差分方程模型习题+答案.docx

1、差分方程模型习题+答案1. 一老人 60 岁时将养老金 10 万元存入基金会，月利率 0.4%， 他每月取 1000 元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到 80 岁，问60 岁时应存入多少钱？分析： (1) 假设 k 个月后尚有 Ak 元，每月取款 b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程：Ak 1aA kb ，其中 a = 1 + r每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出Ak 的值。(2) 多少岁时将基金用完，何时Ak 0 由（ 1）可得：AA a kb a k1k0rn若 An0 ， bA0 rana1(3) 若想用

2、到 80 岁，即 n (80-60)*12=240 时， A240 0 ， bA0 ra240(1)240利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：clear allclose allclcx0=100000;n=150;b=1000;r=0.004;k=(0:n);y1=dai(x0,n,r,b);round(k,y1)function x=dai(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b;end(2) 用 MATLAB 计算：A0=250000*(1.004240-1)/1.004240a 1思考与深入：(2) 结论： 1

3、28 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完(3) A0 = 1.5409e+005结论：若想用到 80 岁， 60 岁时应存入 15.409 万元。2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10 万元，月利率 0.5%，他每月还 1000 元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要少？10 年还清，每月需还多分析：记第 k 个月末他欠银行的钱为k+1 个月末欠银行的钱为x（ k），月利率为r，且a=1+r，b 为每月还的钱。则第x(k+1)=a*x(k)+b ， a=1+r， b=-1000 ， k=0 ， 1， 2在 r=0.005 及 x0=100000 代入，用

4、MATLAB 计算得结果。编写 M 文件如下 :function x=exf11(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB 计算并作图 :k=(1:140);y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);所以如果每月还 1000 元，则需要 11 年 7 个月还清。如果要 10 年即 n=120 还清，则模型为：r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n b=-r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n用 MATLAB 计算如下： x0=100000; r=0.005; n=120; b=-r*x0*(1+r)

5、n/1-(1+r)nb= 1.1102e+003所以如果要 10 年还清，则每年返还 1110.2 元。3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r1 ，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为a1；猫头鹰的年平均减少率为r2；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为a 2 。建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出程。50 年的变化过(1) 设 r10.2, r 20.3, a10.001, a20.002,开始时有100 只田鼠和50 只猫头鹰。（2）r1 , r2, a1 , a2同上

6、，开始时有100 只田鼠和200 只猫头鹰。（ 3）适当改变参数 a1 , a2 （初始值同上）（ 4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？分析：记第 k 代田鼠数量为x k ，第 k 代猫头鹰数量为y k ，则可列出下列方程：xk 1xk( r1a1 y k ) xky k 1y k( r 2a 2 x k ) y k运用 matlab 计算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;for k=1:49x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k);y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);endz=

7、x,y;(1)z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),r)(2)z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),r)(3)当 a1,a2 分别取 0.002,0.002 时，得到如下图像：4504003503002502001501005000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50可见，当 a1,a2 参数在一定范围内改变时， 猫头鹰与田鼠数量在一

8、定范围内震荡， 且不灭绝。(4)令 x kx k 1x；y kyk 1y解方程得到如下结果：x=150y=200经 matlab 验证如下：z=disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),r)由此可知：平衡点为： x=150 y=2004. 研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。 草的生长遵从 Logistic 规律，年固有增长率 0.8，最大密度为 3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉 1.6（密度单位）的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达 0.9 ，而草的存在可

9、使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为 1.5。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：（1）比较将 100 只鹿放入密度为 1000 和密度为 3000 的草场两种情况。（2）适当改变参数，观察变化趋势。模型假设：1草独立生存，独立生存规律遵从Logistic 规律；2草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；3鹿无法独立生存。没有草的情况下，鹿的年死亡率一定；4假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；5每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。记草的固有增长率为r ，草的最大密度为N，鹿独立生存时的年死亡率为d，草最茂盛时鹿的食草能力为a，草对鹿

10、的年补偿作用为b；第 k 1 年草的密度为x k1 ，鹿的数量为 yk1 ，第 k 年草的密度为x k ，鹿的数量为yk。草独立生存时，按照Logistic规律增长，则此时草的增长差分模型为xk 1xkr (1x k) xk，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下N方程： xk 1xkxk) xkax k yk,( k0,1, 2,)（1）r (1NN鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为y k 1y kdy k ，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程：y k 1y k (dbx k) y k ,( k0,1, 2,)（ 2）N另外，记初始状态鹿的数量

11、为 y0 ，草场密度初值为 x0 ，各个参数值为：，利用 MATLAB编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：%定义函数 diwuti ，实现 diwuti-Logistic 综合模型的计算，计算结果返回种群量function B =disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) % 描述 diwuti-Logistic 综合模型的函数x(1) = x0; % 草场密度赋初值y(1) = y0; % 鹿群数量赋初值for k = 1 : n;x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N;y(k+1) = y(k) + (-d + b*

12、x(k)/N)*y(k);endB = x;y;%clear allC1 =disiti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2 = disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),b,k,C1(2,:),b,k,C2(1,:),r,k,C2(2,:),r)axis(0 50 0 3000);xlabel(ylabel(title(时间 / 年)种群量 / 草场：单位密度，鹿：头图 1. 草和鹿两种群数量变化对比曲线)gtext(x0=1000)gtext(x0=3000)

13、gtext( 草场密度 )gtext( 鹿群数量 )比较将 100 只鹿放入密度为 1000 和密度为 3000 的草场两种情况（绘制曲如图 1 所示）：由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为 1000 时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为 3000 时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约 40-50 年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。使用 MatLab 计算可以得到， 当 ( y k , y k ) k (1800, 600) ，即两种群数量的平衡点为（ 1800，600）。为进一步验证此结论， 下面通过改变相关参数， 研究两种群变化情

14、况， 找到影响平衡点的因素：（ 1）改变草场密度初始值；从图 2 中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。（ 2）改变鹿的数量初值由图 2 可以看到，鹿初始的数量的改变在 理论上 也不会改变最终种群数量的平衡值。但是 ，我们可以看到， y0=2000 的那条曲线（紫色曲线），在 515 区间内降低到了非常小的值， 这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的， 因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。综合上面分析，可以在此得出一个结论： 最大密度一定的

15、草场所能承载的鹿的数量存在上限。（ 3）改变草场的最大密度 N，画图比较结果；如图 4 所示，如果草场密度的最大值 N 发生变化， 则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。结论： N 值越大，平衡点两种群的数量就越大； N 越小，平衡点两种群的数量就越小。（ 4）改变鹿群独立生存时的死亡率实验中， 改变了鹿单独生存的死亡率得到如图 5.1 和 5.2 两幅图， 可以得出结论： 鹿单独生存的死亡率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短；相反，鹿单独生存的死亡率越小，则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。（ 5）草场密度对鹿数量的补偿作用变化（ b 变化）从图中可以看

16、到， 如果 b 增大，则达到稳定点的时间会加长， 但如果 b 减小则会有一个域值，当 b 低于域值时，草鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。5. Leslie 种群年龄结构的差分方程模型已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡 （给出了变化过程的基本规律） 。孵化后的幼虫 2 周后成熟，平均产卵100 个，四周龄的成虫平均产卵150 个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为 0.09 ，（称为成活率） ， 2 周龄成虫发育成4 周龄成虫的概率为 0.2。假设开始时， 02 ，24 ， 46 周龄的昆虫数目相同，计算2 周、 4 周、 6 周后各种周龄的昆虫数目； 讨论这种昆虫各

17、种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？分析：将两周分成一个时段， 设 k 时段 2 周后幼虫数量为： x1(k),242 到 4 周虫的数量为： x (K),到 6 周虫数量为： x3(K) 。据题意可列出下列差分方程：x1(k+1)=x 2 (k)*100+x 3 (k)*150x2(k+1)=x 1(k)*0.09x3(k+1)=x 2(k)*0.2运用 matlab 编写的程序如下：function z=diwuti(a,r1,r2,n)x(1) =a;y(

18、1)=a;w(1)=a;for k=1:nx(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;y(k+1)=x(k)*r1;w(k+1)=y(k)*r2;endz=x,y,w;for k=1:n+1m=x(k)+y(k)+w(k)endplot(1:n+1,x);hold onplot(1:n+1,y,r);hold onplot(1:n+1,w,k),grid计算前三年的结果为：z=diwuti(100,0.009,0.2,2)m4x 102.521.510.501 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3（蓝线为 02 周的虫，红线为 24 周的虫，黑线为 46周的虫）其中， m表示三个不同生长周期的虫的总数，可见虫并未灭绝。当年份足够长时，可观察到各年龄段虫的数量变化： z=diliuti(100,0.009,0.2,20)m4x 1054.543.532.521.510.500 5 10 15 20 25由此可见， 02 周的虫的数量急剧增多， 24 周的虫的数量也增多，而 46 周的虫的数量相对很少。三者并无太多比例关系。最终整个种群数量增多。当使用杀虫剂时：z=diwuti(100,0.0045,0.1,20)m4x 102.521.510.500 5 10 15 20 25可见虫的数量受到控制，杀虫剂效果很好。