傅里叶变换及应用.docx

1、傅里叶变换及应用傅里叶变换在MATLZB里的应用摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的 应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法 及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于 分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的 谱分析和对信号消噪。尖键词：傅里叶变换；MATLAB软件；信号消噪Abstract : In modern mathematics .Fourier transform is a transform is

2、very important ,And has been widely used in digital signal paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ； Secondly. introduces in de tai 1 the method of separat ion of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical

3、 transfomstion makes the original t ime domain signal whose analysis is di fficult easy, by transforming i t into frequency domain signal that can be transformed into t ime domain signal by inverse transformation of Fourier Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising Key wor

4、d ： Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising1、傅里叶变换的提出及发展在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换 的方法来达到目的”例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化 为较简单的加法和 减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分 变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。1804年，法国科学家傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究他 在題为热的解析理论一文中，发展了热流动方

5、程，并且指出如何求解”在求解过程中，他 提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但 对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的彩响，成为傅里叶变换的起源。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体 形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。(1)傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究。最初，傅立叶分析是作 为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。“任意” 的函数通过一定的分解

6、，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充 分研究而相对简单的函数类。利用这一点，傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研究来了解复 杂事物，而且现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：(1) 傅里叶变换是线性算子，若賦予适当的范数+它还是酉算子；(2)傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；(3)正弦基函数是徴分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系 数的代数方程的求解”在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励 的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；(4)著名的卷积定理指出傅里叶变换可以化复杂的卷积运算

7、为简单的乘积运算，从而 提供了计算卷积的一种简单手段；(5)离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变 换算法)。(6)正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概 率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。2、傅里叶变换的基本概念由傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为傅里叶级数，而一个非周期函数可以看成某个 周期函数其周期趋向于无穷大转化而来。根据这个思路，我们可以得到傅里叶积分公式及傅里叶 积分公式成立的充分条件一一傅里叶积分定理。傅里叶级数的指数形式定理设齐（”是以HOCvs ）为周期的实函数、且在I 2d丿上满足狄利

8、克雷条件、即齐（-在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点.则在连续点处J有cos n cot + b/j(1)1 -%二不住方CCOS讪d= 12）r單（用吨*）在间断点4处，（1）式右端级数收敛于2/inCXf bi CiXcoso S s2y于島 ex T ur,ee+ 0 C - n f “心 * + “人-斶2 2-处）晋+Ee +e厶W=1旦厂_ 5 叽_ +也0叩 ”T,2,3,则XaW二工c严“X 42CtX+丿+(J0-inCX, +c”+Q6XdlCX=Co+(qg +C2W +代JnCX9+%+丿（2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有

9、明显的物理意义.容易证明5可以合写成一个式子，即q 冷直齐(Wgai,2,.)傅里叶积分任何一个非周期函数/”)都可看成是由某个周期函数齐()当T-+8时转化而来的.即imx/T(/) =/(r)由公式(2)、(3)得T R 了耐吨严9可知/(r)=71iml 心(少叫卜/ w=x T9令马二gg = _(DI则T或A于是f(t)= lim 八)T卄TJArYdt/?=-xuf w=-x 0 4r t令0 ()=2 吐 CH dre( ,H故(4)03” )T女)二土匚/ (少叫(1)严注意到当即TTS 时从而按照积分的定义，(4)可以写为:或者/（/）=2匚匚/ （少叫咔叫0公式（5）称为函

10、数/（ ）的傅氏积分公式.定理若/ （*）在（揺，+8）上满足条件：仃）/ （”在任一有限区间上满足狄氏条件；（2） / C）在无限区间（-8, +8）上绝对可 积，即收敛，则在几）的连续点成里；而在/ （“的间断点匚处/ （ /。+0） +/亿一0）应以 来代替.上述定理称为傅氏积分定理可以证明，当/”）满足傅氏积分定理条件时，公式（5）可以写为三角形式，即一x/(r)cos) ； ylabel(* y/m )；Subplot(212) W=fft(w)；W=fftshift(W)；plot(t,abs(W) /br, 1 LineWidth,;title (冲激函数的傅里叶变换)；xlab

11、el (； ylabel(A/m*);其时域图像和频域图像如图1所示倔1 4C-图1冲激函数的时域和频谱图像分析:从图中可以看出，冲激信号的频率为0处的分量最大，然后向两端快速衰减，表明脉冲信号 中实际占主导地位的其实是直流分量。余弦信号我们已经知道，任何信号都可以分解成为不同频率的正或余弦信号的叠加，那么现在研究余弦 信号的时域和频域特性(3)。用Mat lab可以产生余弦信号并分析其频谱的特性。Mat lab 程序：M=10 ；N=2 ；t=linspace(-10,10,N) xcos=cos(3*t) Jsubplot(211)plot(t,xcos)；title C余弦信号的时域图像

12、)；xlabel( t/sr);ylabel( y/m*) subplot(212)plot( t ,abs( fftshi ft( fft(xcos) ； t i 11 eC 余弦信号的频域图像)xlabel(w/(rad/s) 余弦信号的时域图像与频域图像如图2所示 M 鼻 j 2 0 2A &9 10图2余弦函数的时域和频谱频率突变信号频率突变信号在现实生活总很常见，下面用Mat lab来产生频率突变信号和分析其傅里叶变 换。%Mat lab 程序:N 二 2；t=linspace(-10,10,N):sl=find(t= 0)；x(s2) =cos(2*pi*3*t(s2) subpl

13、ot (211)；plot(l.x)；titleC频率突变信号)； xlabel(rt/s*)；ylabel(? y/m1)subplot(212) X= fft(x)；plot(trabs(X) Ititled频率突变信号的傅里叶变换图像*)； xlabel(r f/hz*);ylabeK y/m*)其图像如图3所示图3频率突变信号的时域和频谱图象分析：频率突变信号的频率在3和5的位置对应的幅值特别高。因此标记出这两 个频 谱峰值对应的频率分量，正好可以验证信号的频率成份。高斯信号在信号中，常会伴随着来声，而高斯噪声是常见的棗声，研究它的特性对于消除噪声有很大 的意义。Mat lab程序如下

14、:M 二 10 ；N=2AM ；t=linspace(-10,10, N)；a=l/4 ；g=exp(-a*t. *2);subplot(211)plot(t,g)titleC高斯信号的时域图像)；xlabelCt/s1);ylabel(y/m )；subplot(212)G=fft (g):G=fftshift(G):plot (t.abs(G) titleC高斯信号的频域图像J xlabel(* f/Hz J ； ylabel(* y/m*)；高斯信号的时域和频域图像如图4所示-5 4 2 0 2 4 6 S 10 高廟馆号隔嶽tEBd 44a4 6dx图4高斯信号的时域和频域图像 ，WX

15、图像分析：这是一个正态分布函数，具有单峰性，归一性。其傅立叶变换函数的图象中，只有频率为0 的地方有极大的峰值，说明小概率时间发生的机会是极小的，越向原点，时间发生的可能性越 大。随机序列研究随机序列住有很大的意义，在数字信号的传输过程中，往往会产生噪声，而噪声并是随 机序列研究其特性对消除棗声有很大的意义利用MATLAB很容易产生两类随机信号:Rand(hN)在区间0.1上产生N点均匀分布的随机序列Randn(hN)r生均值为0,方差为1的高斯随机序列，也就是白噪声序列例如下图表示点数为32点的均匀分布的随机序列与高斯随机序列，其血t lab仿真结果如图下 所示，其中图和图分别表示序列一和序

16、列二的时域和频域图像。用Mat 1 ab产生的随即序列和其傅里叶变换的程序如下图所示clear al 1 ；N二32 ；x rand=rand(1,N):x randn=randn(1,N)；xn=0 : N-1 ；figured)subplot (2,1,1); stem(xn, x rand) ； titleC系列 1 的时域图像)subplot (2.1,2)； stem(xniabs(fftshift (fft (x rand): t i tle(!系列 1 的频域 图像 Jfigure (2)subplot (2,1,1); stem(xn,x_randn): t i t le(1

17、系列 2 的时域图像)subplot (2.1,2) ； stem(xn(abs(fftshift (fft (x randn): title(* 系列 2 的频域图像J系列1的时域羽惊10$0.60 1020CJ(Vcc?7):cT() 5 10 15 20 25 30 35系列1的腹域图像151 1 11-1055 1015202530图序列一的时域和频域图像系列啲时域图像系列2的顿域囱像$厂64ooTIG)G ? ?(c:ITVoQ Or-0 6 10 15 20 26 30 36图序列二的时域和频域图像男女声音的辨别男女声音有什么区别，怎么样区别男女声音，下面用傅里叶变换分析一段男女芦

18、音，观察结 果，并分析。首先用录音器分别录两段男女声音音频，分别保存为和。在Mat lab中用Y, Fs=wavread( f i 1 ename)即可直接读取 Mat 1 ab程序N=5000 ；aAwavreadC ,N)；bAwavreacK*.N)；A=fftshift(fft(a)；B 二 fftshift(fft(b)；subplot(223) plot(abs(A) ； titleC女生清唱傅里叶变换)subplot(224):plot (abs (B) ； ti tie (男生清唱傅里叶变换) subplot(221)；plot (a) ； ti11 eC 女声)subplot

19、(222) plot(b) * title(男声)运行结果如图6所示由于男女声音音高不同，其频谱属于不同频段范围。因此可以用上述方法才辨别男女声音。如图所示，将直流分量至于中间，明显可以看出女声的高频分量多，男声的低频分量少。由此可以得出，此分析结果正确。女声604020A女生清唱傅里叶变挽 U(20004000 6000图6男女声频谱分析0 2000 4000 6000参考文献:1 李红著复变函数与积分变换北京：高等教育出版杜，19992张元林积分变换M 北京：高等教育出版社,2003.3胡广书数字信号处理一一理论.算法与实现M 清华大学出版社，1997.4飞思科技产品研发中心.Matlab7辅助信号处理技术与应用M. 2005.