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1、清华大学微积分A笔记上word资料11页多元函数、多元向量值函数要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 f(X) F(X)与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学

2、堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 多元函数的切平面、全微分、偏导语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言

3、道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。 有多元函数f(X)，若存在向量A=(a1,a2,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(|X-X0|)，则称g(X)=A(X-X0)是f在X0处的切平面df=AdX=a1dx1+a2dx2+andxn是f的全微分bk=(f)/(xk)是将X的其他分量视为常

4、数时f的导数，称为f的偏微分可以证明若A存在，ak=bk=f/ xkNabla算子=(/x1, /xn)A=Grad(f)=A称为f的梯度， (fg) = gf+fg若有单位向量e=(cos1, cos2, cosn)，则称A.e是f沿e方向的方向导数，A.e=f/l 其中l与e平行若f在X0可微：X0处f各一阶偏导存在X0处f有梯度X0处f连续X0处f的各方向导数均存在若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微A= f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=|A|，称A是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导F(X)=(f1(X),f2(X),fm(X)，

5、若所有fi在X0处可微，则称F在X0处可微，即F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(|X-X0|)，其中A=(aij)m*n=F/ X=(f1,f2,fm)/ (x1,x2,xn)=J(F(X0)称为F在X0处的Jacobian (F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度， aij := Fi / xj)F的全微分dF=AdX当m=n时，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)Div(F) = .F=f1/x1 +fm/ xm Curl(F) = F复合函数求导一阶偏导：若G=G(X)在X0可微，F=F(U) (U=G(X)在G(X0)可微，则FG在X0处可微，J(FG) = J(

6、F(U) J(G(X)具体地，对于多元函数f(U)=f(u1,um)，其中U=G(X)即ui=g(x1,xn) f/xj = f/U * U/xj = Sumf/ui * ui/xj for each ui in U高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(U):=f(u1,u2), U(X):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2)2f/(x1)2 = 数学分析教程P151隐函数、隐向量值函数由F(X,Y)=0确定的函数Y=f(X)称为隐函数隐函数：1.存在定理：若n+1元函数F(X,y)在零点(X0,y0)处导数连续，且(F)/(y)(X0,y0)0，则存在(X0,y0)附近的超圆柱体

7、B=B(X0)*B(y0)，使得B(X0)上的任意一点X可以确定一个y使得F(X,y)=0，即函数F在B内确定了一个隐函数y=f(X)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果(F)/(y)=0，那么在X=X0超平面上，y在X0处取得了极值，那么沿曲面被X=X0截的曲线从X0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数2.偏导公式：在B内的处，或者说不正式的证明：F(X,y)0, 所以F/xi=0,即SumF/xj * xj/xi=0 (把y记做xn+1)由于X的各分量都是自变量，xj/xi=0 (ij)所以 F/ xi + F/y * y/ xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数

8、：1.存在定理：若XRn,YRm，m维n+m元向量值函数F(X,Y)=0，在P0=(X0,Y0)点的某个邻域B(P0,r)内是C(1)类函数， F(P0)=0，且F/Y可逆，则存在P0的邻域B(X0)*B(Y0)，使得对于在B(X0)内的任意X，存在唯一YB(Y0)满足F(X,Y)=0，即F在B内确定了一个连续可微隐函数Y=f(X)2.偏导公式：J(f) := (y1,ym)/ (x1,xn) := Y/X = -F/Y-1 * F/X注： 1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.如果只求J(f)中的一列，(Y)/(xi)= -(F)/(Y)-1 * (

9、F)/(xi)3.如果只求J(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算F/X时，忽略Y是X的函数，将Y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为y/x的成分被移到了等式左侧J(f)里面)，而不用偏导公式，采取对F(X,Y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，Y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数Y=f(X)将Rn映射至Rm，如果J(f)= f/X可逆，那么存在f的反函数X=f-1(Y)，且J(f-1)=J(f)-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.|J(f-1)|=|J(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(

10、u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数F(x,y,z)=0确定了一个曲面。如果F在点P处满足(1) F在P处连续可微(2) F在P处不为0则称P是曲面上的正则点如果曲面在正则点P0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz)，A=(x-x0,y-y0,z-z0)，则S在P点的切平面方程为n.A=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz (约定分母为0时分子也为0)过P0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程：(X-X0).n1=

11、(X-X0).n2=0，具体地:x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0I. 曲面的显式表示法z=f(x,y)是曲面S的显式表示正则点P0(x0,y0,z0)处，S的法向量n=(f/x, f/y, -1)II. 曲面的隐式表示法F(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法正则点P0处，n=(z/x, z/y, -1) =(-(F/x) / (F/z) , -(F/y) /(F/z) , -1) =(F/x , F/y , F/z)III. 曲线的参数表示法L=x=x(t),y=y(t),z=z(t)是曲线的参数方程正则点P处，t

12、=(x,y,z)是L在P处的切向量，以t为法线的平面称为L在P处的切平面IV. 曲面的参数表示法S=x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)是曲面的参数表示法取通过正则点P的v-曲线Su=u0和u-曲线Sv=v0，在正则点处取切向量，t1=(xu,yu,zu)，t2=(xv,yv,zv)，正则点处的法向量必与t1、t2垂直，可以取n= t1t2P点处的切平面T可以直接用u、v的参数表示T: X-X0 = J(X).(u-u0,v-v0)，具体就是x-x0 = xu(u-u0)+xv(v-v0)y-y0 = yu(u-u0)+yv(v-v0)z-z0 = zu(u-u0)+zv(v-

13、v0)V.曲线的标准表示法两个曲面F(x,y,z)=0与G(x,y,z)=0的公共解可以确定它们的交线L。正则点P处，L的切向量应该与F的法向量n1、G的法向量n2都垂直，可以取t=n1n2Taylor公式、函数的极值与最值、Lagrange乘子法定义函数f(X)在X0点的Hessian：H(f)|X0:=H(f(X0):=H(X0)=(2f/xixj)n*nTaylor定理：f(X0+X)=f(X0) + f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0+X) . (X) (0=1)f(X0+X)=f(X0) + f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0) . (X) + o(|X|2)Sk

14、etch of proof: f在B(X0)内二阶可微，在B(X0)内任取X= X0+X，令g(t)=f(X0+X)，g(t)= f(X0).X，g(t)= (X)T.H(X0+X) . (X)，直接应用一元Taylor公式即可。极值若X0处有f(X0)=0，则称X0是f的一个驻点在驻点X0处，如果有H(X0)正定，则X0是f的极小值；如果H(X0)负定，X0是f的极大值，否则X0是f的鞍点Sketch of proof: X0附近，f(X0+X) - f(X0)= f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0) . (X) + o(|X|2)，而由驻点条件f(X0).X=0，o(|X|2)是

15、无穷小，在足够小的区域内(X)T.H(X0) . (X)决定了函数值变化的符号，如果它恒正，那么H(X0)是正定矩阵；恒负，H(X0)是负定矩阵。说明：(1) 由线性代数的知识，如果A的所有特征值均为正，A正定；A的特征值均为负，A负定，而且设A的最小、最大特征值为、，那么X.X=XTAX0时H可定，其中2f/x1x10时H正定，2f/x1x10,X0, =(,X0)0 s.t. |f(X)-f(X0)|0, =()0 s.t. X,X, 若|X-X|则|f(X)-f(X)|说明：1.与一元微积分相似，若是有界闭集且f在上连续，则f在上一致连续2.连续性条件中的与X无关，或者说对于X都有同一个

16、，则f一致连续设f(x,y)在Q=a,bc,d上有定义，则称 f(x,y)dy为含参积分，x是参变量，y是积分变量定义三维几何体=(x,y,z)|(x,y)Q,z=f(x,y)，的体积V=a,bSdx,S(x)=f(x,y)dy,那么V=(dxf(x,y)dy)是积分的几何意义常用含参积分：(x) = e-t tx-1 dt(x,y) = tx-1(1-t)y-1dt广义含参积分：含参积分的性质：令I(x)=f(x,y)dy，xa,b，D=a,bc,d1.若f(x,y)在D上连续，则I(x)在D上连续2.若f(x,y)和f/x在D上都连续，则I(x)在a,b上可微，且I(x) = (f/x)

17、dy2.(推广形式)若f(x,y)和f/x在D上都连续，则 = f(x,y)dy可微，且(x) = f(x, (x) (x) f(x, (x) (x) + (f(x,y)/x) dy3. (dxf(x,y)dy) = (dyf(x,y)dx)常用广义含参积分：Poisson积分 e-x2dx = sqrt()/2Dirichlet积分 (sinx/x)dx = /2一元广义积分收敛性1.xpdx收敛 p=-12.绝对收敛 p1条件收敛 0p=1发散 p0, A=A()0, A,AA, yc,d, |A-A f(x,y)dx|, 则无界区间上的广义积分 f(x,y)关于y一致收敛2.(Diric

18、hlet)若对足够大的A，有一致有界积分f(x,y)dx和对x单调的g有limx-+g(x,y)=0关于yc,d一致成立，则广义积分f(x,y)g(x,y)dx一致收敛(有界的广义积分无穷处的0)3.(Abel)对于yc,d有一致收敛的广义积分f(x,y)dx和对y一致有界、对x单调的g(x,y)，则广义积分f(x,y)g(x,y)dx一致收敛(收敛的广义积分有界)4.(Weierstrass)如果对于充分大的x，对yc,d一致地有|f(x,y)|=F(x)，且F(x)的广义积分一致收敛，则f(x,y)对x的积分对于y也一致收敛(比较审敛法)广义含参积分性质：令I(x)=f(x,y)dy，xa,b，D=a,bc, +)1.若f(x,y)在D上连续，且I关于yc, +)一致收敛，则I(x)连续计算含参积分的方法：1.对参变量求导