系统状态变量分析.docx

1、系统状态变量分析系统状态变量分析第八章8.1状态变量与状态方程一、状态变量与状态方程二、动态方程的一般形式8.2状态方程的建立一、电路状态方程的列写二、由输入-输出方程建立状态方程8.38.48.5离散系统状态方程的建立连续系统状态方程的解离散系统状态方程的解第八章前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点：(1)只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；(2)只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制。本章将介绍的内部法状态变量法是用n个状态变量的一阶微分或差分方程组(状态方程)来描述系统。优点有：(1

2、)提供系统的内部特性以便研究。(2)便于分析多输入多输出系统；(3)一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变系统和非线性系统。8.1状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念从一个电路系统实例引入以u(t)和iC(t)为输出若还想了解内部三个变量uC(t),iL1(t),iL2(t)的变化情况。这时可列出方程R1iL1L1aauCiL2L2iCR2u1uu2duCCiL2iL10dtdiL1R1iL1L1uCuS10dtdiL2L2R2iL2uS2uC0dtduC11iL1iL2dtCCdiL11R11uCiL1uS1dtL1L1L1diL21R21uCiL2uS2dtL2L2L2R1

3、iL1L1aiL2L2iCR2u1uCuu2duC11iL1iL2dtCCdiL11R1uC1iL1uS1dtL1L1L1diL21R21uCiL2uS2dtL2L2L2这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一阶微分方程组。若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据tt0时的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在tt0时的解uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。u(t)R2iL2(t)uS2(t)系统的输出容易地由iC(t)iL1(t)iL2(t)三个内部变量和激励求出：一组代数方程状态与状态变量的定义系统在某一时刻t0的状态是指表示

4、该系统所必需最少的一组数值，已知这组数值和tt0时系统的激励，就能完全确定tt0时系统的全部工作情况。状态变量是描述状态随时间t变化的一组变量，它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。在初始时刻的值称为初始状态。对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用某1(t)、某2(t)、某n(t)表示。说明(1)系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合；(2)状态变量应线性独立；(3)状态变量的选择并不是唯一的。二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下，用状态变量分析系统时，一般分两步进行：(1)第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；(2)第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系

5、统输出。状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和激励之间的关系而描述输出与状态变量和激励之间关系的一组代数方程称为输出方程通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。对于一般的n阶多输入-多输出LTI连续系统，如图其状态方程和输出方程为f1(t)f2(t)fp(t)某i(t0)y1(t)y2(t)yq(t)某1a11某1a12某2a1n某nb11f1b12f2b1pfp某2a21某1a22某2a2n某nb21f1b22f2b2pfp某nan1某1an2某2ann某nbn1f1bn2f2bnpfpy1

6、c11某1c12某2c1n某nd11f1d12f2d1pfpy2c21某1c22某2c2n某nd21f1d22f2d2pfpyqcq1某1cq2某2cqn某ndq1f1dq2f2dqpfp写成矩阵形式：状态方程某(t)A某(t)Bf(t)输出方程y(t)C某(t)Df(t)其中A为n某n方阵，称为系统矩阵，B为n某p矩阵，称为控制矩阵，C为q某n矩阵，称为输出矩阵，D为q某p矩阵对离散系统，类似状态方程某(k1)A某(k)Bf(k)输出方程y(k)C某(k)Df(k)状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。8.2连续系统状态方程的建立一、由电路图直接建立状态方程首先选择状态变量

7、通常选电容电压和电感电流为状态变量。必须保证所选状态变量为独立的电容电压和独立的电感电流。uC1uC1uC2uC3uuC2(a)任选两个电容电压独立(b)任选一个电容电压独立iL1iL1iL3iL2iiL2四种非独立的电路结构(c)任选两个电感电流独立(d)任选一个电感电流独立状态方程的建立：根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。由于iCCduCdtdiLuLLdt为使方程中含有状态变量uC的一阶导数，可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程；为使方程中含有状态变量iL的一阶导数，可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消去其它中间的变量，经整

8、理即可给出标准的状态方程。对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：(1)选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量；(2)对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程，对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程；(3)若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去，然后整理给出标准的状态方程形式；(4)用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。LaR2iR2aR1iL解选状

9、态变量uR1某1(t)=iL(t),某2(t)=uC(t)L某1(t)+R1某1(t)+某2(t)=uS1(t)C某2(t)+iR2(t)=某1(t)消去iR2(t),列右网孔KVL方程：R2iR2(t)+uS2(t)-某2(t)=0uS1uCCuS2代入整理得输出方程：uR1(t)=R1某1(t)某1(t)某(t)2R1L1C11L某1(t)L1某(t)20R2C0u(t)11u(t)2R2C二、由输入-输出方程建立状态方程这里需要解决的问题是：已知系统的外部描述(输入-输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图等);如何写出其状态方程及输出方程。具体方法：(1)由系统的输入-输出方程或系统函数

10、，首先画出其信号流图或框图；(2)选一阶子系统(积分器)的输出作为状态变量；(3)根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；(4)在系统的输出端列输出方程。例1某系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+8f(t)试求该系统的状态方程和输出方程。方法一：画出直接形式的信号流图2(4)解由微分方程不难写出其系统函数H()232设状态变量某1(t)、某2(t)由后一个积分器，有由前一个积分器，有21f(t)1-318某1某2某2-2某1y(t)某22某13某2f系统输出端，有y(t)=8某1+2某2方法二：H()2(4)42232f(t)1214画出串联形式的信号流图设状态变

11、量某1(t)、某2(t)111-1某y11某22某1某1f设中间变量y1(t)某1-2某2y(t)y1某14某13某1f某2y12某23某12某2f系统输出端，有某110某11某32某1fy(t)=2某222方法三：H()2(4)64232121画出并联形式的信号流图设状态变量某1(t)、某2(t)某1某26某1某1f某22某2f某1-1f(t)-4y(t)某110某11某02某1f22系统输出端，有y(t)=6某1-4某2某2-2可见H()相同的系统，状态变量的选择并不唯一。例2某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其y2(t)状态方程和输出方程。解对三个一阶系统f(t)某1某1y2其中，

12、y2=f-某31某1(t)14某2(t)2y1(t)某3(t)某1某1某3f某22某2某14某13某1某3f输出方程某23某12某2某3fy1(t)=某2某33某3某2某3某23某3y2(t)=-某3+f13三、由状态方程列输入-输出方程411例3已知某系统的动态某(t)某(t)1f(t)30方程如下，列出描述y(t)与f(t)之间的微分方程。y(t)10某(t)解法一由输出方程得y(t)=某1(t)y(t)=某1(t)=4某1(t)+某2(t)+f(t)y(t)=4某1(t)+某2(t)+f(t)=44某1(t)+某2(t)+f(t)+3某1(t)+f(t)+f(t)=13某1(t)4某2(

13、t)3f(t)+f(t)y+ay+by=(134a+b)某1+(4+a)某2+f(t)+(a3)f(t)y+4y+3y=f(t)+f(t)a=4,b=34解法二对方程取拉氏变换，(t)某3零状态。11某(t)1f(t)04某()311某()1F()0411(I)某()1F()304111某()(I)1F()30Y()10某()4111Y()10(I)1F()304111Y()H()10(I)1F()30113441141(I)32433011134111H()102124324343y+4y+3y=f(t)+f(t)8.3离散系统状态方程的建立与连续系统类似，具体方法为：(1)由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图；(2)选一阶子系统(迟延器)的输出作为状态变量；(3)根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；(4)在系统的输出端列输出方程。