考点33 空间点直线平面之间的位置关系.docx

1、考点33 空间点直线平面之间的位置关系考点三十三 空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理1平面的概念数学中的平面是一个不加定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形象几何里所说的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，平面是无限延展的，没有厚度，也没有大小、轻重之分2空间中的四个公理及其推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有与一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么

2、它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角范围：.5空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个典例剖析题型一 平面的基本性质及应用例1在下列命题中，不是公理的是_1 平行于同一个平面的两个平面相

3、互平行2 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面3 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内4 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案解析 由立体几何基本知识知，项为公理2，C项为公理1，项为公理3, 项不是公理变式训练 下列结论正确的是_经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面经过两条相交直线，可以确定一个平面经过两条平行直线，可以确定一个平面经过空间任意三点可以确定一个平面答案 3个解析 当三点在一条直线上时不能确定平面，故不正确，正确解题要点 三点不一定确定一个平面当三点共线时，可确定无数个平面题型二 空间直线的位置

4、关系例2正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是_答案 相交解析 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交. 变式训练 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行； BD与MN为异面直线；GH与MN成60角； DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.解题要点 1.空间两条直线的位置关系有三

5、种：平行，相交和异面，要正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2.对于较复杂几何体的线面关系判定问题，应注意借助图形，考察各点、线在空间中的相对位置3.正四面体的特性：对棱都异面且互相垂直，记住这个特性有助于快速解题题型三 异面直线判定问题例3如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为_答案 3解析 AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有三对变式训练 若直线l不平行于平

6、面，且l，则_1 内的所有直线与l异面2 内不存在与l平行的直线3 内存在唯一的直线与l平行4 内的直线与l都相交答案 解析 依题意，直线lA(如图)内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选.解题要点 判定异面直线有以下异面直线判定定理:平面内一点与平面外一点的连线,与此平面内不经过该点的直线是异面直线.另外判定两条直线异面,还可依据：定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；既不平行也不相交的两条直线是异面直线。题型四 异面直线所成角的求解例4已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余

7、弦值为_答案 解析 如图，连接DF，因为DF与AE平行，所以DFD1即为异面直线AE与D1F所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD1FD，由余弦定理得cosDFD1.变式训练 直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_答案60解析如图，可补成一个正方体，AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160. 即BA1与AC1成60的角解题要点 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，

8、往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解当堂练习1下列四个结论：(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行其中正确的个数为_答案 解析 对(1)，两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能;对(2)，两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面;对(3)，两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能;对(4)，一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面

9、内.2以下命题正确的是_两个平面可以只有一个交点一条直线与一个平面最多有一个公共点两个平面有一个公共点，它们可能相交5 两个平面有三个公共点，它们一定重合答案 解析 对于，两个平面有一个交点就有过这个点的公共直线，故错对于，直线在平面内时，可以有无数个公共点对于，当三个公共点在同一直线上时，两平面相交，故错3. 正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是_答案 相交解析 直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交4若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是_答案

10、 平行、异面或相交解析 当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现.5三个平面两两相交，则交线条数为_答案 1或3课后作业一、 填空题1四个命题：(1)空间三条直线两两平行，则三条直线可确定三个平面；(2)空间三点可确定一个平面；(3)空间一点和一条直线可确定一个平面；(4)A与B两点到直线距离相等，则直线和AB确定一个平面其中正确命题的个数为_答案 0个解析 (1)若三条直线在同一个平面内，则确定一个平面，故错误；(2)若三个点在同一条直线上则不能确定一个平面，故错误；(3)空间上一点若在直线上，则不能确定一个平面，故错误；(4)若过A、B两点的直线与直线异面正方体的棱

11、与底面的对角线异面A、B两点为两顶点)，不能确定一个平面2给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其中正确的有_答案 0解析 根据平面的概念知，四个命题都不正确3对于空间中的两条直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_条件答案 充分不必要解析 两条直线为异面直线这两条直线没有公共点，反之，当两条直线没有公共点时，未必是异面直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分不必要条件4已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一

12、定_(填序号)与a，b都相交只能与a，b中的一条相交至少与a，b中的一条相交与a，b都平行答案 解析 若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则ab与a，b异面相矛盾5若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是_(填序号)l1l2，l2l3l1l3l1l2，l2l3l1l3l1l2l3l1，l2，l3共面l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面答案解析当l1l2，l2l3时，l1与l3也可能相交或异面，故不正确；l1l2，l2l3l1l3，故正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方

13、体中从同一顶点出发的三条棱，故不正确6设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_(填序号)Pa，Pa； abP，ba；ab，a，Pb，Pb； b，P，PPb.答案解析当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图，ab，Pb，Pa.由直线a与点P确定唯一平面.又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确7若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线_ 答案 平行或异面解析 两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相交8一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶

14、点，则在原来的正方体中_(填序号)ABCD AB与CD相交 ABCD AB与CD所成的角为60答案 解析 如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项、不正确正确选项为图(b)中，DEAB，CDE为AB与CD所成的角，CDE为等边三角形，CDE609如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： 直线AM与CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线； 直线BN与MB1是异面直线； 直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)

15、答案 解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_答案 90解析 如图所示，取CN的中点K，连接MK，则MK为CDN的中位线，所以MKDN.所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K，MKDN，A1M6，故A1M2MK2A1K2，即A1MK90.11如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，AA1a，BAB1B1A1C130，则AB与A1C1所成的角为_，AA1与B1C所成的角为_答案 304

16、5解析 ABA1B1，B1A1C1是AB与A1C1所成的角，AB与A1C1所成的角为30.AA1BB1，BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1a，AB1A1C12a，ABa，B1C1BCa.四边形BB1C1C是正方形，BB1C45.二、解答题12 直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，求异面直线BA1与AC1所成的角解析 分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1DE，AC1EF，所以异面直线BA1与AC1所成的角为DEF(或其补角)，设ABACAA12，则DEEF，DF，由余弦定理得，DEF120.13如图，E，F，G，H分别是空间四边形AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B，D，O三点共线证明：E平面ABD，H平面ABD，EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可证O平面BCD.O平面ABD平面BCDBD.即B，D，O三点共线