备战中考数学圆与相似大题培优附详细答案doc.docx

1、备战中考数学圆与相似大题培优附详细答案doc2020-2021 备战中考数学圆与相似 (大题培优 )附详细答案一、相似1如图，在一块长为 a(cm)，宽为 b(cm)(ab)的矩形黑板的四周，镶上宽为 x(cm) 的木板，得到一个新的矩形（1）试用含 a， b， x 的代数式表示新矩形的长和宽；（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由【答案】 （1）解：由原矩形的长、宽分别为 a(cm)， b(cm)，木板宽为 x(cm)，可得新矩形的长为 (a 2x)cm，宽为 (b 2x)cm（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 ，由比例的基本性质，得 ab 2bx

2、 ab 2ax， 2(a b)x 0.ab， ab0，x 0，又 x0，原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段【解析】 【分析】（ 1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。（2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出 x=0，即可判断。2 如图（ 1 ），在矩形 DEFG 中，AC=6， ABC 的一边 BC 和矩形的一边DE=3， EG=6，在 Rt ABC 中， ABC=90， BC=3， DG 在同一直线上，点 C 和点 D 重合， Rt ABC将从D 以每秒 1 个单位的速度向 DG 方向匀速平移，当点 C 与点 G 重合时停止运动，设运动时间为

3、t 秒，解答下列问题：（1）如图（ 2），当 AC过点 E 时，求 t 的值；（2）如图（ 3），当 AB 与 DE 重合时， AC 与 EF、 EG分别交于点 M、 N，求 CN 的长；（3）在整个运动过程中，设 RtABC 与 EFG重叠部分面积为 y，请求出 y 与 t 的函数关系式，并写出相应 t 的取值范围【答案】 （1）解：如图（ 2），当 AC 过点 E 时，在 Rt ABC中， BC=3， AC=6，BC 所对锐角 A=30 ， ACB=60 ，依题意可知 ABC= EDC=90， ACB= ECD， ABC EDC，CD=，即，t=CD=；（2）解：如图（ 3）， EDG=9

4、0， DE=3， EG=6，DG=3，在 Rt EDG中， sin EGD= EGD=30 ， NCB= CNG+ EGD， CNG= NCB EGD=60 30 =30 ， CNG= EGD，NC=CG=DG BC=3 3；（3）解：由（ 1）可知，当 x 时， ABC 与 EFG有重叠部分分两种情况： 当 t 3时，如图（ 4），ABC 与 EFG 有重叠部分为 EMN，设AC 与EF、 EG 分别交于点M、 N，过点N 作直线NP EF于 P，交 DG 于 Q，则 EPN= CQN=90，NC=CG，NC=DG DC=3 t，在 Rt NQC 中， NQ=sin NCQNC=sin60（

5、 3 t） = ，PN=PQ NQ=3 = ， PMN= NCQ=60 ，sin PMN= ， MN= =t ，在矩形 DEFG中， EF DG， MEN= CGN， MNE= CNG， CNG= CGN， EMN= MNE，EM=MN ，EM=MN=t ，y=SEMN= EM?PN= ； 当 3 t 3 时，如图（ 5），ABC 与 EFG重叠部分为四边形 PQNM，设 AB 与 EF、 EG 分别交于点 P、Q， AC 与 EF、EG分别交于点 M、 N，则 EPQ=90，CG=3 t，S，EMN=EP=DB=t 3， PEQ=30 ，在 Rt EPQ中， PQ=tan PEQ EP=ta

6、n30（ t 3）= ，SEPQ= EP?PQ= （ t 3） = ，y=SEMN SEPQ= （ ） （ ） = + （ ，综上所述， y 与 t 的函数关系式： y= 【解析】 【分析】（ 1）证 ABC EDC，由相似三角形的性质可求出 CD 的值，即可求t；（ 2 ） 利 用 勾 股 定 理 求 出 DG 的 值 ， 则 由 三 角 函 数 可 EGD=30 ， 进 而 可 证 得CNG= EGD，则 NC=CG=DG BC，可求出答案；（3）根据重叠部分可确定 x 的取值范围，再由三角形的面积公式可求出函数解析式 .3 在正方形 中， ，点 在边 上， ，点 是在射线 上的一个动点，

7、过点 作 的平行线交射线 于点 ，点 在射线 上，使 始终与直线垂直（1）如图 1，当点 与点 重合时，求 的长；（ 2）如图 2，试探索： 的比值是否随点 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图 3，若点 在线段 上，设 ， ，求 关于 的函数关系式，并写出它的定义域【答案】 （1）解：由题意，得 ,在 Rt 中， （2）解：答： 的比值随点 的运动没有变化理由：如图， , ， 的比值随点 的运动没有变化 ,比值为（3）解：延长 交 的延长线于点 , ,又,它的定义域是【解析】 【分析】（ 1）根据正方形的性质得出 A B = B C = C D

8、= A D = 8 , C = A =90 ，在 Rt B C P 中，根据正切函数的定义得出 tan P B C = P C B C，又 tan P B C= ，从而得出 PC 的长，进而得出 RP 的长，根据勾股定理得出 PB 的长，然后判断出 P BC P R Q，根据相似三角形对应边成比例得出（2） RM MQ 的比值随点 Q 的运动没有变化PB RP=PCPQ,从而得出 PQ 的长；,根据二直线平行同位角相等得出 1 =AB P , Q M R = A，根据等量代换得出 Q M R = C = 90，根据根据等角的余角相等得出R Q M =P B C，从而判断出 R M QP C B

9、，根据相似三角形对应边成比例，得出PM MQ=PC BC,从而得出答案；（ 3 ）延长 B P 交 A D 的延长线于点 N， 根据平行线分线段成比例定理得出PD AB=NDNA,又 N A = N D + A D = 8 + N D ，从而得出关于 ND 的方程，求解即可得出ND，根据勾股定理得出 PN，根据平行线的判定定理得出 PD MQ, 再根据平行线分线段成比例定理 得出 PD MQ=NP NQ,又 RM MQ=3 4,RM=y，从而得出 MQ= y,又 P D = 2 , NQ = P Q + P N = x + ，根据比例式，即可得出 y 与 x 之间的函数关系式。4 在 平 面

10、直 角 坐 标 系 中 ， 点 A 点 B 已 知 满 足.（1）点 A 的坐标为 _，点 B 的坐标为 _；（2）如图 1，点 E 为线段 OB 上一点，连接 AE，过 A 作 AFAE，且 AF=AE，连接 BF 交轴于点 D，若点 D(-1,0)，求点 E 的坐标；（3）在 (2)的条件下，如图 2，过 E 作 EHOB 交 AB 于 H，点 M 是射线 EH 上一点 (点 M 不在线段 EH 上)，连接 MO ，作 MON=45 ，ON 交线段 BA 的延长线于点 N，连接 MN ，探究线段 MN 与 OM 的关系 ,并说明理由。【答案】 （ 1）（ -4,0）；（ 0， -4）（2）

11、解：作 FH OA 于 H，AFAE， FAE= AHF= AOE=90 ， FAH+ OAE=90 ， FAH+ AFH=90 ， AFH= OAE,AF=OA， AFH EAO，FH=OA，点 A（ -4,0），点 B（ 0， -4）FH=OA=OB=4， FHD=BOD=90 ， FDH= BDO, FDH BDO，OD=DH=1，AH=OH=OE=2，E（ 0， -2）（3）解：结论： MN=OM,MN OM，理由：连接 OH， OM 与 BN 交于 G，OA=OB, AOB=45 ， OAB=45 OE=EB=2，EHOA,AH=BH,OH AB, AHM= OAB=45 ， MON

12、=45 GON= GHM, NGO= MGH, NGO MGH， = ,= , NGM=OGH, NGM OGH， NMG=OHG=90 ， OMN 是等腰直角三角形MN=OM,MN OM.【解析】 【解答】（ 1） =0,a=-4 ，b=-4,点 A 的坐标为（ -4,0），点 B 的坐标为（ 0， -4）【分析】（1）先将式子变形为完全平方公式的形式，再根据平方的非负性求解;（ 2）如图1中 ， 作FH OA 于 H ， 由 AFH EAO， 推 出 FH=OA,由 FDH BDO, 推 出AH=OH=OE=2;（3）连接 OH， OM 与 BN 交于 G，由 NGO MGH，推出 = ,

13、再推出=,再得出 NGM OGH，推出 NMG= OHG=90，推出 OMN 是等腰直角三角形即可解决问题 .5如图，抛物线 y=ax2 5ax+c 与坐标轴分别交于点A， C， E 三点，其中 A（ 3， 0）， C（0， 4），点 B 在 x 轴上， AC=BC，过点 B 作 BD x 轴交抛物线于点D，点 M， N 分别是线段 CO， BC 上的动点，且 CM=BN，连接 MN ， AM ，AN（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）当 CMN 是直角三角形时，求点 M 的坐标；（3）试求出 AM+AN 的最小值【 答 案 】 （ 1 ） 解 ： 把 A （ 3 ， 0 ） ，C

14、（0 ，4 ） 代 入y=ax2 5ax+c得，解得 ，抛物线解析式为 y= x2+ x+4；AC=BC，CO AB，OB=OA=3，B（ 3，0），BDx 轴交抛物线于点 D，D 点的横坐标为 3，当 x=3 时， y=9+ 3+4=5，D 点坐标为（3， 5）。（2）解：在 Rt OBC中， BC=5，设M （0， m），则 BN=CM=4 m，CN=5（ 4 m）=m+1， MCN= OCB，当 时， CMN COB，则 CMN=COB=90 ，即 ，解得 m= ，此时 M 点坐标为（ 0， ）；当 时， CMN CBO，则 CNM= COB=90，即 ，解得 m= ，此时 M 点坐标为

15、（ 0， ）；综上所述， M 点的坐标为（ 0， ）或（ 0， ）。（3）解：连接 DN， AD，如图，AC=BC，CO AB，OC 平分 ACB， ACO= BCO，BDOC， BCO= DBC，DB=BC=AC=5， CM=BN， ACM DBN，AM=DN ，AM+AN=DN+AN，而 DN+ANAD （当且仅当点 A、N、D 共线时取等号），DN+AN 的最小值 =AD=，AM+AN 的最小值为【解析】 【分析】（ 1）将A（ 3， 0 ）， C（ 0， 4）代入函数解析式构造方程组解出a,c的值可得抛物线解析式；由AC=BC， CO AB，根据等腰三角形的“三线合一 ”定理，可得OB

16、=OA=3，而 BDx 轴交抛物线于点 D，则 D 点的横坐标为3，当 x=3 时求得 y 的值，即可得点 D 的坐标。（ 2 ）当 CMN 是直角三角形时，有两种情况： CMN=90 ，或 CNM=90 ，则可得CMN COB，或 CMN CBO，由对应边成比例，设M（ 0， m），构造方程解答即可。（3）求 AM+AN 的最小值，一般有两种方法：解析法和几何法；解析法：用含字母的函数关系式表示出 AM+AN 的值，根据字母的取值范围和函数的最值来求；几何法：将点A，M ， N 三点移到一条直线上；此题适用于几何法：观察图象不难发现，AC=BD=5，CM=BN，且 BCO= DBC，连接 A

17、D，可证得 ACM DBN，则 AM=DN，而 DN+AN AD （当且仅当点 A、 N、 D 共线时取等号），求 AD 的长即可。6已知：如图，在平面直角坐标系中， ABC是直角三角形， ACB90，点 A ， C 的坐标分别为 A（ 3， 0）， C（1， 0）， BC AC（1）在 x 轴上找一点 D ， 连接 DB ， 使得 ADB 与 ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（2）在（ 1）的条件下，如m ， 问是否存在这样的 mP ， Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ ， 使得 APQ 与 ADB 相似？如存在，请求出， 设 AP DQ m 的值；如不存在，请说

18、明理由【答案】 （ 1）解：如图1，过点B 作BD AB， 交x 轴于点D ， A A ， ACB ABD 90 ， ABC ADB ， ABC ADB ， 且 ACB BCD 90 ， ABC BDC ，A（ 3， 0）， C（1， 0），AC 4，BC ACBC 3，AB 5， ， ，CD ，AD AC+CD4+ ，OD AD AO ，点 D 的坐标为：（， 0）；（2）解：如图 2，当 APC ABD90时， APC ABD 90 ， BAD PAQ ， APQ ABD ， ，m ，如图 3，当 AQP ABD 90时， AQP ABD 90 ， PAQ BAD ， APQ ADB ，

19、，m ；综上所述：当 m【解析】 【分析】（或 时， APQ 与 ADB 相似1 ）如图 1，过点 B 作 BD AB， 交x 轴于点D， 可证ABC ADB， 可得 ABC ADB ， 可证 ABC BDC ， 可得，可求CD的长，即可求点D 坐标；（ 2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解7在矩形 ABCD 中， AB 6， AD8，点 E 是边 AD 上一点， EM EC交 AB 于点 M ，点 N 在射线 MB 上，且 AE 是 AM 和 AN 的比例中项 .（1）如图 1，求证： ANE DCE；（2）如图 2，当点 N 在线段 MB 之间，联结 AC，且 AC与 NE 互相垂

20、直，求MN 的长；（3）连接 AC，如果 AEC与以点 E、 M、 N 为顶点所组成的三角形相似，求DE的长 .【答案】 （ 1）解： AE 是 AM 和 AN 的比例中项 ， A A， AME AEN， AEM ANE， D 90 ， DCE DEC 90 ，EMBC， AEM DEC90 ， AEM DCE， ANE DCE（2）解： AC 与 NE 互相垂直， EAC AEN90 ， BAC 90 ， ANE AEN90 ， ANE EAC，由（ 1）得 ANE DCE， DCE EAC，tan DCE tan DAC， ，DCAB 6，AD 8，DE ，AE 8 ，由（ 1）得 AEM

21、 DCE，tan AEM tan DCE，AM ， ，AN ，MN （3）解： NME MAE AEM， AEC D DCE，又 MAE D90，由（ 1）得 AEM DCE， AEC NME，当 AEC与以点 E、 M、 N 为顶点所组成的三角形相似时 ENM EAC，如图 2， ANE EAC，由（ 2）得： DE ； ENM ECA，如图 3，过点 E 作 EH AC，垂足为点 H，由（ 1）得 ANE DCE， ECA DCE，HE DE，又 tan HAE ，设DE3x，则 HE 3x， AH4x， AE 5x，又 AE DE AD，5x 3x8，解得 x 1，DE3x 3，综上所述

22、， DE 的长分别为或 3【解析】 【分析】（ 1 ）由比例中项知 ，据此可证 AME AEN 得 AEM ANE，再证 AEM DCE 可得答案；（ 2）先证 ANE EAC，结合 ANE DCE 得DCE EAC，从而知 ，据此求得 AE 8 ，由（ 1）得 AEM DCE，据此知 ，求得 AM ，由求得 MN ；（ 3）分 ENM EAC 和 ENM ECA两种情况分别求解可得 .8操作： 和 都是等边三角形， 绕着 点按顺时针方向旋转， 是、 的中点，有以下三种图形 .探究：（1）在上述三个图形中， 是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个比值；（2） 的值是否也等于这个定值

23、，若是，请结合图（ 1）证明你的结论；（3） 与 有怎样的位置关系，请你结合图（ 2）或图（ 3）证明你的结论 .【答案】 （ 1）解： 是等边三角形，由图（ 1）得 AO BC， ， ；（2）证明： ，（3）证明：在图（ 3）中，由（ 2）得 ， 2+ 4=1+ 3，即 AEF = AOB AOB=90 ， .【解析】 【分析】（ 1）由等边三角形的性质可得 AOBC， BO= BC= AB，根据勾股定理计算即可求得 AO= BO，即 AO BO 是一个固定的值 1；（ 2）由等边三角形的性质可得 AO BC， ，由同角的余角相等可得 ，由（ 1 ）可得， 可 得 ， 根 据 相 似 三 角

24、 形 的 性 质 可 得；（ 3）在图（ 3 ）中，由（ 2）得 ，根据相似三角形的性 质 可 得 1= 2 ， 根 据 对 顶 角 相 等 得 3=4 ， 则 2+ 4=1+ 3=AOB=90， 即.二、圆的综合9已知 e O 的半径为 5，弦 AB 的长度为 m，点 C 是弦 AB 所对优弧上的一动点1 如图 ，若 m5 ，则C 的度数为 _ o ；2 如图 ，若 m6 求 C 的正切值； 若 VABC 为等腰三角形，求 VABC 面积【答案】 1 30； 2 C 的正切值为 3 ； SV ABC 27 或 432 .4 25【解析】【分析】1连接 OA， OB，判断出 VAOB 是等边三角形，即可得出结论；2 先求出 AD 10 ，再用勾股定理求出 BD 8 ，进而求出 tan ADB ，即可得出结