等比数列的前n项和教案.docx

1、等比数列的前n项和教案等比数列的前n项和教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址教学设计23.2等比数列的前n项和整体设计教学分析本节是数列一章的最后内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用等比数列的前n项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握、理解等比数列以及数列的知识有着很重要的作用等比数列前n项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类比等能力的很好的一个工具在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性培养学生逻辑思维的习惯和代数运算技能新大纲中对本知识有较高层次的要求，教学

2、地位很重要，是教学全部学习任务中必须优先完成的任务这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等许多方面均用到等比数列的知识，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜掌握等比数列的基础知识，培养建模和解模能力是解决数列应用问题的基本途径等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，an，q，n，Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想其中解指数方程的难度比较大，训练时要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐

3、的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间三维目标通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题2通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养3通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识

4、社会，形成科学的世界观和价值观重点难点教学重点：等比数列前n项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题教学难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢？数学家开口说道：请您在棋盘上的第一

5、个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢？”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子？”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋假定千粒麦子的质量为40g，那么，数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢？

6、由此传说向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢？思路2.买24枚钉子，第一枚14分钱，第二枚12分钱，第三枚1分钱，以此类推，每一枚钉子的钱是前一枚的2倍，共要多少钱？请学生想一想，多数学生认为大概没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要4万2千元事实上，这是等比数列的求和问题，即S141212221？那么怎样求等比数列的前n项和呢？在学生急于揭开谜底的强烈欲望下展开新课的探究推进新课新知探究提出问题回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的？对任意数列an，前n项和与通项an的关系是什么？对首项为1的等比数列an，你能探究它的前n项和吗？对任意等比数列an，怎样推导它的前n项和公式呢？你能

7、联想到哪些推导思路？对于思路1中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒？对于Sn12222n1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢？活动：教师引导学生回忆前面学过的等差数列前n项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前n项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：ana1，SnSn1，n1，n2，还知道这个由数列Sn来确定an的方法适用于任何数列，且a1不一定满足由SnSn1an求出的通项表达式类比联想以上方法，怎样探究等比数列的前n项和呢？我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求S12263？让学生充分观察这个式子的特点，发现每一项乘以2后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左

8、右同乘以2，再相减得和通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前n项和可化为一个比较简单的形式，关键的问题是如何简化再让学生探究首项为1的等比数列的前n项和，即1，q，q2，qn1的前n项和观察这个数列，由于各项指数不同，显然不能倒序相加减但可发现一个规律，就是次数是依次增加的，教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其观察、思考、合作交流、自主探究经过教师的点拨，学生的充分活动，学生会发现把两个Sn1qq2qn1错一个位，两边再同乘以公比q，那么相同的指数就对齐了这一发现是突破性的智慧发现，是石破惊天的发现这样将Sn1qq2qn1与qSnqq2q3qn两式

9、相减就有Sn1qn，以下只需讨论q的取值就可得到Sn了在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法我们将这种方法简称为“错位相减法”在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”如果记Sna1a2a3an，那么qSna1qa2qa3qanq，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有Sna1anq.这里要提醒学生注意q的取值如果q1，则有Sna1anq1q.上述过程我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sna1a1qa1q2a1qn1，那么qSna1qa1q2a1qn1a1qn，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有S

10、na1a1qn.如果q1，则有Sna11qn1q.上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1，q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四个；后者出现的是a1，q，Sn，n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地值得重视的是：上述结论都是在“如果q1”的前提下得到的言下之意，就是只有当等比数列的公比q1时，我们才能用上述公式对于等比数列的一般情形，如果q1会是什么样呢？学生很快会看出，若q1，则原数列是常数列，它的前n项和等于它的任一项的n倍，即Snna1.由

11、此我们得到等比数列an的前n项和的公式：Snna1，q1，a11qn1q，q1或Snna1，q1，a1anq1q，q1.教师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识，还能探究其他的方法吗？经过学生合作探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：根据等比数列的定义，我们有a2a1a3a2a4a3anan1q，再由合比定理，则得a2a3a4ana1a2a3an1q，即Sna1Snanq，从而就有Sna1anq.当q1时，Snna1，当q1时，Sna1anq1q.思路二：由Sna1a2a3an，得Sna1a1qa2qan1qa1qa1q，从而得Sn

12、a1anq.在思路二中，我们巧妙地利用了SnSn1an这个关系式，教师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子但要注意这里n2，也就是n的取值应使这个关系式有意义，若写Sn1Sn2an1，则这里n3，以此类推教师引导学生对比等差数列的前n项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识这个公式，以便正确灵活地运用它在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程等手段求出其余两个量；在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件q1，当q1时，应按常数列求和，即Snna1.在解含字母参

13、数的等比数列求和问题时，常应分类讨论q1与q1两种情况讨论结果：倒序相加法；anSnSn1；利用错位相减法；利用anSnSn1；乘以2的目的是为了错位相减，共有麦粒2641，每千粒麦子按40g计算，共约7000亿吨应用示例例1求下列等比数列的前8项的和：12，14，18，；a127，a91243，q0.活动：本例目的是让学生熟悉公式，第小题是对等比数列的前n项和公式的直接应用；第小题已知a127，n8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q.题目中要求q0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q既可为正数，又可为负数本题中由条件可得q8a9a1124327，再由q0可得q

14、13.将所得的值代入公式就可以了本例可由学生自己探究解答解：因为a112，q12，所以当n8时，S8121128112255256.由a127，a91243，可得q8a9a1124327，又由q0，可得q13，于是当n8时，S8271124327113164081.点评：通过本例要让学生熟悉方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项公式与前n项和公式中共五个量：a1，an，q，n，Sn，五个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中a1，q为最基本的两个量同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，

15、有时解题计算会很烦琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质例2活动：本例是等比数列求和公式的直接运用，引导学生结合方程思想，按算法的思路来解答本例可由学生自己完成点评：通过本例让学生明确，等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量：a1，q，an，n，Sn，已知其中3个量就可以求出另外的2个量变式训练设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为A63B64c127D128答案：c解析：a5a1q4，16q4.又q0，q2.S7a11q71q127.例3活动：本例仍属等比数列求和公式的直接应用虽然原数列不是等比数列，不能用公式求和，但可这

16、样转化：9101,991001,99910001，这样就容易解决了点评：让学生体会本例中的转化思想变式训练求和：222222.解：原式292929292910110n110n208129n.例4求数列1,3a,5a2,7a3，an1的前n项的和活动：教师引导学生观察数列特点，其形式是an•bn型数列，且an是等差数列，bn是等比数列根据本节等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减法进行求和教学时可让学生自己独立探究，教师适时地点拨，要注意学生规范书写解：当a1时，数列变为1,3,5,7，则Snn12n12n2.当a1

17、时，有Sn13a5a27a3an1，aSna3a25a37a4an，得SnaSn12a2a22a32an1an，Sn1an21an2•a1an11a1an2aan1a.又1a0，Sn12n1an1a2aan1a2.点评：通过本例，让学生反思解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论在应用错位相减时，写出的“Sn”与“qSn”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式变式训练等差数列an中，a

18、28，S666.求数列an的通项公式；设数列cn的通项为cn2n，求数列ancn的前n项和An.解：由已知，得a1d8，a1a66266，解得a16，d2.an2n4.由题意，知ancn•2n，An6•218•2210•23•2n.在上式中两边同乘以2，得2An6•228•2310•24•2n1.，得An6•212•222•232•2n•2n14•2n1，An•2n24.例

19、5已知数列an中，a1，a2，a3，an，构成一个新数列：a1，此数列是首项为1，公比为13的等比数列求数列an的通项；求数列an的前n项和Sn.活动：教师引导学生观察新数列的各项，不难发现这样一个事实：新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n项和，数列an的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了解：ana11132n1321nSna1a2a3an323212321n32n132n32n341n3414n1.点评：本例思路新颖，方法独特，解完本例后教师引导学生反思本例解法，注意平时学习中培养思路的灵活性知能训练设等比数列an的前n项和为Sn，若S

20、6S312，则S9S3等于A12B23c34D132在等比数列an中，已知a218，a48，求a1与q；已知a5a115，a4a26，求a3.答案：c解析：S6S312，由a11q61qa11q31q12，得q312.S9S31q91q334.2解：由已知得a1q18，a1q38.解这个方程组，得a127，q23或a127，q23.根据题意，有a1q4a115，a1q3a1q6.方程两边分别相除，得a1q4a1a1q3a1q156.整理，得2q25q20.解这个方程，得q2或q12.当q2时，a11；当q12时，a116.所以a3

21、4或a34.课堂小结由学生总结本节学习的内容：等比数列前n项和公式的推导，特别是在推导过程中，学到了错位相减法；在运用等比数列求和时，注意q的取值范围是很重要的一点，需要放在第一位来思考2等比数列求和公式有两种形式，在应用中应根据题目所给的条件灵活选用，注意从方程的角度来观察公式，并结合等比数列的通项公式共5个量，知三可求二，并注意解题中的化简技巧作业课本习题23B组2、3.设计感想“探索是教学的生命线”，本教案设计体现以学生为本的思想为了让学生较好掌握本课内容，本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活本教案设计加强

22、数学思想方法的训练因为数列内容几乎渗透了中学数学所有的数学思想方法，而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等有着不可替代的作用教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用“问题是数学的心脏”，本教案设计注重了情境教学通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得的成功第2课时导入新课思路1.一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，假设可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复

23、利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？银行复利计息的计算方法正是我们今天要探究的内容，由此展开新课思路2.在等比数列an中，已知a1a2a38，a4a5a64，则数列前15项的和S15为A.112B.312c5D15本题如果运用方程的思想，求数列an的首项a1和公比q之后再求S15，是一种常规思路，但运算量较大可将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解具体解法如下：解析：设b1a1a2a38；b2a4a5a64；b5a13a14a15，则b1，b2，b3，b4，b5构成一个等比数列，其首项为8，

24、公比为12.故S15S5b1b2b3b4b5112.选A.由此展开本课的进一步探究答案：A推进新课新知探究提出问题1回忆等比数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的？需要注意什么问题？2比较等差、等比数列的前n项和公式，从推导方法到应用有什么不同？怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式？3利用等比数列求和的关键是什么？4你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗？5应用等比数列可解决哪些类型的实际问题？活动：教师引导学生回忆上节课

25、所学的等比数列的求和公式，通过“错位相减”的思路方法很巧妙地将等式Sna1a1qa1qn1的两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求SnqSn把相同项消去，达到简化的目的，最后解出Sn.这种求和方法具有普通性，教师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓，注意的问题是必须注意q是否等于1，如果不确定，就应分q1与q1两种情况或更多的情况进行讨论等比数列求和的关键与等差数列求和一样，在于数列通项公式的表达形式，由通项公式的形式特点确定相应的求和方法为了达到求和时的简化运算，应充分利用等比数列的前n项和的性质若某数列的前n项和公式为Snan1，则an成等比数列若数列an是公比

26、为q的等比数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列；若项数为2n，则S偶S奇q.应用等比数列可解决的实际问题有：产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题，要让学生明了数列的实际应用一直是全国各地市高考的热点、重点，考题的形式多种多样，难度为中、高档等比数列求和问题作为数列的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想方法，教学时可与等差数列对比，归纳、总结求和问题可以利用等差、等比数列的前n项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数非等差的特殊数列求和题通常的解题思路是：设法转化为等差

27、数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解或错位相减来完成不能转化为等差的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和一般地，如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法；如果每项可写成两项之差一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项分组法数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题诀窍通项公式中含有n的一类数列，在求Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论讨论结果：略数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法，这也是高考常考的几种求和方法例1某商场今年销售计算机

28、5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台？活动：教师引导学生探究，根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知Sn30000求n的问题本例的解答应先根据等比数列的前n项和公式列方程，再用对数的知识解方程解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列an，其中a15000，q110%1.1，Sn30000.于是得到500011.1n11.130000，整理，得1.1n1.6，两边取对数，得nlg1.1lg1.6，用计算器算得nlg1.6lg1.10.2