小学奥数必须掌握的30个知识模块汇总详细版.docx

1、小学奥数必须掌握的30个知识模块汇总详细版1和差倍问题和差问题 和倍问题 差倍问题已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系公式 （和差）吃=较小数较小数差 =较大数和较小数 =较大数2（和+差）勺=较大数较大数差 =较小数和较大数 =较小数和勺倍数+ 1）=小数小数X倍数=大数和小数 =大数差勺倍数-1）=小数小数X倍数=大数小数差 =大数关键问题 求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数2年龄问题的三个基本特征：1两个人的年龄差是不变的；2两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；3两个人的年龄的倍数是发生变化的；照这样的两端3归一

2、问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个 “单一量 ”，题目一般用速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树， 两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树， 都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树基本公式 棵数 =段数 1棵距X段数=总长 棵数=段数-1棵距X段数=总长 棵数=段数棵距X段数=总长关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：1假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者

3、乙和甲一样） ：2假设后，发生了和题目条件不同的差，找岀这个差是多少；3每个事物造成的差是固定的，从而找岀岀现这个差的原因；4再根据这两个差作适当的调整，消去岀现的差。基本公式：1把所有鸡假设成兔子：鸡数=（兔脚数 X总头数-总脚数） +（兔脚数-鸡脚数）2把所有兔子假设成鸡：兔数=（总脚数一鸡脚数 X总头数）+（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找岀总量的差与单位量的差。6盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一 种结果， 由于分组的标准不同， 造成结果的差异， 由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量 基本思路： 先将两种分配方案进行比较， 分

4、析由于标准的差异造成结果的变化， 根据这个关系求 岀参加分配的总份数，然后根据题意求岀对象的总量基本题型：1一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数=（余数+不足数） 三两次每份数的差2当两次都有余数；基本公式：总份数=（较大余数一较小余数） +两次每份数的差3当两次都不足；基本公式：总份数=（较大不足数一较小不足数） W两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为 “1份”，根据两次不同的吃法，求岀其中的总草量的差；再找岀造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变

5、的； 关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间 长时间牛头数-较短时间X短时间牛头数） +（长时间-短时间）；总草量=较长时间 长时间牛头数-较长时间X生长量；8周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰 年：一年有 366 天；1年份能被4整除；如果年份能被 100整除，则年份必须能被 400整除；平 年：一年有 365 天。1年份不能被4整除；如果年份能被 100整除，但不能被 400整除；9平均数基本公式：平均数 =总数量P总份数总数量=平均数X总份数总份数=总数量

6、卄均数2平均数=基准数+每一个数与基准数差的和 苛总分数基本算法：1求岀总数量以及总份数，利用基本公式进行计算2基准数法： 根据给出的数之间的关系， 确定一个基准数； 一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给岀数与基准数的差； 再求岀所有差的和； 再求岀这些差的平均数； 最后求这个差的平均数和基准数的和， 就是所求的平均数， 具体关系见基本公式。10 抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：14=4+0+0 4=3

7、+1+0 4=2+2+0 4=2+1 + 1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2个物体。抽屉原则二：如果把 n个物体放在 m个抽屉里，其中 nm那么必有一个抽屉至少有 ：1k=n/m +1 个物体：当n不能被m整除时。2k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点：X表示不超过X的最大整数。例4.351=4 ； 0.321=0 ； 2.9999=2 ； 关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。11定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包

8、含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入， 转化为加减乘除的运算， 然后按照基 本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12数列求和 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示； 项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示； 公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示；数列的和：这一

9、数列全部数字的和，一般用 Sn 表示基本思路：等差数列中涉及五个量： a1 ,an, d, n,sn, 通项公式中涉及四个量，如果己知其中 三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。 基本公式：通项公式： an = a1+ （ n 1） d；通项二首项+（项数一 1） X公差；数列和公式：sn,= （a1+ an） X n* 2；数列和=（首项+末项）x项数+ 2；项数公式： n= （an+ a1） *d 1；项数=（末项 -首项）*公差 1； 公差公式： d = （ an a1 ）*（ n1 ）； 公差 = （末项首项）*（项数 1 ）； 关键问题：确定

10、已知量和未知量，确定使用的公式；13 二进制及其应用十进制：用09十个数字表示，逢 10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的 2表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2X102+3X10+4。=AnX 10n -1+An- 1 X 10n -2+An- 2X 10n-3+An- 3X 10n-4+An- 4X 10n-5+An- 6X 10n - 7+A3X 102+A2X 101+A1X 100注意：N0=1; N1 =N （其中N是任意自然数） 二进制：用 01两个数字表示，逢 2进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。(2) = AnX2n -

11、1+An- 1X2n-2+An- 2X2n-3+An- 3X2n-4+An- 4X2n-5+An- 6X2n-7+A3X 22+A2X 21+A1X 20注意： An 不是 0 就是 1。十进制化成二进制：1根据二进制满 2进 1的特点，用 2连续去除这个数，直到商为 0，然后把每次所得的余数按自 下而上依次写出即可。2先找岀不大于该数的 2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2的n次方，依此方法 一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有 n类方法，在第一类方法中有 ml种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法 ， 在第n

12、类方法中有 mn种不同方法，那么完成这件任务共有： m1+ m2 +mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪 一种方法，第2步总有m2种方法 不管前面n-1步用哪种方法，第 n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有： mix m2 mrK种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫

13、端点。线段特点：有两个端点，有长度。 射线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点；没有长度。1数线段规律：总数= 1+2+3+ （点数一 1）;2数角规律=1+2+3+ （射线数一 1）;3数长方形规律：个数 =长的线段数x宽的线段数：4数长方形规律：个数 =1X 1+2X 2+3X 3+亍数X列数15质数与合数质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数： 把一个数用质数相乘的形式表示岀来， 叫做分解质因

14、数。 通常用短除法分解质因数。 任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且a1a2a3 van求约数个数的公式： P=(r1+1) x (r2+1) x (r3+1) x x (rn+1) 互质数：如果两个数的最大公约数是 1 ，这两个数叫做互质数。16约数与倍数约数和倍数：若整数 a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个， 叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、 几个数的最大公

15、约数都是这几个数的约数。3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、 几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。例如： 12 的约数有 1、 2、 3、 4、 6、 12；18的约数有： 1、 2、 3、 6、 9、 18；那么 12 和 18 的公约数有： 1、 2、 3、 6；那么 12 和 18 最大的公约数是： 6，记作( 12， 18)=6； 求最大公约数基本方法：1 、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、 短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是

16、所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个， 叫做这几个数的最小公倍数。12的倍数有：12、24、36、48;18的倍数有：18、36、54、72;那么12和18的公倍数有：36、72、108;那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作 12， 18=36；最小公倍数的性质：1 、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法： 1 、短除法求最小公倍数； 2、分解质因数的方法17数的整除一、基本概念和符号：1、 整除：如果一个整数 a,除以一个自然数 b,得到一个整数商

17、c,而且没有余数，那么叫做 a能被b整除或b能整除a,记作b|a。2、 常用符号：整除符号 不能整除符号 “”因为符号“”，所以的符号 工”；二、整除判断方法：1.能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被 4、25 整除。3.能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被 8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被 3、9 整除。5.能被 7 整除：1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2倍后能被 7 整除。6.能被 11 整除：1末

18、三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11 整除 奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。3逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。7.能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13 整除 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。三、整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。2.如果 a 能被 b 整除， c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被

19、b和c的最小公倍数整除。18 余数及其应用基本概念：对任意自然数 a、b、q、r，如果使得ab=q r，且0rb,那么r叫做a除以b的余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余数的性质：1余数小于除数。2若a、b除以c的余数相同，贝0 c|a-b或c|b-a。3a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以 c的余数。4a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以 c的余数。 19余数、同余与周期一、 同余的定义：1若两个整数a、b除以m的余数相同，则称 a、b对于模m同余。2已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b，就称a、b对于模 m同余，记作

20、 a= b(mod m)，读作a同 余于 b 模 m 。二、 同余的性质：1自身性：a= a(mod m)；2对称性：若 a= b(mod m)，贝U b= a(mod m)；3传递性：若 a= b(mod m), b= c(mod m),贝U a= c(mod m)；4和差性：若 a= b(mod m), c= d(mod m),贝U a+c= b+d(mod m), a-c=l-d(mod m)；5相乘性：若 a= b(mod m), c=d(mod m),贝U ax c= b x d(mod m)6乘方性：若 a= b(mod m),贝U an耳)n(mod m)；7同倍性：若 a= b

21、(mod m),整数 c,贝U ax c= b x c(mod mXc)三、 关于乘方的预备知识：1若 A=ax b,贝U MA=MX b= (Ma) b2若 B=c+d 贝 MB=Mc+d=Mxc Md四、 被 3、9、11 除后的余数特征：1一个自然数 M , n表示M的各个数位上数字的和，则 n(mod 9)或(mod 3);2一个自然数 M , X 表示 M 的各个奇数位上数字的和, Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和, 则 MY -X 或 M 11- (X-Y ) (mod 11)；五、 费尔马小定理：如果 p是质数(素数)，a是自然数，且 a不能被p整除，则ap-1三1(mod

22、 p)。20分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位 “1平”均分成几份,表示这样的一份或几份的数。 分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数( 0除外),分数的大小不变。分数单位：把单位 “1”平均分成几份,表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：1逆向思维方法：从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。2对应思维方法：找岀题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。3转化思维方法： 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量) 下的分率转化成同一条件下的分率。 常见的处理

23、方法是确定不同的标准为一倍量。4假设思维方法： 为了解题的方便, 可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立, 计算岀相应的结果,然后再进行调整,求岀最后结果。5量不变思维方法：在变化的各个量当中， 总有一个量是不变的， 不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况： A、分量发生变化，总量不变。 B、总量发生变化，但其中有的分量不变。 C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。6替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。7同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。8浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

24、21 分数大小的比较 基本方法：1通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。2通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。3基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。4分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。5倍率比较法： 当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小， 除了运用以上方法外， 可以用同 倍率的变化关系比较分数的大小。 （具体运用见同倍率变化规律）6转化比较方法：把所有分数转化成小数（求岀分数的值）后进行比较。7倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和 1进行比较。8大小比较法：用一

25、个分数减去另一个分数，得岀的数和 0比较。9倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。10基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22分数拆分一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式： =+ ；=+ （d为自然数）；23完全平方数 完全平方数特征：1.末位数字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以 3余 0或余 1；反之不成立。3.除以 4余 0或余 1；反之不成立。4.约数个数为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式： X2-

26、Y2= （ X-Y ）（ X+Y ）完全平方和公式： （ X+Y ） 2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式： （ X-Y ） 2=X2-2XY+Y2 24比和比例 比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。 比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外） ，比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。 a:b=c:d 或比例的性质：两个外项积等于两个内项积 （交叉相乘 ）， ad=bc。正比例：若 A 扩大或缩小几倍， B 也扩大或缩小几倍（ AB 的商不变时） ，则 A 与 B 成正比 反比例：若 A 扩

27、大或缩小几倍， B 也缩小或扩大几倍（ AB 的积不变时） ，则 A 与 B 成反比 比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。25综合行程 基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系 . 基本公式：路程=速度刈寸间；路程 诩寸间=速度；路程 耳速度=时间 关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和 X相遇时间=相遇路程（请写岀其他公式）追及问题：追及时间=路程差 锂度差（写岀其他公式）流水问题：顺水行程 =（船速+水速）x顺水时间逆水行程=（船速-水速）X逆水时间顺水速度 =船速 +水速

28、逆水速度 =船速 -水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）吃水速=（顺水速度-逆水速度） 炮 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程） 、时间（相遇时间、追及时间） 、速度（速度和、速 度差）中任意两个量，求第三个量。26工程问题基本公式：1工作总量=工作效率XX作时间2工作效率=工作总量 T作时间3工作时间=工作总量 T作效率基本思路：1假设工作总量为 “1（”和总工作量无关） ；2假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数） ，利用上述三个

29、基本关系，可以简单地表示岀工作效率及工作时间 .关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 经验简评：合久必分，分久必合。27逻辑推理基本方法简介：条件分析 假设法： 假设可能情况中的一种成立， 然后按照这个假设去判断， 如果有与题设条 件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设 a是偶 数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么 a 一定是奇数。条件分析 列表法： 当题设条件比较多， 需要多次假设才能完成时， 就需要进行列表来辅助分 析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中， 表格的行、 列分别表示不同的对象 与情况，观察表格内的题设

30、情况，运用逻辑规律进行判断。3条件分析 图表法：当两个对象之间只有两种关系时， 就可用连线表示两个对象之间的关系， 有连线则表示 “是，有 ”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如 A 和 B 两人之间有认 识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。4逻辑计算： 在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外， 还要进行相应的计算， 根据计算 的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。5简单归纳与推理： 根据题目提供的特征和数据， 分析其中存在的规律和方法， 并从特殊情况推 广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28几何面积基本思路： 在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻 折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些 常规的面积规律。常用方法：1.连辅助线方法2.利用等底等高的两个三角形面积相等。3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上） 。4.利用特殊规律1等腰直角三角形，已知任意一条边都可求岀面积。 （斜边的平方除以 4等于等腰直角三角形的面积）2梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。3圆的面积占外接正方形面积的 78.5% 。29立体图形长方体8 个顶点； 6 个面；相对的面相等； 12 条棱；相对的