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1、招聘考试学科专业知识小学数学菁优网第一部分 集合与简易逻辑一、函数1.（函数）若函数，若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是-1a1。【解析】 当a0时，由f(a)f(-a)得log2alog1/2a,即log2a-log2a,可得：a1; 当alog2(-a),即-log2（-a）log2(-a).可得：-1a0;综上得：-1a1.二、数列2.（数列）已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且An/Bn=(7n+45)/(n+3),则使得An/Bn为整数的正整数3的个数是 5 。【解析】 an/bn=(7n+21+24)/(n+3)=(7n+21)/(n+3)+24/(n+

2、3)=7+24/(n+3)所以24/(n+3)是整数所以n+3=1,2,3,4,6,8,12,24且n=1所以n=1,3,5,9,21有5个3.（数列）等比数列an中，a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),则f(0)=0【解析】因为里面有一个因式x，x等于0，所以f(x)=04. （数列）（2010江西）等比数列an中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）（x-a8），则f（0）=（C）A26 B29 C212 D215【考点】导数的运算；等比数列的性质【分析】对函数进行求导发现f（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可【

3、解析】考虑到求导中f（0），含有x项均取0，得：f（0）=a1a2a3a8=（a1a8）4=212故选C【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法三、三角函数5. （三角函数）=2/ 3 是tan=2cos（/ 2+)的什么条件？【解析】当=2/3时， tan=tan(2/3)=tan(-/3)=-tan(/3)= - 根号3 2cos(/2+)=2cos(/2+2/3)= - 2sin(2/3)= - 2sin(/3)= - 根号3 所以tan=2cos(/2+) 但当=2/3+2时，显然tan=2cos(/2+)也成立，所以=2/

4、3 是tan=2cos（/2+)的充分不必要条件6. （三角函数）在三角形OAB中，O为坐标原点，A（1,cos），B（sin,1）, (0,/2，则当三角形OAB的面积达最大值时，=/2【考点】正弦定理【专题】综合题；数形结合【分析】根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，角如图所示，所以三角形AOB的面积就等于正方形OMPN的面积减去三角形OAM的面积减去三角形OBN的面积，再减去三角形APB的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积最大

5、时所取的值【解析】如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，则SOAB=S正方形OMPN-SOMA-SONB-SABP=1 - （sin1）- （cos1）- （1-sin）（1-cos）= - sincos= - sin2因为（0，/2，2（0，所以当2=即=/2时，sin2最小，三角形的面积最大，最大面积为故答案为：/2【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数学结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题 7. （三角函数）E,F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF等于？

6、【解析】设ECF=，ACE=BCF=，则=90-2故tan=tan(90-2)=cot2=1/tan2=(1-tan)/2tan.(1)过F作FDBC，D为垂足，则BFDBAC，BF/BA=BD/BC=FD/AC=1/3，设AC=BC=1，故BD=FD=1/3，tan=FD/CD=(1/3)/(1-1/3)=1/2，代入(1)式即得：tanECF=tan=(1-1/4)/(21/2)=3/48. （三角函数）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，b/a+a/b=6cosC，则tanC/tanA+tanC/tanB= 4【解析】 a/b+b/a=6cosC， a/b+b/a=6

7、(a+b-c)/2ab c=2(a+b)/3 tanC/tanA+tanC/tanB =tanC(cosA/sinA+cosB/sinB) =tanC(cosAsinB+sinAcocB)/(sinAsinB) =tanCsinC/(sinAsinB) =sinC/(sinAsinBcosC) =c/（abcosC） =c/ab*(a+b)/6ab （由 b/a+a/b=6cosC替换） =6c/(a+b) （由替换） =49. （三角函数）（2010江西）已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+/4）sin（x-/4）（1）当m=0时，求f（x）在区间,上的取值范围；（2

8、）当tana=2时，f()=3/5，求m的值【考点】同角三角函数间的基本关系；弦切互化【专题】综合题【分析】（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成，根据tan的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2和cos2的值，把sin2和cos2的值代入到

9、f（）=中得到关于m的方程，求出m的值即可【解析】（1）当m=0时， f（x）=（1+cotx）sin2x=（1+）sin2x =sin2x+sinxcosx=，由已知x,，得,1，从而得：f（x）的值域为0, （2）因为f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x-） =sin2x+sinxcosx+ =+- =所以 当tan=2，得：，代入式，解得m=-2四、向量代数与空间解析几何10. （向量代数与空间解析几何）设向量同时与向量=（3，1，4）及向量=（1，0，1）垂直，则下列向量中为与a同方向的单位向量的是 【解析】=（3，1，4）（1，0，1）=（1，1，-1）

10、由与，都垂直，可设AB，AC，AD，=（1，1，-1） 由为单位向量，故，于是=（1，1，-1）【知识点】向量积行列式表示11. （向量代数与空间解析几何）直线L1：与直线L2： （ A ）A、异面 B、相交于一点 C、平行但不重合 D、重合【解析】列出增广矩阵，用高斯消元法求解：代入发现方程组无解，所以两直线异面12. （向量代数与空间解析几何）直线2x-3y-7z+8=0 x+y-z-2=0 与直线2x-5y+z+2=0 x-5y+z+7=0的位置关系是 A、异面 B、相交于一点根据答案选项可以知道没有平行这一项，则2直线方向向量必定不平行，所以只考虑两条直线有没有交点题目给出的是直线的交

11、面式，若两直线有交点，那么题目中的4个平面一定有一个交点列出增广矩阵，用高斯消元法求解：| 2x -3y -7z -8 | | 2x -3y -7z -8 | | 2x -3y -7z -8 | x y -z 2 | - | x y -z 2 | - | 0 0 z 27/4 | 2x -5y z -2 | | 2x -5y z -2 | | 0 y 0 15/4 | x -5y z -7 | | x 0 0 5 | | x 0 0 5 |代入发现方程组无解，所以两直线异面13.（向量代数与空间解析几何）方程表示（ D ）A、单叶双曲面 B、双曲柱面C、双曲柱面在平面x=0上投影 D、x=-3

12、平面上双曲线【解析】1.单叶双曲线2.双叶双曲面五、直线和圆14. （直线和圆）已知直线l过点（-2，0），当直线l与圆x2+y2=2x,两个交点，求斜率K取值范围?【解析】依题意得:y2+x2-2x=0(x-1)2+y2=1是一个以（1,0）为圆心，1为半径的圆设直线为y=kx+b过点（-2,0）b=2ky=kx+2k 也就是 kx-y+2k=0如果有两个交点，那么圆心到直线的距离要小于1距离公式d=|k+2k|/根号(k2+1) 1得到k21/8那么 k的取值（-根号2/4,根号2/4） 15.（直线和圆）从点P（m,3）向圆C：(x+2)2+(y+2)2=1，引切线，则切线长的最小值为2

13、6【解析】圆心到点P(m,3)的距离d=(m+2)2+(3+2)2=(m2+4m+29) 切线长=(d2-r2) =(m2+4m+28) =(m+2)2+24当 m=-2时，切线长的最小值=2426验证：当P(-2，3)， 则圆心(-2,-2)到点P(-2,3)的距离d=5，r=1， 所以 用勾股定理求切线长，是切线长=(d2-r2)=242616.（直线和圆）P为双曲线x2/9-y2/16=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为【解析】设左焦点为E，右焦点为F要使目标最大，则PM尽可能的大，而PN尽可能的小于是PM最

14、大为PE2，而PN最小为PF1（圆外一点到圆上距离最大最小的点是连接这一点与圆心的线与圆的交点）故目标的最大值为（PE+2)-(PF-1)PE-PF+38-23917.（直线和圆）设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a=0【解析】由题得圆心（1，2），半径=2又因为弦AB的长为23所以圆心（1，2）到直线ax-y+3=O的距离=(22-32)=1（已知弦长，半径，利用勾股定理，可求得圆心到弦长的距离）所以圆心（1，2）到直线ax-y+3=O的距离=a-2+3/(a2+1)=1（点到直线的距离d=|Aa+Bb+C|/(A2+B2)）解得

15、a=018.（直线和圆）过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，则实数k的取值范围（2,83/3）(-83/3,-3)【知识点】圆的一般方程1） 当时，方程表示一个圆，其中圆心C，半径r=。2） 当时，方程表示一个点。3） 当时，方程无图形（称虚圆）。4） 注意：圆的参数方程：。方程表示圆的充要条件是：B=0且A=C0且5） 点的圆的位置关系给定点M（x0,y0）及圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2。M在圆C内 等价于 (x-a)2+(y-b)2r2. 【解析】首先由题意判断点在圆外。圆心坐标(-0.5k,-1)，半径为(160.75k2)根据等量关系

16、“点到圆心距离大于半径”列式，即(1+k/2)2+(2+1)216-0.75k2，解得k2或k0，即(160.75k2)0，解得k264/3即-83/3k83/3因此（2,83/3）(-83/3,-3)。19.（直线和圆）直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M，N两点，若|MN|23，则k的取值范围-3/4k0【解析】根据题意知：kx-y+3=0，r=2MN3/2圆心距r-(MN/2)=1即|3k-2+3|/(k+1)19k+6k+1k+18k+6k0-3/4k020.（直线和圆）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B两切点，那么向量PA.PB的最小值为-3

17、+22【解法一】设PA=PB=X（x0），APO=，则APB=2，由勾股定理得PO=根号（1+x2），sin=1/根号（1+x2）， 向量PA向量PB=|PA|PB|cos2=x2（1-2sin2）=x2（x2-1）/(1+x2)=（x4-x2）/（1+x2），令向量PA向量PB=y，则y=（x4-x2）/（1+x2），即x4-（1+y）x2-y=0，由于x2是实数=-（1+y）2-41（-y）0，y2+6y+10解得y-22-3或y-3+22x20，设x2=t,方程x4-（1+y）x2-y=0可以化为t2-（1+y）t-y=0,根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,当y-22-

18、3时，t1+t20,这时t1，t2都是负值，因为x2=t0,所以不合题意，舍去。当y-3+22时，t1+t20, t1t20,这时t1，t2都是正值，符合题意。故（向量PA向量PB）min=-3+22【解法二】以圆心为坐标原点建立直角坐标系：可以先把图作出，那么PA向量*PB向量=PA*PB*cos连接OP（O即是原点，也是圆的圆心）那么sin（/2）=1/POcos=1-2（sin（/2）2=1-2/PO2PA向量*PB向量=PA*PB*(1-2/PO2)又PA*PB=PO2-OA2=PO2-1PA向量*PB向量=（PO2-1）*（1-2/PO2）=PO2+2/PO2-3用基本不等式：当PO

19、=二的四分之一次方时，（PA向量*PB向量）min=-3+2根号221.（直线和圆）动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t=0时，点A的坐标是(1/2,3/2)，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是0，17,12【解析】依题知：30度每秒，A点开始与原点夹角为60度第1象限：t0,1递增第2、3象限：t(1,7) 递减，舍第4象限：t7,10递增回到第1象限：（10,12综上所述：0，17,12为所求单调递增区间六、圆锥曲线、参数方程和极坐标22.（圆锥曲线、参数方程和极坐标）点P(a,b)是双曲线x2

20、-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为2，则a+b=1/2【解析】点P在双曲线上，a2-b2=1x-y=0P(a,b)到直线y=x的距离d=|a-b|/2=2,则|a-b|=2. a+b=(a2-b2)/|a-b|=1/223.（圆锥曲线、参数方程和极坐标）设F1、F2分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)的左、右焦点，若在其右准线上存在P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是3/3eF2F|F2F|=|OF|-|OF2|= a2/c-c则2ca2/c-c3c2a2 c2/a21/3e=c/a3/3离心率的取值范围是3/3e0,b0)的左准线l，左焦点和右焦点分别为F

21、1、F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则|F1F2|/|MF1|-|MF1|/|MF2|等于-1【解析】设点M的横坐标为m，则由双曲线焦半径，|MF1|=em+a，|MF2|=em-a点M又在以F2为焦点，l为准线的抛物线上，l的方程为x=-a2/cM到l的距离d=m-(-a2/c)= m+a2/c抛物线满足：抛物线上的点到焦点的距离=到准线的距离d=|MF2|即m+ a2/c=em-a得m=a2(a+c)/c(c-a)em=a(a+c)/(c-a)|MF1|=em+a=2ac/(c-a)，|MF2|=em-a=2a2/(c-a)|F1F2|/|MF1|=(c-

22、a)/a，|MF1|/|MF2|=c/a即|F1F2|/|MF1|-|MF1|/|MF2|=(c-a)/a- c/a=-125.（圆锥曲线、参数方程和极坐标）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是43【解析】依题知：F (1,0),直线l:y=3(x-1) 代入y2=4x,整理得3x2-10x+3=0,x1=3,x2=1/3.代入，y1=23，y2=-2(3）/3（舍）。A(3,23）。L:x=-1,K(-1,23），|AK|=4,三角形AKF的面积=（1/2）*4*23=4326. （圆锥曲线、参数方

23、程和极坐标）已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(ab0)的离心率为3/2，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A、B两点，若向量AF=3向量FB，则k=【解析】作椭圆右准线，从A、B分别做准线的垂线AM、BN，垂足M、N，作BDAM，垂足D，根据椭圆第二定义，e=|AF|/|AM|,e=|BF|/BN|,|AF|/|BF|=|AM|/BN|=3，|AM|=3|BN|，|MD|=|NB|，|AD|=2|MD|，|AD|=2|MA|/3，又因|AF|/|AM|=3/2，所以|AB|=4/3|AF|=23/3|AM|,|AD|/|AB|=3/3,设直线倾斜角是，即有cos=3/3,所以直

24、线斜率k=tan=2.七、简单几何体、函数的极限和连续、导数与微分、微分中值定理及其应用、不定积分、定积分及其应用27.设0ab，则的值为（b）28.设f(1-x)=arctanx，则f(x)=（）【解析】令1-x=t,则x=1-t, f(1-x)=arctan(x), 变量替换 f(t)=arctan(1-t) 对t求导， f(t)=1/(1+(1-t)2)*(1-t)=1/(1+(1-t)2)*(-1)=-1/(1+(1-t)2), 令t=x, 则f(x)= -1/(1+(1-t)2).29.设函数f(x)=x(1-x)2定义在闭区间0,2上，则下列断言正确的是（C）Af(x)在x=0处取

25、得极小值0 B. f(x)在x=1处取得极小值0Cf(x)在x=1/2处取得极大值1/8 D. f(x)在x=2处取得极大值2 八、概率与统计30. （概率与统计）在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），若在（0，1）内的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为0.8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的基本性质【专题】计算题【分析】根据变量符合正态分布和在（0，1）内的概率为0.4，由正态分布的对称性可知在（1，2）内的取值概率也为0.4，根据互斥事件的概率得到要求的区间上的概率【解析】服从正态分布N（1，2），在（0，1）内的概率为0.4，由正态分布的对称性可

26、知在（1，2）内的取值概率也为0.4，P（02）=P（01）+P（12）=0.4+0.4=0.8故答案为：0.8【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的基本性质，考查互斥事件的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大，不易出错31.（概率与统计）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为P1和P2，则（P1P2）【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；等可能事件的概率【专题】计算题【分析】每箱中抽到劣币的可

27、能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是“没有劣币”，概率好求方法一概率为1-0.910；方法二概率为1-(4/5)5，做差比较大小即可【解答】方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为1/100，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发现一枚劣币的总概率为1-0.9910；方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为1/50，总事件的概率为1-(49/50)5，作差得P1P2【点评】本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题的能力32. （概率与统计）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择

28、两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（5/18）【考点】等可能事件的概率【分析】由题意知本题是一个古典概型，本题所包含的总事件数正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，根据古典概型公式得到结果【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，所以概率P=10/36=5/18，【点评】对于几何中的概率问题，关键是正确理解几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件的基本事件数，进而利用概率公式求概率33.