冈萨雷斯数字图像处理第3版第4章习题416443.docx

1、冈萨雷斯数字图像处理第3版第4章习题4164434.16证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的。 首先列出平移和旋转性质：/(X, 加 o F(u 一 v() (4.6-3)f(x-x0,y-y0) o F(“,叹-山初 jb仞(4.6-4)旋转性质：/(匚 & + q)o 0 + %) (4.6-5)证明:由式(4.5-15)得：山式(4.5-16)得：依次类推证明其它项。4.17由习题4.3可以推出lo(“,V)和刃,z)ol。使用前一个性质和表4.3中的平移性质证明连续函数f(/, z) = Acos(2/r“o/ + 2別旅)的傅里叶变换是证明：4.18证明离散函数/(.v,

2、 y) = 1的DFT是证明：离散傅里叶变换如果“=卩=0, 31 = 1,否则：考虑实部，3l =Ycos2/rS/M+i7/N), cos2ux/M+vy/N)的值介x-0 v-05/-1 iV-11,可以想象，31 =工工cos2/r(x/M+*y/N) = O,虚部相同，所以,v-0 v-04.19证明离散函数cos(2h0x + 2v0y)的DFT是证明：.W-l N7F(w,v) =工工/(兀)疋呦皿川)A-0 VU).W-l N-1=工cos(2和x + 2“)不人“皿曲)1 M-IN-1厶.V-0 v-0.Y-0 v- v-() x-( v-0=J(/ + iWz/0, v +

3、 Nv) + J(w - Mz/0, v - Av0)4.20下列问题与表4.1中的性质有关。(a)证明性质1的正确性。(b)证明性质3的正确性。(c)证明性质6的正确性。(d)证明性质7的正确性。(e)证明性质9的正确性。(f)证明性质10的正确性。(g)证明性质11的正确性。(h)证明性质12的正确性。(i)证明性质13的正确性。(a)当f(x,y)为实函数,则(b)p| f(x,y 丿为实函数,则 F(u,v) = R(u,v)+ jl(u,v)和 F(u,v)= R(u,v)- jl(u,v) 并且 F(-u-v) = R(-u-v)+ j/(-u-v)。而且 F(u,v)= F(-u

4、-v),所以可以得到:R(u,v)-jl(u,v) = R(-u-v)+ jl(-u-v) 便是R(u,v) = R(-u,-v)为偶函数和 -1( u,v )=1( -u-v丿为奇函数。(c)当f(-x-y)为复函数，山下式得:所以得证；(d)当f(x,y)为复函数，由下式得:所以得证；(e)当f(x,y)为实函数、奇函数，则F(u,v)的实部为0,即为虚数，且也是奇数。 由式可知，为虚数。当f(x,y)为虚函数、偶函数，由下式得：所以F(u, v)为一虚数。(g)当f(x,y)为虚函数、奇函数，由下式得：可知，结果为一实数。(h)当f(x,y)为复函数、偶函数，由下式得： f(x,y)=

5、f (x,y)+j f (x,y)re J leF(u,x)= 3)+jf( x, y )exp( 一 j2(ux / M + vy/N)Z v-0=工工/ (xfy )exp(-j2fr(iix/M +vy/N)+ 丿H / (兀)exp(-j2兀Qix/M + vy/N) Z I re Z y-f； e山式子可知，前项为实数，而后项为一纯虚偶数。当f(x,y)为复函数、奇函数，由下式得：F(S丿=工工/畑(x9y)+jf (a;y)exp(一)2龙(“x/Myy/N)丿Z v-0 o MJN-1 M-1N-1=工工 f ( y )exp(-j27r(itx/M +vy/N)+ 丿工工 f

6、(x9y )exp(-j2ji:(iix/M +vy/N) 由式子可知，前项为一偶实函数，后项为一纯虚奇数。 4.21 4.6.6节中在讨论频率域滤波时需要对图像进行填充。在该节中给出的图像填充方法是，在图像中行和列的末尾填充0值(见上面的左图)。如果我们把图 像放在中心，四周填充0值(见上面的右图)，而不改变所用0值的总数，会有区 别吗？试解释原因。答：如下图所示观察上图，左图是正确的结果，右图是“缠绕错误”引起的卷积错误。这个缠 绕错误出现的原因在于没有对图像进行填充，只有通过填充之后获得适当的间距 才能得到正确的卷积结果。关键在于得到“适当的间距”，左右两种填充可以得到相同的结果。 4.

7、22同一幅图像的两个傅里叶频谱如右图所示。左边的频谱对应于原图像, 右边的频谱图像使用0值填充后得到的。解释右图所示的谱沿垂直轴和水平轴方 向的信号强度显著增加的原因。答：除非原图像中所有的边界都是黑色的，用0值填充图像的边界将不可避免地 在图像的一条或多条边界上引入灰度值变化的不连续性，即新增了水平“边界” 和垂直“边界”，“边界”意味着高频分量，所以，对应到频域中，我们看到了沿垂 直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的现象。4.23山表4.2可知DFT的直流项F(0,0)与其对应的空间图像的平均值成正比。假定图像尺寸是MxTVo假如对图像进行0填充后，图像的尺寸为PxQ,其中 P和Q分别由式

8、(4.6-31)和式(4.6-32)给出。令&(0,0)代表填充后的函数的DFT 的直流项。(a)原图像平均值和填充后图像平均值的比值是多少？(b)巧,(0,0) = F(0,0)吗？假设从数学角度回答。解：(a)图像灰度平均值的计算：所以原图像平均值和填充后图像平均值的比值是(b)是的，它们相等。解释：我们知道结合(a)的结论，可以证明。4.24证明表4.2中的周期性质(性质8)证明：离散傅里叶变换其它证明类似。4.25下列问题与表4.3中的性质有关。(a)证明一维情况下离散卷积定理的正确性。(b)对于二维情况，重复(a)(c)证明性质9的正确性。(d)证明性质13的正确性。(注意：习题4.

9、18、习题4.19和习题4.31也与表4.3有关)证明：(a) 维情况下离散卷积定理的证明111(4.4-10)以及一维离散傅里叶变换的定义可知Af-lf (x)力(x)=工 / (m)h(x-m) (4.4-10)wr-()一维傅里叶变换：M-1F(“)=力/小叽化“ =0丄2,m-1 (4.4-6).x-01 .W-I/(X)= 77 工 FgeJ2E, X = 0丄 2,M 一 1 (447)而：所以：(b)III (a)可知(c)矩形波recta, b的傅里叶变换：性质 9 m(Mo“sin(m)sin(和叭如“mat mib(d)证明性质13的正确性。性质13 A2耐2矿2(辰2)o

10、皿“+丹2*4.26 (a)证明连续变量t和z的连续函数/(/,z)的拉普拉斯变换满足下列傅里叶变换对拉普拉斯变换的定义见式(3.6.3)：(提示：研究表4.3中的性质12并参阅习题4.25(d) (b)前面闭合显示的表达式仅适用于连续变量。然而，使用MxN滤波器它可能是离散频率域实现拉普拉斯的基础，/7G/,v) = -42(n2+v2),1, 0,1,2，,N- o解释您怎样实现这个滤波器。(c)正如您在例4.20中看到的那样，频率域的拉普拉斯结果类似于使用中心系数 为-8的空间模板的结果。请说明频率域拉普拉斯结果与中心系数为-4的空间模 板的结果不同的原因。(a)证明：由第3章可知，两个

11、连续变量的拉普拉斯函数/(r, z)定义为根据表4.3中的性质12,可得拉普拉斯函数的傅里叶变换为得证。(b)答：山前面的推导可以看出，拉普拉斯滤波器适用于连续变量。对离散傅里 叶变换，我们可以通过对拉普拉斯函数进行釆样来构造相应的滤波器：其中，=0,1,2,.,M1, v = 0,l,2,.,N 1。当傅里叶变换是圆形形式时，频域的拉普拉斯滤波器可以表示为总之，对空域和频域之间的变换，我们使用以下拉普拉斯傅里叶变换对：核心思想是：离散的拉普拉斯傅里叶变换是通过对连续的拉普拉斯傅里叶变换进 行采样得到的。(c)由于拉普拉斯变换是各向同性的，如果空域中的模板包含了对角分量，则拉 普拉斯变换的对称

12、性的近似程度更大。所以，相比于中心系数为-4的空间模板, 中心系数为-8的空间模板更加类似于频率域的拉普拉斯结果。 4.27考虑大小为5x5的空间模板，它平均与点(x,y)最靠近的12个邻点，但 平均值排除该点本身。(a)在频率域找出与其等价的滤波器v) o(b)证明您的结果是一个低通滤波器。解：为了节省时间，以下不用5x5,而根据英文版习题答案进行回答空域的均值(中心点除外)为山表4.3中的性质3可得：其中(b)为了解释这是一个低通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式为了便于解释，我们先考虑一个变量。当u从0增加到M-1时， cos(2-A/2/M)的值从-1增加到1, 乂从1减小到-1

13、,当u = M/2时，达到 最大值1。因此，越远离中心点，该滤波器的值越小，这就是低通滤波。4.28基于式(3.6.4),近似二维离散微分的一种方法是计算形如 f(x +1, y) + f (x-1, y)-2f(x, y)和 f(xy y +1) + f(xt y -1)的差。(a)在频率域找出与其等价的滤波器H(u, p) (b)证明您的结果是一个高通滤波器。(a)解：根据离散傅里叶变换DFT的定义和表4.3性质3可得所以其中(b)为了解释这是一个高通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式当u从0增加到M-1时，cos2/r(“-M/2)的值最初为-1，在u = M 12时为1,在 u

14、= M-时为的值从4变到0,再从0变到-4。所以，越靠近中心点，H(u9 v) 的幅度越小，因此，这是一个高通滤波。4.29找出一个等价的滤波器H(u, v)，它在频率域实现使用图3.37(a)中的拉普拉斯模板 执行的空间操作。解：滤波函数如下：正如4.28,其中，将频率转移到中心点，当刃= (M/2,N/2)时H(荻) = 0。越远离中心点，H(u,p)的幅度越大。最重要的一点在于：直流分量被滤除，保留了高频分量，所以这是一 个高通滤波器。4.30您能想出一种使用傅里叶变换计算(或分部讣算)用于图像差分的梯度幅度见式(3.6-11)的方法吗？如果您的回答是可以，那么请给出一种方法去实现它。

15、如果您的回答是不可以，请解释原因。答：M(兀,y)=阳曲门=Jg： + g： (3.6-11)无法通过傅里叶变换进行上式的讣算，因为傅里叶变换是一个线性过程，而该式中涉及到平方和平方根等非线性计算。我们能够利用傅里叶变换计算差值,但是, 不能用其处理平方、平方根、绝对值等运算，只能在空域里面处理这些运算。 4.31在连续频率域中，一个连续高斯低通滤波器有如下传递函数：证明相应的空间域滤波器是证明：4.32如式(4.9-1)说明的那样，从低通滤波器的传递函数得到高通滤波器的传递函数H和是可能的：使用习题4.31中给出的信息，回答空间域高斯高通滤波器是什么形式？解：对日沖进行傅里叶反变换得4.33

16、考虑右侧所示的图像。右侧的图像是通过如下步骤得到的：(a)用(-1尸门乘以左侧的图像：(b)计算DFT： (c)取该变换的复共轨：(d)计算反DFT： (e)用(一1尸门乘 以结果的实部。(从数学上)解释为什么右边的图像会出现该现象。证明：取共轨的傅里叶逆变换：所以变换后的图像与原图像关于原点对称。4.34图4.41(b)的水平轴上近似周期性的亮点的来源是什么？答：这些亮点的来源是左图中左下角等间距的垂直线条。 4.35图4.53中的每一个滤波器在其中心处都有一个很强的尖刺，解释这些尖 刺的来源。答：这是曲于高通滤波器的频域表示为丹沖=式中的1,逆变换会空间与是一个冲击响应y),因此，空域上的

17、中心处出现 了一个尖刺。4.36考虑下面所示的图像。右边的图像是对左边图像用高斯低通滤波器进行低 通滤波，然后用高斯高通滤波器对其结果再进行高通滤波得到的。图像大小为 420x 344，两个滤波器均使用了 = 25。(a)解释右侧图像中戒指的中心部分明亮且实心的原因，考虑滤波后图像的支配 特性是物体(如手指、腕骨)的外边界上的边缘及这些边缘之间的暗区域。换句话 说，您并不希望高通滤波器将戒指内部的恒定区域渲染为暗色，因为高通滤波消 除了直流项？(b)如果颠倒滤波处理的顺序，您认为结果会有区别吗？答：(a)如果只进行高通滤波，戒指的中心是黑色的。然而，通过低通滤波，我 们将黑色中心区域平均化。最

18、终结果中戒指如此明亮的原因在于，戒指边缘的灰 度不连续性比图像中其它任何部分都大，因而对显示结果影响最大。(b) 111于傅里叶变换是线性的，先后顺序对结果没有影响。4.37给出一幅大小为MxN的图像，要求做一个实验,实验所用截止频率为2的 高斯低通滤波器重复对该图像进行低通滤波。而且忽略讣算上的舍入误差。令 cmin是实验所用机器可表示的最小正数。 (a)令K表示该滤波器使用的次数。在进行实验前，您能预测K为足够大的 值时的结果(图像)将是什么吗？如果能，结果是什么？(b)推导出保证预测结果的最小K值的表达式。(a)高斯低通滤波：K次滤波得到的结果为：试想K很大时，将只有F(0,0)通过，即

19、(b)为了保证得到上述结果，要求K足够大，由于计算机的最小正数为仏，则当某一个数小于Cmm的一半时，该整数将被置为0。所以，K应该满足条件不考虑原点，由于U和都是离散数据，所以D(W, v) 1,所以4.38考虑下面所示的图像序列。最左侧的图像是商用印刷电路板的X射线图像 的一部分。该图像右侧的图像分别是使用一个2=30的高斯高通滤波器进行1 次、10次和100次滤波后的结果。图像的大小为330x334像素，每个像素由8 比特灰度表示。为了便于显示，图像已进行了缩放，但这对本习题没有影响。(a)从这儿幅图像可以看出，经过有限次数的滤波后，图像将不再发生变化。请 说明实际是否如此。可以忽略计算舍

20、入误差。令表示完成此实验的机器可表 示的最小正数。(b)如果在(a)中确定有限次迭代后变化将停止，求最小的迭代次数。ft?-： (a)是的，经过有限次滤波之后，图像将不再发生变化。理解的关键在于将K次高通滤 波函数视为与4.37不同，这儿的滤波器是“凹口”滤波，将滤除F(0,0),因而，将产生一幅图像，图 像中所有像素灰度值的平均值是0(有些像素的灰度值为负数)。所以，有一个K值，当滤波 次数大于K时，图像保持不变。(b)滤波K次之后，图像保持不变，满足下式：解出来的K值同4.374.39如图4.59中说明的那样，将高频强调和直方图均衡相结合是实现边缘锐化 和对比度增强的有效方法。(a)说明这

21、种结合方法是否与先用那种有关。(b)如果与应用顺序有关，请给出先采用某种方法的理由。答：(a)频域滤波在空域中表示为卷积：滤波之后再进行直方图均衡：其中“T”代表直方图均衡变换如果颠倒顺序，结果为：由于“T”是一个非线性过程，所以所以说，这种结合方法与处理的先后顺序有关。(b)山图4.59可以看出，高频强调使得图像的对比度降低 所以要先进行高频强 调，再进行直方图均衡。4.40使用一个布特沃斯高通滤波器构建一个同态滤波器,该滤波器的形状与图4.61中的滤波器的形状相同。解：同态滤波器如下：有高斯高通滤波器构建的同态滤波器为其中“ vl且 1 ,图中所示的滤波器趋向于衰减低频(照射)的贡献，而增

22、强高频(反射)的贡献。最终结果是同时进行动态范用的丿E缩和对比度的增强。用布特沃斯高通滤波器构建的同态滤波器为：4.41证明式(4.11-16)和式(4.11-17)的正确性。(提示：使用归纳法证明)。证明：由于M = 2nf我们可以将式(4.11-16)和式(4.11-17)分别写为：(1)对于n=l所以等式成立(2)假设!1时成立，可以由此推导出n+1的情况首先山(4.11-14)得所以对于(4.11-17)所以得证4.42假设有一组图像，这组图像是山对恒星事件进行分析的实验生成.每幅图像 都包含一组明亮且松散的点，这些点对应于广袤宇宙空间中的星星。问题是这些 星星因为大气折射导致的重叠照

23、射儿乎不可见。如果这些图像使用一组冲激建模 为一个恒定照射分量的乘积，试提出一个增强过程，它以设计为显示星星自身的 图像分量的同态滤波为基础。解：考虑单个星星，其建模形式为5(x-xo.y-vo),所以傅里叶变换后从该结果可以看出，在频域中，恒定的照射分量对图像的贡献相当于原点处的冲 激响应。可以使用凹口滤波器，只将该冲激响应滤除，就能实现星星的图像增强。 所以，该问题的解决方法是：每次考虑一颗星星，进行上述滤波，然后将每个独 立的结果相加，随后，进行强度定标，以保留星星之间的亮度关联信息。4.43 一种成熟的医学技术被用于检测电子显微镜生成的某类图像。为了简化检 测任务，技术人员决定采用数字图像增强技术，并在处理结束后，检查了一组具 有代表性的图像，发现了如下问题：(1)明亮且孤立的点是不感兴趣的点；(2)清 晰度不够；(3) 些图像的对比度不够；(4)平均灰度值已被改变，而正确地执 行某种灰度度量的这个值应该是V。技术人员想要纠正这些问题，然后将11和 12波段之间的所有灰度显示为白色，同时保持其余灰度的正常色调。请为技术人 员提出达到期望H标的处理步骤。可以使用地3章和第4章的技术。(1)中值滤波(2)咼频强调(3)直方图均衡先计算出图像的平均灰度Vo,然后对于所有灰度加上(V-Vo)(5)执行如下函数：