高中数学立体几何之直线平面垂直的判定及其性质讲义.docx

1、高中数学立体几何之直线平面垂直的判定及其性质讲义直线、平面垂直的判定及其性质（讲义）知识点睛一、直线与平面垂直（简称线面垂直）1. 定义：如果直线l与平面内的_直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直，其中直线l叫做平面的_，平面叫做直线l的_，直线与平面的交点叫做_直线l与平面垂直记作：l2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直几何语言：_3. 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_几何语言：_二、直线与平面所成的角（简称线面角）1. 平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_叫做这条直线和这个平面所成的角2. 若直线垂直于平面，则它们所成的角为_；若直线和平

2、面平行，或在平面内，则它们所成的角为_3. 线面角的取值范围：_三、二面角1. 定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的_右图记作二面角_2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角右图二面角的平面角记作_3. 二面角的取值范围：_四、平面与平面垂直（简称面面垂直）1. 定义：两个平面相交，它们所成的二面角是_，就说两个平面互相垂直2. 判定定理：一个平面经过另一个平面的_，则这两个平面垂直几何语言：_3. 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直几何语言：_精讲精练1

3、. 直线l平面，直线m，则有（ ）Al和m异面 Bl和m相交Clm Dl不平行于m2. 下列结论不正确的是（ ）A若两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面B若两条平行线中的一条不垂直于某个平面，则另一条也不垂直于这个平面C若三条平行线中的一条垂直于某个平面，则这三条直线都垂直于这个平面D若三条平行线中的一条不垂直于某个平面，则另两条中可以有一条和这个平面垂直3. 已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是（ ）A平行 B异面 C相交 D垂直4. 直线a与b垂直，b，则a与的位置关系是（ ）Aa Ba Ca Da或a5. 已知平面与平

4、面相交，直线m，则（ ）A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直6. 有以下四个命题：a，b，则ab；ab，b，则a；ab，b，则a；ab，b，则a其中正确命题是（ ）A B C D7. 对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是（ ）Amn，m，n Bmn，=m，nCmn，n，m Dmn，m，n8. 若m，n，l是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题：若，=m，mn，则n或n；若，=m，=n，则mn；若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条

5、直线；若=m，mn，且n，n，则n且n；若=m，=n，=l，且，则mn，ml，nl其中正确命题的序号是_9. 空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，则有（ ）A平面ABC平面ADC B平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBC D平面ADC平面DBC 第9题图 第10题图10. 如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABCDEF，PA=2AB，则下列结论正确的是（ ）APAADB平面ABCDEF平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABCDEF所成的角为3011. 如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，

6、某学生得出下列四个结论：BDAC； BAC是等边三角形；三棱锥D-ABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC其中正确的是（ ）A B C D12. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部13. 如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_ 第13题图 第14题图14. 如图，在三棱锥D-ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是_15. 已知直二面角-l-，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=

7、BD=1，则CD=（ ）A2 B3 C D1第15题图 第16题图 第17题图16. 边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为（ ）Aa Ba Ca Da17. 已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）A B C D18. 自小于90的二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（ ）A相等 B互补 C互余 D相等或互补19. 正方体ABCD-ABCD中，二面角D-AB-D的大小是_ 第19题图 第20题图20. 四棱锥V-ABCD中，底面A

8、BCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为_21. 已知ABC中，ACB=90，SA平面ABC，ADSC求证：AD平面SBC22. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点（1）求证：BC平面PAC； （2）求证：平面PAC平面PBC23. 如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点（1）求证：MNCD；（2）若PDA=45，求证：MN平面PCD24. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，PA=1，求：（1）三角形PC

9、D的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的余弦值25. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60（1）求证：BD平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值回顾与思考_【参考答案】【知识点睛】一、1任意一条 垂线 垂面 垂足 2相交 a，b，ab=P，la，lbl3平行 a，bab二、1射影 锐角 2直角 0 3090 三、1两个半平面 棱 -l-或P-l-Q 2垂直于棱 AOB 0180 四、1直二面角 2垂线 l，l3【精讲精练】1D 2D 3A 4D 5C 6C 7C8 9D 10A 11B 12A 134 14垂直 15

10、C 16D 17D 18A 1945 2060 21证明略 22证明略 23证明略 24（1）；（2） 25（1）证明略；（2）直线、平面垂直的判定及其性质（随堂检测）1 在下列四个正方体中，能得出ABCD的序号是_2 已知P是RtABC平面外的一点，O是斜边AB的中点，并且PA=PB=PC求证：PO平面ABC 【参考答案】1 2证明略直线、平面垂直的判定及其性质（作业）1. 下列选项中能得到平面平面的是（ ）A存在一条直线l，l，lB存在一个平面，C存在一个平面，D存在一条直线l，l，l2. 若l为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：，则；，则；l，l，则其中正确的命题有（ ）

11、A0个 B1个 C2个 D3个3. 下列命题中错误的是（ ）A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面4. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn； 若，则A B C D5. 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成角的大小为（ ）A与点P的位置有关

12、 B45C60 D906. 如图1，在四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，如图2则在四面体ABCD中，下列命题正确的是（ ）A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABD 第6题图 第7题图7. 如图，在三棱锥P-ABC中，BAC=90，PA平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（ ）A5 B8 C10 D68. 如图，PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，则下列垂直关系中正确的序号是_平面PAB平面PBC；平面

13、PAB平面PAD；平面PAB平面PCD 第8题图 第9题图9. 对于四面体ABCD，给出下列三个命题：若AB=AC，BD=CD，则BCAD；若AB=CD，AC=BD，则BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）10. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为_ 第10题图 第11题图 11. 如图，将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，DAB=_12. 如图1，在正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，如图2，BC=AB，这时二面角B-AD-C的大小是_13. 如

14、图，在三棱锥A-BCD中，AB=AD，CB=CD，E为BD的中点求证：BD平面ACE14. 如图，在三棱锥D-ABC中，BD底面ABC，AC=BC，N是棱AB的中点求证：CNAD15. 如图，已知点P是ABC所在平面外一点，PA底面ABC，ABC=90，AEPB于点E，AFPC于点F（1）求证：平面PBC平面PAB；（2）求证：PC平面AEF16. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）B1D平面ACD1；（2）B1D与平面ACD1的交点H是ACD1的重心(三角形三条中线的交点)17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点求证：（1）CDAE；（2）PD平面ABE18. 如图，在底面是正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，E是CC1的中点，O是AC和BD的交点（1）求证：AC1平面BDE；（2）求证：平面BDE平面ACC1 【参考答案】1D 2C 3D 4A 5D 6D 7B8 9 10 1160 1260 13证明略 14证明略 15证明略 16证明略 （分析：（1）先证明CD1平面AB1C1D、AD1平面A1B1CD，得到CD1B1D，AD1B1D，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用正三棱锥的性质 17证明略 18证明略