才我们移动3个环时，用了三步，每移一个环为一次，三步中移动了几次呢？（数，发现是7次），移动4个环时，移动了几次呢？（

22、数，发现是15次）那移动的次数跟环的个数有没有关系呢？有什么关系呢？数学家们通过反复的操作和计算，终于发现了其奥秘：（以下课件演说）假设有n片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，f(4)=15，f(k+1）=2f(k)+1。此后不难证明f(n)=2n-1。这就是“递归”的思想和方法。所以不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢? 按照公式计算，n=64时，f(n)=2n-1=264-1=1,844,674,407,584,554,049,253,855次。假如每秒钟一次，共需多

23、长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，1，844，674，407，584，554，049，253，855秒=5845亿年这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。（2）了解“棋盘装麦粒”的印度传说：和汉诺塔故事相似的，还有另外一个印度传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人宰相西萨班达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里赏

24、给我一粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为1+2+22+263=264-1等于移完64环汉诺塔的次数。我们已经知道这个数字有多么大了。人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子！（3）了解品字型汉诺塔的算法：后来一位美国学者发现一种出人意料的简单方法，只要轮流进行两步操作就可以了。首先把三根

25、柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：若n为双数，按顺时针方向依次摆放 A B C；若n为单数，按顺时针方向依次摆放 A C B。思路和策略是：（1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B；若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。（2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。

26、（3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：如3阶汉诺塔的移动：AC,AB,CB,AC,BA,BC,AC学生通过课件简介了解一些相关知识。【设计意图：回到课前的汉诺塔古老传说中产生的疑问，前面提出了问题，后面就要解决问题，首尾呼应。同时让学生了解些汉诺塔的算法和其他相关知识，可以拓展学生的知识面，而且对学生渗透递归思想和方法，为以后学习高等数学打下基础。】三、汉诺塔走进生活：师：汉诺塔现在风靡全球，在我们的生活中处处可见汉诺塔的身影，不信？请看：欣赏图片、课件展示： 学生观看课件图片。【设计意图：使学生明白汉诺塔不只可以

27、是一个小小的游戏器具，它在生活中可以变换出各种形式。】小结畅谈收获、交流感想：师：这节课上到这，你有什么收获和感想吗？（让学生畅所欲言）作业评价激励、精炼提升：师：孩子们这节课成功地研究出了玩汉诺塔的思路和策略，回家后可以多加练习，有困难的可以再问问老师或同学，不懂就问，熟能生巧，这是学习的两个很重要的方法。板书设计梵天的汉诺启示第一：知道移动第几环；前提 第二：以该环所在的柱子为起始柱； 第三：确定哪是目标柱。 思路 单数环，第1环移到目标柱； 策略 双数环，第1环移到辅助柱。从下往上，依次循环。七、教学反思或创新特色：在中国教育科学研究院教学科技研发中心“优质课堂与现代教学技艺运用的研究”

28、总课题组举办的“思维潜能开发” 实验项目研修培训上，于浩老师谈到“数学思维教育的本质是训练人从数学角度对事物规律的认知能力，主要通过数学思维训练来实现”。三类数学思维训练器具：顿悟系列（如：双马双骑士、捆仙绳、金字塔等）、空间几何系列（如：七巧板、神龙摆尾、巧放圆形等）、数理逻辑系列（如：九宫图、争王棋、数独等）。3这节课充分体现了于浩老师的讲稿精神，调动了学生学习的积极性，培养了学生兴趣，发展了学生智能，拓宽了学生的知识面。第一：用汉诺塔的印度古老传说导入新课、引出课题，引人入胜，吸引了学生的注意力，激发了学生的兴趣，调动了学生的求知欲。第二：先让学生尝试着玩，发现玩汉诺塔并不容易，使探究其

29、玩法的策略和思路成了学生迫切的内在需要，有需要就会有动力，变“要我研究”为“我要研究”，充分调动了学生学习的积极性和主动性。第三：让学生从易到难，从具体到抽象，先操作3个环、4个环，后脱离实物，独立推理5个环、6个环，促使学生从具体形象思维到抽象逻辑思维的提升，发展了学生的智能。第四：玩汉诺塔是个非常复杂的递归问题，但老师善于引导学生抓住关键点：只要知道每一步第1个环放在哪根柱子上，然后依次循环下去即可。这种化繁为简、变难为易的数学研究方法，无形当中对学生今后的学习研究有这潜移默化的作用。第五：这节课不仅局限于玩法本身，而且还致力于丰富和拓展学生的知识面，用课件让学生了解些汉诺塔的一些算法和相

30、关知识，使学生觉得数学世界是这么的奇妙有趣，从而更加热爱数学，热爱数学研究。八、教学后记： 这节课重点解决理解思路和策略的问题，学生大多数理解了，就基本达到了教学目标。熟练、快速是后面练习课的事，在这节课中不要强求。九、评析杨建华教授指出：在学生先天自然禀赋的基础上，后天的“挖掘”、“培育”不仅可能，而且同样重要。我们通过益智游戏进行思维教育的主旨就是：促进以思维为核心的认知水平的提高、促进思维的发展、强化和提升。【4】黄老师不仅让学生知其然，而且让学生知其所以然，不仅让学生知道怎么玩汉诺塔，而且让学生知道为什么这么玩汉诺塔，注重的是策略，而不只是方法，站在启发学生思维的高度进行游戏的教学，很好的诠释了杨建华教授主讲的重要思想，不是为游戏而游戏，而是在游戏中启迪学生的智能，发展学生的各项思维。这节课不但充分体现了学生为主体的地位，而且也充分体现了教师主导的作用，该牵的时候牵，该导的时候导，该教的时候教，该放手的时候