贝塞尔公式word精品.docx

1、贝塞尔公式word精品样本标准差的表示公式数学表达式: S-标准偏差（% n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 i-物料中某成分的各次测量值，1n； 编辑标准偏差的使用方法i11M3D1 810019000tt I meI 77*0 I 77J0 17TOQ i ran1 TWO1 W3&co ii w 2900 oen oeao irw mw oq 总如 woo n w us ro woo t woo*在价格变化剧烈时，该指标值通常很高*如果价格保持平稳，这个指标值不高。在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。编辑标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每

2、个样本数据-样本全部数据之平均值）步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。步骤三、把步骤二的结果除以（n - 1）（“ n”指样本数目）步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差编辑六个计算标准偏差的公式编辑标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为11、丨2、 测得值I与该量真值X之差为真差占CT ,则有 （T 1 = 1 i - X（T 2 = I 2 - X(T n = |n- X1 n朽(Hi=l我们定义标准偏差（也称标准差）C为=lun由于真值X都是不可知的，因此真差C占也就无法求得，故式只有理论意 义而无实用价值。编辑标准偏差b的常用估计一贝塞尔公

3、式由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。于是我们用测得值li与算术平均值之差一一剩余误差（也叫残差）V来代 替真差（T , 即Vi = Li-L设一组等精度测量值为丨1、丨2、， In贝 U - .1 - L14 = b - EJ JVn = ln L通过数学推导可得真差c与剩余误差v的关系为将上式代入式（1）有式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当 时，= f 用為一工,可见贝塞尔公式与(T的定义式 是完全一致的应该指出，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差

4、 c的一个估计 值。它不是总体标准偏差c。因此，我们称式(2)为标准偏差c的常用估计。为 了强调这一点，我们将c的估计值用“ S ”表示。于是，将式(2)改写为(2)n n iz仏一 qjdS*5(2)式(2)可写为按式(2)求S时，只需求出各测得值的平方和 和各测得值之和的平方n(E)2艺 ，即可。标准偏差c的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S是总体方差(72的无偏估计。即在大量重复试验中,S围 绕72散布,它们之间没有系统误差。而式(2)在n有限时,S并不是总体标准偏 差7的无偏估计，也就是说S和7之间存在系统误差。概率统计告诉我们，对于 服从正态分布的正态总体，总体标准

5、偏差7的无偏估计值为则-二、U即S和S仅相差一个系数K.,K是与样本个数测量次数有关的一个系数,K 7值见表。计算&时用到r (n + 1) = nr (n)r （1） = 1n0an12L25337E04242031.12S481.03622541.08549；EG3173051.0638101.02814061.0509151.018050由表1知,当n30时，八十 1-工;打怎。因此，当n30时，式(3)和 式(2)之间的差异可略而不计。在n=3050时，最宜用贝塞尔公式求标准偏 差。当n50时的情况,当n50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很 小了。2.5标准偏差c的极差估计由于以

6、上几个标准偏差的计算公式计算量较大 ，不宜现场采用，而极差估计的方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用的特 点。极差用R表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的 n个样本测得值中的最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得I 1、 ，且它们服从正态分布，则R = I max - I min概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为血 S3称为标准偏差c的无偏极差估计，d2为与样本个数n（测得值个数）有关的 无偏极差系数，其值见表21n1/込2L4141J280.88631.732L6930.59L _1142,0002.0590.48652.2362.326広心）62.4507.

7、53463!仔 !172.646037082柄 12.847 |0319100G2,9700.337103J623.078O：325 11133173J730.315123.4643.2580.307133,60633360.300143.7423,4070.294153.8733.4720-288164.0003.5320,283174.1233.5880,279182433.6400.275 )194.3593.6890.271由表2知，当nW 15时，,因此，标准偏差c更粗略的估计值为(5)S； = -R6 6 (5)显然，不需查表利用式(5)和(5) 了即可对标准偏差值作出快速估计,用

8、 以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低，但当510时，由于舍去数据信息 较多，因此误差较大，为了提高准确度，这时应将测得值分成四个或五个一组 先求出各组的极差R、-=,再由各组极差求出极差平均值 。D _ + * * * + Rk灵极差平均值和总体标准偏差的关系为需指出，此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查 表2。再则，分组时一定要按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。编辑标准偏差(T的平均误差估计平均误差的定义为v |久| + |如+ |几|Ti = hm /ng n误差理论给出/2r 4(A)i1 5

9、= 0.7979t a -rr V TT 57T的关系为可以证明亨=二 与1(证明从略)由式(A)和式(B)得从而有(n-l)=1.2533 昙也0(舁1)4n(n- 1)式 就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856) 公式。用该公式估计S值,由于 right|Vright| 不需平方，故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。 该式使用条件与贝塞尔公式相似。编辑标准偏差的应用实例对标称值Ra = 0.160 卩m的一块粗糙度样块进行检定, 顺次测得以下15个数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,

10、1.64,1.74和1.63卩m试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否解：1)先求平均值L = 1.60 I一 12 + 5 + 0+ 7- 8-14 +12 + 9+17+ 4 4-10 + 4 + 4+ 3=1.60 I2715 x 100=1.618( fim )15 x 1002)再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式(5)计算，首先将测得的，15个数据按原顺序分为 三组，每组五个，见表3。表3组号l_1l_5R11.481.65 1.60 1.67 1.52 0.1921.461.72 1.69 1.77 1.64 0.3131.561.50 1.64 1.74 1.63 0.2

11、4= 0-13因每组为5个数据，按n=5由表2查得-故Sr = = 0-43 x 0.247 = 0.10621 ( pm )a?若按常用估计即贝塞尔公式式(2), 则n _ T仏L)1 = 0.0962(im ) 、舁 一 1 若按无偏估计公式即式(3)计算,因n=15,由表1查得Ks = 1.018,则S】=K&S = 1.018 X 0.0962 = 0.09793( pm )若按最大似然估计公式即式(4)计算,则= 1n(UMn3=1n寺 x f39.3985 一 牛|匸15 15=0.09296( 卩 m )若按平均误差估计公式即式(6),则S4 = 1.2533=12533 x1.

12、176/15 x 14=0-1017( fim )现在用式(5)对以上计算进行校核I _ IX 0.247 = 0.0637( /zm )可见以上算得的S、S、S、S3和S没有粗大误差。由以上计算结果可知 0.092960.09620.09790.10170.1062即 S2 S S S4 S3可见，最大似然估计值最小，常用估计值S稍大，无偏估计值s又大，平 均误差估计值S4再大，极差估计值S3最大。纵观这几个值，它们相当接近，最 大差值仅为0.01324卩m从理论上讲，用无偏估计值和常用估计比较合适，在 本例中,它们仅相差0.0017卩m可以相信,随着的增大,S、S、S、S3和S之 间的差别

13、会越来越小。就本例而言,无偏极差估计值S3和无偏估计值Si仅相差0.0083卩m这说明 无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。JJG102-89表面粗糙度比较样块规定Ra的平均值对其标称值的偏离不应 超过+12%-17%,标准偏差应在标称值的4%-12%之间。已得本样块二 产, :;产均在规定范围之内,故该样块合格。编辑标准偏差与标准差的区别标准差(Standard Deviation) 各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均 数，它是离差平方和平均后的方根。用 c表示。因此，标准差也是一种平均数。 标准差是方差的算术平方根。 标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。例如，A B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、 75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是 70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间 的差距要比B组学生之间的差距大得多。标准偏差(Std Dev,Standard Deviation)- 统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小， 这些值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值 的倍率关系来衡量。