导数中的构造函数最全精编.docx

1、导数中的构造函数最全精编导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。（一）利用 f (x) 进行抽象函数构造1、利用 f (x) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x), f (x) ；这类形式是对u v, u 型x v数导数计算的推广及应用，我们对u v, u 的导函数观察可得知， u v 型导函数中v体现的是“ + ”法， u 型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当v导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优

2、先考虑构造u v 型，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造 u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看v例 1，例 2. 【例 1】 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f (x) + xf (x) 0 的解集为 【解析】构造 F (x) = xf (x) ，则F (x) = f (x) + xf (x) ，当x 0 时，f (x) + xf (x) 0 ，可以推出 x 0 ， F (x) 0 的解集为(-,-4) (0,4) .【例 2 】设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 且 f (1) = 0 ， 当 x 0 恒成立，则不等式 f (x) 0 的解集为

3、 思路点拨：出现“ ”形式，优先构造 F (x) = f (x) 然后利用函数的单调x性、奇偶性和数形结合求解即可. f (x) f (x) x - f (x)【 解 析 】 构 造 F (x) = ， 则 F (x) = x2 ， 当 x 0 ，可以推出 x 0 ， F (x) 在(-,0) 上单调递增. f (x) 为偶函数， x 为奇函数，所以 F (x) 为奇函数， F (x) 在 (0,+) 上也单调递减.根据f (1) = 0 可得 F (1) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知f (x) 0 的解集为(-,-1) (1,+) .xf (x), f (x)

4、 是比较简单常见的 f (x) 与 x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，x不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.F (x) = xn f (x) ， F (x) = nxn-1 f (x) + xn f (x) = xn-1nf (x) + f (x) ； n n-1 F (x) = f (x) ， F (x) = f (x) x - nx f (x) = xf (x) - nf (x) ；xn x2n xn+1结论：出现nf (x) + xf (x) 形式，构造函数 F (x) = xn f出现 xf (x) - nf (x) 形式，构造函数 F (x) = f

5、(x) .xn我们根据得出的结论去解决例 3 题【例 3】已知偶函数 f (x)(x 0) 的导函数为 f (x) ，且满足 f (-1) = 0 ，当x 0时， 2 f (x) xf (x) ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是 思路点拨：满足“ xf (x) - nf (x) ”形式，优先构造 F (x) = f (x) 然 后 利 用xn函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.f (x) f (x) x - 2 f (x)【 解 析 】 构 造 F (x) = x2 ， 则 F (x) x3 ， 当 x 0 时 ，xf (x) - 2 f (x) 0 ，F (x) 0 的解

6、集为(-1,0)(0,1) .【变式提升】设函数 f (x) 满足 x3 f (x) + 3x2 f (x) = 1+ ln x ，且 f (则 x 0 时， f (x) （ ）A、有极大值，无极小值 B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值 D、既无极大值也无极小值e ) = 1 ，2e思路点拨：满足“ xf (x) + nf (x) ”形式，为n = 3 时情况，优先构造 F (x) = f (x) ，xn然后利用积分、函数的性质求解即可.【例 4】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，在(-,0) 上有2xf (2x) + f (2x) 0 ， 且 f (-2) = 0 ，则不

7、等式 xf (2x) 0 的解集为 .（2）利用 f (x) 与ex 构造；f (x) 与 ex 构造， 一方面是对 u v, u 函数形式的考察， 另外一方面是对v (ex ) = ex 的考察.所以对于 f (x) f (x) 类型，我们可以等同 xf (x), f (x) 的类型处x理，“ + ”法优先考虑构造 F (x) = f (x) ex ，“ ”法优先考虑构造 F (x) = f (x)ex .【例 5】已知 f (x) 是定义在(-,+) 上的函数，导函数 f (x) 满足 f (x) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0) B 、f (2) e2014

8、f (0)C 、f (2) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0) D 、f (2) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0)思路点拨：满足“ f (x) - f (x) 0 ”形式，优先构造 F (x) = f (x) ，然后利用 ex函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.f (x) e f (x) - e f (x) = f (x) - f (x)x x 【解析】构造 F (x) = ex 形式，则 F (x) e2 x ex ，导函数 f (x) 满足 f (x) f (x) ，则 F (x) 0 ， 则 F (x) 0 ， F (x)

9、 在 R 上单调递增. 又f (0) = 1，则 F (0) = 1 ， f (x) e2 x f (x) 1 F (x) F (0) ，根据单调性得 x 0 .2x【变式提升】若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) - 2 f (x) - 4 0, f (0) = -1， 则不等式 f (x) e2 x - 2 的解集为 e2 x e2 x思路点拨：利用通式构造函数时考虑- 4 如何转化.构造函数 F (x) = f (x) - 2【例 7】已知函数 f ( x ) 在 R 上可导，其导函数为 f ( x) ，若 f ( x ) 满足：(x -1) f (x )- f (x )

10、 0 ， f (2 - x) = f (x )e2-2 x ，则下列判断一定正确的是（ ）（A） f(1) e2 f (0)（C） f (3) e3 f (0) （D） f (4) 0 ，则 x 1时 F (x) 0 ， F (x) 在1,+) 上单调递增 . 当 x 1 时 F (x) 0 （其中 f ( x) 是函数 f (x) 的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）( ) ( )A 、 2 f f B、 2 f (- ) f (- )3 4C、 f (0) 2 f 3 4D、 f (0) ( ) 2 f ( )4 3 【变式提升】定义在(0, ) 上的函数，函数 f (x) 是它的导函

11、数，且恒有2f (x) 4f ( ) 3B、 f (1) 6f ( ) 4D、 f ( ) 0 ，则下列结论正确的是（ ） , ，且2 2A、 B、2 2 C、 0思路点拨：构造函数 f (x) = x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.【解析】构造 f (x) = x sin x 形式，则 f (x) = sin x + x cos x ， x 0, 时导函数2f (x) 0 ， f (x) 单调递增；x - ) 时导函数 f (x) 0 ， f (x) 单调递减.有 f (x) ,02为偶函数，根据单调性和图像可知选 B.【变式提升】定义在R 上的函数 f (x) 满足

12、 f (1) = 1 且对x R, f (x) log2 x +1 的解集为 .2 2思路点拨：构造函数 F (x) = f (x) - 1 x2 ，令t = log x ，然后原不等式等价于2t +1 2f (t) ，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可.2则 f (0) = （ ）A、26 B、29 C、212 D、215思路点拨：构造函数 f (x) = xg(x) ，然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可.【 解 析 】 令 g(x) = (x - a1)(x - a2 ).(x - a8 ) 形 式 ， 则 f (x) = xg(x) ，f (x) = g(x) + xg (x)

13、 ， f (0) = g(0) = a a . a = (2 4)4 = 212 ，故选 C.1 2 8 【例 11】已知实数a, b, c 满a - 2eab= 1- c =d -11，其中e 是自然对数的底数，那么(a - c)2 + (b - d )2 的最小值为( )A、8 B、10 C、12 D、18思路点拨：把(a - c)2 + (b - d )2 看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可.a - 2ea a【 解 析 】 由 = 1 b = a - 2e 进 而 f (x) = x - 2e x ； 又 由b1- c = 1 d = 2 - c g(x) =

14、2 - x ；由 f (x) = 1- 2ex = -1，得 x = 0 ，所以切点坐标d -1 | 0 - 2 - 2 2为(0,-2) ，所以(a - c)2 + (b - d )2 的最小值为 = 8 1+1 【变式提升】已知实数a, b 满足2a2 - 5 ln a - b = 0 ，c R ，则 (a - c)2 + (b + c)2的最小值为 思路点拨：构造函数 f (x) = 2x2 - 5 ln x ， g(x) = -x ，然后利用两点之间的距离公式和数形结合思想求解即可. 【课后作业】设函数 f (x) 在 R 上的导函数 f (x) ， 在(0,+) 上f (x) sin 2x ，且x R ，有 f (-x) + f (x) = 2 sin 2 x ，则以下大小关系一定正确的是（ ）f5 4 (A、 ) f ( ) 6 3)B、 f ( ) f (-) 6 3 4构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。