线性代数第四章答案.docx

1、线性代数第四章答案第四章向量组的线性相关性 1 设v1 (1 1 0)T v2 (0 1 1)T v3 (3 4 0)T 求v1 v2及3v1 2v2 v3 解 v1 v2 (1 1 0)T (0 1 1)T (1 0 1 1 0 1)T (1 0 1)T 3v1 2v2 v3 3(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (3 1 2 0 3 3 1 2 1 4 3 0 2 1 0)T (0 1 2)T 2 设3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a) 求a 其中a1 (2 5 1 3)T a2 (10 1 5 10)T a3 (4 1 1 1)T 解 由3(a1 a) 2(

2、a2 a) 5(a3 a)整理得 (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1 (0 1 2 3)T a2 (3 0 1 2)T a3 (2 3 0 1)T B b1 (2 1 1 2)T b2 (0 2 1 1)T b3 (4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示 证明 由 知R(A) R(A B) 3 所以B组能由A组线性表示 由 知R(B) 2 因为R(B) R(B A) 所以A组不能由B组线性表示 4 已知向量组 A a1 (0 1 1)T a2 (1 1 0)T B b1 ( 1 0 1)T b2 (1 2 1)T b3 (3 2 1)T 证明A组与B

3、组等价 证明 由 知R(B) R(B A) 2 显然在A中有二阶非零子式 故R(A) 2 又R(A) R(B A) 2 所以R(A) 2 从而R(A) R(B) R(A B) 因此A组与B组等价 5 已知R(a1 a2 a3) 2 R(a2 a3 a4) 3 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示 证明 (1)由R(a2 a3 a4) 3知a2 a3 a4线性无关 故a2 a3也线性无关 又由R(a1 a2 a3) 2知a1 a2 a3线性相关 故a1能由a2 a3线性表示 (2)假如a4能由a1 a2 a3线性表示 则因为a1能由a2 a3线性表

4、示 故a4能由a2 a3线性表示 从而a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此a4不能由a1 a2 a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) ( 1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T ( 1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为 所以R(A) 2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为 所以R(B) 3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1 (a 1 1)T a2 (1 a 1)T a3 (1 1 a)T 解

5、 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由 如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关 （具体看书后相应答案） 8 设a1 a2线性无关 a1 b a2 b线性相关 求向量b用a1 a2线性表示的表示式 解 因为a1 b a2 b线性相关 故存在不全为零的数 1 2使 1(a1 b) 2(a2 b) 0 由此得 设 则 b ca1 (1 c)a2 c R 9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问a1 b1 a2 b2是否一定线性相关？试举例说明之 （也可看书后答案） 解 不一定 例如 当a1 (1 2)T, a2 (2 4)T, b1 ( 1 1)T, b2 (0 0)T时 有 a1 b1

6、(1 2)T b1 (0 1)T, a2 b2 (2 4)T (0 0)T (2 4)T 而a1 b1 a2 b2的对应分量不成比例 是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a1 a2 am是线性相关的 则a1可由a2 am线性表示 解 设a1 e1 (1 0 0 0) a2 a3 am 0 则a1 a2 am线性相关 但a1不能由a2 am线性表示 (2)若有不全为0的数 1 2 m使 1a1 mam 1b1 mbm 0成立 则a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 解 有不全为零的数 1 2 m使 1a1 mam 1b1 mbm 0 原式可化为 1(a

7、1 b1) m(am bm) 0 取a1 e1 b1 a2 e2 b2 am em bm 其中e1 e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而a1 a2 am和b1 b2 bm均线性无关 (3)若只有当 1 2 m全为0时 等式 1a1 mam 1b1 mbm 0才能成立 则a1 a2 am线性无关, b1 b2 bm亦线性无关 解 由于只有当 1 2 m全为0时 等式由 1a1 mam 1b1 mbm 0成立 所以只有当 1 2 m全为0时 等式 1(a1 b1) 2(a2 b2) m(am bm) 0成立 因此a1 b1 a2 b2 am bm线性无关 取a1 a2 am 0 取b1 bm为

8、线性无关组 则它们满足以上条件 但a1 a2 am线性相关 (4)若a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 则有不全为0的数 1 2 m使 1a1 mam 0 1b1 mbm 0同时成立 解 a1 (1 0)T a2 (2 0)T b1 (0 3)T b2 (0 4)T 1a1 2a2 0 1 2 2 1b1 2b2 0 1 (3/4) 2 1 2 0 与题设矛盾 11 设b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a4 b4 a4 a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 证明 由已知条件得 a1 b1 a2 a2 b2 a3 a3 b3 a4 a4 b4 a1 于

9、是 a1 b1 b2 a3 b1 b2 b3 a4 b1 b2 b3 b4 a1 从而 b1 b2 b3 b4 0 这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 12 设b1 a1 b2 a1 a2 br a1 a2 ar 且向量组a1 a2 ar线性无关 证明向量组b1 b2 br线性无关 证明 已知的r个等式可以写成 上式记为B AK 因为|K| 1 0 K可逆 所以R(B) R(A) r 从而向量组b1 b2 br线性无关 13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组 (1)a1 (1 2 1 4)T a2 (9 100 10 4)T a3 ( 2 4 2 8)T 解由 知R(a1 a2

10、a3) 2 因为向量a1与a2的分量不成比例 故a1 a2线性无关 所以a1 a2是一个最大无关组 (2)a1T (1 2 1 3) a2T (4 1 5 6) a3T (1 3 4 7) 解 由 知R(a1T a2T a3T) R(a1 a2 a3) 2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例 故a1T a2T线性无关 所以a1T a2T是一个最大无关组 14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 (1) 解 因为 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2) 解 因为 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 （关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个） 1

11、5 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 求a b 解 设a1 (a 3 1)T a2 (2 b 3)T a3 (1 2 1)T a4 (2 3 1)T 因为 而R(a1 a2 a3 a4) 2 所以a 2 b 5 16 设a1 a2 an是一组n维向量 已知n维单位坐标向量e1 e2 en能由它们线性表示 证明a1 a2 an线性无关 证法一 记A (a1 a2 an) E (e1 e2 en) 由已知条件知 存在矩阵K 使E AK 两边取行列式 得|E| |A|K| 可见|A| 0 所以R(A) n 从而a1 a2 an线性无关 证法二 因

12、为e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示 所以R(e1 e2 en) R(a1 a2 an) 而R(e1 e2 en) n R(a1 a2 an) n 所以R(a1 a2 an) n 从而a1 a2 an线性无关 17 设a1 a2 an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一n维向量都可由它们线性表示 证明 必要性 设a为任一n维向量 因为a1 a2 an线性无关 而a1 a2 an a是n 1个n维向量 是线性相关的 所以a能由a1 a2 an线性表示 且表示式是唯一的 充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2 an线性表示 故单位坐标向量组e1 e2 en能由a1

13、a2 an线性表示 于是有n R(e1 e2 en) R(a1 a2 an) n 即R(a1 a2 an) n 所以a1 a2 an线性无关 18 设向量组a1 a2 am线性相关 且a1 0 证明存在某个向量ak (2 k m) 使ak能由a1 a2 ak 1线性表示 证明 因为a1 a2 am线性相关 所以存在不全为零的数 1 2 m 使 1a1 2a2 mam 0 而且 2 3 m不全为零 这是因为 如若不然 则 1a1 0 由a1 0知 1 0 矛盾 因此存在k(2 k m) 使 k 0 k 1 k 2 m 0 于是 1a1 2a2 kak 0 ak (1/ k)( 1a1 2a2 k

14、 1ak 1) 即ak能由a1 a2 ak 1线性表示 19 设向量组B b1 br能由向量组A a1 as线性表示为(b1 br) (a1 as)K 其中K为s r矩阵 且A组线性无关 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K) r 证明令B (b1 br) A (a1 as) 则有B AK 必要性 设向量组B线性无关 由向量组B线性无关及矩阵秩的性质 有 r R(B) R(AK) minR(A) R(K) R(K) 及 R(K) minr s r 因此R(K) r 充分性 因为R(K) r 所以存在可逆矩阵C 使为K的标准形 于是 (b1 br)C ( a1 as)KC (a1 a

15、r) 因为C可逆 所以R(b1 br) R(a1 ar) r 从而b1 br线性无关 20 设 证明向量组 1 2 n与向量组 1 2 n等价 证明 将已知关系写成 将上式记为B AK 因为 所以K可逆 故有A BK 1 由B AK和A BK 1可知向量组 1 2 n与向量组 1 2 n可相互线性表示 因此向量组 1 2 n与向量组 1 2 n等价 21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x 3Ax A2x 且向量组x Ax A2x线性无关 (1)记P (x Ax A2x) 求3阶矩阵B 使AP PB 解 因为 AP A(x Ax A2x) (Ax A2x A3x) (Ax A2x 3Ax

16、A2x) 所以 (2)求|A| 解 由A3x 3Ax A2x 得A(3x Ax A2x) 0 因为x Ax A2x线性无关 故3x Ax A2x 0 即方程Ax 0有非零解 所以R(A) 3 |A| 0 （从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。每一题不再一一说明） 22 求下列齐次线性方程组的基础解系 (1) 解对系数矩阵进行初等行变换 有 于是得 取(x3 x4)T (4 0)T 得(x1 x2)T ( 16 3)T 取(x3 x4)T (0 4)T 得(x1 x2)T (0 1)T 因此方程组的基础解系为 1 (

17、 16 3 4 0)T 2 (0 1 0 4)T (2) 解 对系数矩阵进行初等行变换 有 于是得 取(x3 x4)T (19 0)T 得(x1 x2)T ( 2 14)T 取(x3 x4)T (0 19)T 得(x1 x2)T (1 7)T 因此方程组的基础解系为 1 ( 2 14 19 0)T 2 (1 7 0 19)T (3)nx1 (n 1)x2 2xn 1 xn 0. 解 原方程组即为xn nx1 (n 1)x2 2xn 1 取x1 1 x2 x3 xn 1 0 得xn n 取x2 1 x1 x3 x4 xn 1 0 得xn (n 1) n 1 取xn 1 1 x1 x2 xn 2

18、0 得xn 2 因此方程组的基础解系为 1 (1 0 0 0 n)T 2 (0 1 0 0 n 1)T n 1 (0 0 0 1 2)T 23 设, 求一个4 2矩阵B, 使AB 0, 且R(B) 2. 解 显然B的两个列向量应是方程组AB 0的两个线性无关的解 因为 所以与方程组AB 0同解方程组为 取(x3 x4)T (8 0)T 得(x1 x2)T (1 5)T 取(x3 x4)T (0 8)T 得(x1 x2)T ( 1 11)T 方程组AB 0的基础解系为 1 (1 5 8 0)T 2 ( 1 11 0 8)T 因此所求矩阵为 24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为 1 (0

19、 1 2 3)T 2 (3 2 1 0)T 解 显然原方程组的通解为, 即 (k1 k2 R) 消去k1 k2得 此即所求的齐次线性方程组. 25 设四元齐次线性方程组 I II 求 (1)方程I与II的基础解系 (2) I与II的公共解 解 (1)由方程I得 取(x3 x4)T (1 0)T 得(x1 x2)T (0 0)T 取(x3 x4)T (0 1)T 得(x1 x2)T ( 1 1)T 因此方程I的基础解系为 1 (0 0 1 0)T 2 ( 1 1 0 1)T 由方程II得 取(x3 x4)T (1 0)T 得(x1 x2)T (0 1)T 取(x3 x4)T (0 1)T 得(x

20、1 x2)T ( 1 1)T 因此方程II的基础解系为 1 (0 1 1 0)T 2 ( 1 1 0 1)T (2) I与II的公共解就是方程 III 的解 因为方程组III的系数矩阵 所以与方程组III同解的方程组为 取x4 1 得(x1 x2 x3)T ( 1 1 2)T 方程组III的基础解系为 ( 1 1 2 1)T 因此I与II的公共解为x c( 1 1 2 1)T c R 26 设n阶矩阵A满足A2 A E为n阶单位矩阵, 证明R(A) R(A E) n 证明 因为A(A E) A2 A A A 0 所以R(A) R(A E) n 又R(A E) R(E A) 可知R(A) R(A

21、 E) R(A) R(E A) R(A E A) R(E) n 由此R(A) R(A E) n 27 设A为n阶矩阵(n 2) A*为A的伴随阵 证明 证明 当R(A) n时 |A| 0 故有 |AA*| |A|E| |A| 0 |A*| 0 所以R(A*) n 当R(A) n 1时 |A| 0 故有 AA* |A|E 0 即A*的列向量都是方程组Ax 0的解 因为R(A) n 1 所以方程组Ax 0的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为1 因此R(A*) 1 当R(A) n 2时 A中每个元素的代数余子式都为0 故A* O 从而R(A*) 0 28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐

22、次线性方程组的基础解系 (1) 解 对增广矩阵进行初等行变换 有 与所给方程组同解的方程为 当x3 0时 得所给方程组的一个解 ( 8 13 0 2)T 与对应的齐次方程组同解的方程为 当x3 1时 得对应的齐次方程组的基础解系 ( 1 1 1 0)T (2) 解 对增广矩阵进行初等行变换 有 与所给方程组同解的方程为 当x3 x4 0时 得所给方程组的一个解 (1 2 0 0)T 与对应的齐次方程组同解的方程为 分别取(x3 x4)T (1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础解系 1 ( 9 1 7 0)T 2 (1 1 0 2)T 29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3

23、 已知 1 2 3是它的三个解向量 且 1 (2 3 4 5)T 2 3 (1 2 3 4)T 求该方程组的通解 解 由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于 1 2 3均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得2 1 ( 2 3) ( 1 2) ( 1 3) (3 4 5 6)T为其基础解系向量 故此方程组的通解 x k(3 4 5 6)T (2 3 4 5)T (k R) 30 设有向量组A a1 ( 2 10)T a2 ( 2 1 5)T a3 ( 1 1 4)T 及b (1 1)T 问 为何值时 (1)向量b不能由向量组A线性表示 (2)向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一 (3)向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式 解 (1)当 4 0时 R(A) R(A b) 此时向量b不能由向量组A线性表示 (2)当 4时 R(A) R(A b) 3 此时向量组a1 a2 a3线性无关 而向量组a1 a2 a3 b线性相关 故向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一 (3)当 4 0时 R(A) R(A b) 2 此时向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 当 4 0时 方程组(a3 a2 a1)x b的解为 c R 因此 b (2c 1)a3 ( 3c 1)a2 ca1 即 b