第十二讲 容斥原埋.docx

1、第十二讲 容斥原埋第十二讲 容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=五（1）班全体同学.我们称一些事物的全体为一个集合.A五（1）班全体同学就是一个集合。例1 B全体自然数=1，2，3，4，是一个具体有无限多个元素的集合。例2 C=在1，2，3，100中能被3整除的数（3，6，9，12，99是一个具有有限多个元素的集合。集合通常用大写的英文字母A、B、C、表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一

2、个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、表示。记号AB表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合AB叫做集合A与集合B的并集.“”读作“并”，“AB”读作“A并B”。例3 设集合A=1，2，3，4，集合B=2，4，6，8，则AB=1，2，3，4，6，8.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。记号AB表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即

3、是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“”读作“交”，“AB”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则AB=2，4。下面再举例介绍补集的概念。例4 设集合I=1，3，5，7，9，集合A=3，5，7。 补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）. 对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|AB|=|A|+|B|。例如，A=1，2，100，B=101，则所以|AB|1011001=|A|B|。如果集合A与B有公共元素，例如A1，2，100，B90，91，101，则AB（90，91，100，AB=1，2，101.此时，|AB|与|A|+|B|有什么

4、关系呢？在这个例中，|AB|=101，|A|B|10012=112。所以|AB|=|A|+|B|-11我们注意到，11恰为AB的元素个数.这是合理的，因为在求|AB|时，90，91，100这11个数各被计入一次，而在求|A|B|时，这11个数各被计入两次（即多算了一次），并且这11个数组成的集合恰为AB.因此得到|AB|=|A|+|B|-|AB|，（1）这就是关于两个集合的容斥原理：集合A与B的并的元素个数，等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和，减去集合A与B的交的元素个数。（1）是容斥原理的第一个公式.我们还可以用右图来说明.如图我们用N1、N2、N3分别表示AB中互不重叠的部分的元素

5、个数。可见：|A|=N1N3，|B|=N2N3，|AB|=N3.因此|AB|=N1N2N3（N1N3）+（N2N3）-N3=|A|+|B|-|AB|。我们知道，当集合A与B没有公共元素时，有|AB|A|+|B|.实际上这是公式（1）的特殊情形，因为此时例5 桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：AB=3020-1040（平方厘米）。例6 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。分析 解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整

6、数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=在1100的自然数中能被3整除的数，B在1100的自然数中能被7整除的数，则AB=在1100的自然数中能被21整除的数。1003331，A33。1007142，B=14。10021416，AB=4。由容斥原理的公式（1）：AB3314-4=43。答：在1100的自然数中能被3或7整除的数有43个。例7 求在1100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析 如果

7、在1100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。解：设A在1100的自然数中5的倍数的数，B=在1100的自然数中6的倍数的数，数.为此先求AB。10050=20，A=20又1006164，B=1610030310，AB=3，AB=A+B-AB=2016-333。答：在1100的自然数中既不是5的倍数又不是6的倍数的数共67个。我们也可以把公式（1）用于求几何图形的面积.这时，A和B是平面上的两个点集（即点的集合），都是几何图形.A，B，分别表示A的面积，B的面积，。例8 设下面图中正方形的边长为1厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影

8、部分的面积。分析 如图，四个直径为1厘米的半圆不但盖住了正方形，还有四个重叠部分.这正好是要求的阴影部分的面积.或者，用A表示上、下两个半圆，用B表示左、右两个半圆，则AB为边长为1厘米的正方形，AB为图中阴影部分.由（1）可得AB=A+B-AB，因此可求出阴影部分的面积。解法1：大正方形面积=4个直径为1厘米的半圆面积-阴影图形面积-110.57（平方厘米）。上页图（a）中阴影面积=0.57（平方厘米）。答：阴影面积为0.57平方厘米。上面的例子是把一组事物按两种不同的性质来分类后，求具有其中一种性质的元素个数问题.如果把一组事物按三种不同性质来分类后，求具有其中一种性质的元素个数的公式该是

9、什么样的呢？我们仍用图形来说明它具有与公式（1）类似的公式：ABC=ABC-AB-AC-BCABC， （2）其中ABC=A（BC），ABC=A（BC）.右图中三个圆A、B、C分别表示具有三种不同性质的集合，并如图用M1、M2、M3、M7表示由三个圆形成的内部互不重叠的部分所含元素的个数，可见：ABCM1M2+M7（M1M4M6M7）+（M2M4M5M7）+（M3M5M6M7）-（M4+M7）+（M5+M7）+（M6M7）M7ABC-AB-BC-AC+ABC，即公式（2）成立。事实上这个规律还可推广到按多种性质来分类的情形.设集合M中的每个元素至少具有t种性质中的一种，用n1表示各个具有1种性质

10、的集合中的元素个数的和，n2表示各个具有2种性质的集合中元素个数的和，nt表示具有t种性质的集合中元素的个数，则集合M中元素的个数m为：m=n1-n2n3-n4+nt最后一项当t为偶数时取“-”号，否则取“”号。例9 某校有学生960人，其中510人订阅“中国少年报”，330人订阅“少年文艺”，120人订阅“中小学数学教学报”；其中有270人订阅两种报刊，有58人订阅三种报刊.问这个学校中没有订阅任何报刊的学生有多少人？解：设A订“中国少年报”的学生，B=订“少年文艺”的学生，C=订“中小学数学教学报”的学生，I=全校学生， =212（人）。答：全校有212名学生没订阅任何报刊。解：如右图，设

11、这次竞赛共有k道题，用集合A、B分别表示甲、乙答错的题目.图中字母a、b、c、d分别表示集合A、B在全部题目作成的集合I中形成的各个无重复部分的元素个数，可见d为问题所求.依题意列方程： 注意到a、b、c、d均表示题目的道数，应为自然数或零，因此k为12的倍数：12、24、. k=12，b1，c2，a=1，d=12-（abc）=12-（121）=8（道）。答：甲、乙两人都对的题共8道。习题十二1. 某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人.问既会游泳又会体操的有多少人？2. 在11000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？3. 五环图中

12、每一个环内径为4厘米，外径为5厘米.其中两两相交的小曲边四边形（右图中阴影部分）的面积相等.已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米.求每个小曲边四边形的面积。4. 某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：问这个班有多少名学生？5有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？习题十二解答1因至少会游泳或体操的人数有50-1535（人）。答：既会游泳又会体操的人数=27+18-35=10（人）。2设A=在11000的自然

13、数中能被2整除的数，B=在11000的自然数中能被3整除的数，C=在11000的自然数中能被5整除的数，则A=500，B=333，C=200，AB=166，BC=66，AC=100，ABC=33，ABC=500333200-166-66-10033=734（个），100-734266（个）。答：在11000的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数共266个。3.答：五个圆环总面积是5（52-42）=59141.4（平方厘米）（取3.14），根据容斥原理，阴影面积=141.4-122.518.9（平方厘米）。答：每个小曲边四边形的面积为18.98=2.36（平方厘米）。4.答：（171815）-（666）24=38（人）.答：全班共38人。5.至少答对A题或B题中一题的人数为100-10=90人.两题都对的人数=7583-90=68（人）。6.答：设共有k道题.a、b、c、d如下图所示.依题意列方程：注意a、b、c、d均为自然数或零，可解出k=36。答：甲答对32道题.