高考数学一轮复习命题及其关系充分条件与必要条件.docx

1、高考数学一轮复习命题及其关系充分条件与必要条件第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件p q且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp 判断正误(正确的打“”，错误的打“”

2、)(1)“x22x30”是命题()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(5)q不是p的必要条件时，“pq”成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 下列命题为真命题的是()A若，则xy B若x21，则x1C若xy，则 D若xy，则x2y2答案：A 命题“若ab，则acbc”的否命题是()A若ab，则acbc B若acbc，则abC若acbc，则ab D若ab，则acbc解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若ab，

3、则acbc”，故选A (教材习题改编)“x4”是“x22x30”的()A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选B因为x22x30，所以该不等式的解集为x|x3，所以x4x22x30.但x22x30x4，所以“x4”是“x22x30”的充分而不必要条件 (教材习题改编)命题：若m0，则方程x2xm0有实数根的逆否命题是_答案：若方程x2xm0无实数根，则m0 (教材习题改编)命题p：x23x4，命题q：x，则p是q的_条件解析：当x23x4时，x1或4，当x1时，x不成立，即p/q.当x时，x0，3x40，则x23x4，即qp，所以p是q的必要不充分条件答

4、案：必要不充分四种命题的相互关系及真假判断典例引领 (1)命题“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是()A若a2b20，则a0且b0B若a2b20，则a0或b0C若a0且b0，则a2b20D若a0或b0，则a2b20(2)有下列四个命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题为_(填写所有真命题的序号)【解析】(1)“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是“若a0或b0，则a2b20”，故选D.(2)“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1

5、”，显然是真命题，故正确；“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故正确；若x22xm0有实数解，则44m0，解得m1，所以“若m1，则x22xm0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故正确；若ABB，则BA，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故错误【答案】(1)D(2)(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提注意四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”(2)判断命题真假的2种方法直接判断：判断一个命题为

6、真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假 通关练习1已知命题p：若a1，则a21，下列说法正确的是()A命题p是真命题B命题p的逆命题是真命题C命题p的否命题是若a1，则a21D命题p的逆否命题是若a21，则a1解析：选B已知命题p：若a1，则a21，如a2，则(2)21，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是若a21，则a1，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是若a1，则a21，所以C不正确；命题p的逆否命题是若a21，则a1，所以D不正确故选B2下列命题：“若ab，则ab”的否命题

7、；“若a1，则ax2x30的解集为R”的逆否命题；“周长相同的圆面积相等”的逆命题；“若x为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中真命题的序号为()A BC D解析：选B对于，逆命题为真，故否命题为真；对于，原命题为真，故逆否命题为真；对于，“面积相等的圆周长相同”为真；对于，“若x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假故选B充分条件、必要条件的判断典例引领 (1)(2017高考北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mnb”既不是“a2b2”的充分条件也不是必要条件A0 B1C2 D3解析：选D.真，真，真故选D.充分条件、必要条件的应用典例引领 已知Px|x

8、28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围【解】由x28x200，得2x10，所以Px|2x10，由xP是xS的必要条件，知SP.则所以0m3.所以当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0，31.若本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解：若xP是xS的充要条件，则PS，所以所以即不存在实数m，使xP是xS的充要条件2.本例条件不变，若xP是xS的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：由例题知Px|2x10，因为xP是xS的必要不充分条件，所以PS且SP.所以2，10 1m，1m所以或所以m9，即m的取值范围是9，)利用充要条件

9、求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍注意含有参数的问题，要注意分类讨论 通关练习若“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为_解析：由x2x60，解得x3.因为“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，所以x|xa是x|x3的真子集，即a3，故a的最小值为3.答案：3 四种命题的书写及相互关系(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与

10、结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题(2)四种命题中的等价关系：原命题与逆否命题是等价命题，它们具有相同的真假性；否命题与逆命题也是等价命题，它们也具有相同的真假性 充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件ABp是q的必要条件BAp是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件AB 注意3个易错点(1)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提(2)否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论(3)注意区别A是B的充分不必要条件(AB且B A)，与A

11、的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同1已知xR，命题“若x20，则x0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C命题“若x20，则x0”的逆命题是“若x0，则x20”，是真命题；否命题是“若x20，则x0”，是真命题；逆否命题是“若x0，则x20”，是假命题综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C2已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A逆命题 B否命题C逆否命题 D否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题3(2018陕

12、西质量检测(一)设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由(ab)a20可知a20，则一定有ab0，即ab；但是ab即ab0时，有可能a0，所以(ab)a20不一定成立，故“(ab)a20”是“ab”的充分不必要条件，选A4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin Asin B”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C设ABC外接圆的半径为R，若sin Asin B，则2Rsin A2Rsin B，即ab；若ab，则，即sin Asin

13、B，所以在ABC中，“sin Asin B”是“ab”的充要条件，故选C5有下列命题：“若xy0，则x0且y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若m1，则mx22(m1)xm30的解集是R”的逆命题；“若a7是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中正确的是()A BC D解析：选C的逆命题为“若x0且y0，则xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；的逆命题为“若mx22(m1)xm30的解集为R，则m1”因为当m0时，解集不是R，所以应有即m1.所以是真命题；原命题为真，逆否命题也为真6(2018石家庄模拟)“log2(2x3)1”是“4x8”的

14、()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由log2(2x3)102x32x，4x82x3x，所以“log2(2x3)1”是“4x8”的充分不必要条件，故选A7已知直线l，m，其中只有m在平面内，则“l”是“lm”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当l时，直线l与平面内的直线m平行、异面都有可能，所以lm不一定成立；当lm时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l，即“l”是“lm”的必要不充分条件，故选B8命题“对任意x1，2)，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()Aa4 Ba4Ca1

15、 Da1解析：选B要使“对任意x1，2)，x2a0”为真命题，只需要a4，所以a4是命题为真的充分不必要条件9(2017高考浙江卷)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 S62S5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C因为an为等差数列，所以S4S64a16d6a115d10a121d，2S510a120d，S4S62S5d，所以d0S4S62S5，故选C10(2018惠州第三次调研)设函数yf(x)，xR，“y|f(x)|是偶函数”是“yf(x)的图象关于原点对称”的()A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件

16、 D既不充分也不必要条件解析：选C设f(x)x2，y|f(x)|是偶函数，但是不能推出yf(x)的图象关于原点对称反之，若yf(x)的图象关于原点对称，则yf(x)是奇函数，这时y|f(x)|是偶函数，故选C11(2018贵阳检测)设向量a(1，x1)，b(x1，3)，则“x2”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A依题意，注意到ab的充要条件是13(x1)(x1)，即x2.因此，由x2可得ab，“x2”是“ab”的充分条件；由ab不能得到x2，“x2”不是“ab”的必要条件，故“x2”是“ab”的充分不必要条件，选A12(2018郑州第

17、一次质量预测)已知命题p：，命题q：xR，ax2ax10，则p成立是q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A命题p等价于0a4.命题q，对xR，ax2ax10，必有或，则0a4，所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件，故选A13下列命题中为真命题的是_命题“若x1，则x21”的否命题；命题“若xy，则x|y|”的逆命题；命题“若x1，则x2x20”的否命题；命题“若x21，则x1”的逆否命题解析：对于，命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，易知当x2时，x241，故为假命题；对于，命题“若xy，则x|y|”的逆命题为“若x

18、|y|，则xy”，分析可知为真命题；对于，命题“若x1，则x2x20”的否命题为“若x1，则x2x20”，易知当x2时，x2x20，故为假命题；对于，命题“若x21，则x1”的逆否命题为“若x1，则x21”，易知当x2时，x241，故为假命题答案：14给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是_解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数yf(x)的图象不过第四象限，则函数yf(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题

19、只有1个答案：115若命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：由题意知ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得解得3a0，故3a0.答案：3，016(2018长沙模拟)给出下列命题：已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的充分不必要条件；“x0”是“ln(x1)0”的必要不充分条件；“函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为”是“a1”的充要条件；“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“ab0”其中正确命题的序号是_(把所有正确命题的序号都写上)解析：因为“a3”可以推出“AB”，但“AB”不能推出“a3”，所以“a3”是

20、“AB”的充分不必要条件，故正确；“x0”不能推出“ln(x1)0”，但“ln(x1)0”可以推出“x0”，所以“x0”是“ln(x1)0”的必要不充分条件，故正确；f(x)cos2axsin2axcos 2ax，若其最小正周期为，则a1，因此“函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为”是“a1”的必要不充分条件，故错误；“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“ab0”，但由“ab0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“ab0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故错误正确命题的序号是.答案：1(2017高考天津卷)设R，则“”是“sin |b|，q：a2b

21、2Cp：xa2b2，q：x2abDp：acbd，q：ab且cd解析：选D.A中，x1x2x，x2xx0或x1 x1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|b|，根据不等式的性质可得a2b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2b22ab，由xa2b2，得x2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a1，b1，c0，d3，满足acbd，但是ad，反之，由同向不等式可加性得ab，cdacbd，故p是q的必要不充分条件综上所述，故选D.3已知p：xk，q：(x1)(2x)0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A2，) B(2，)C1，) D(，1解析：选B

22、由q：(x1)(2x)0，得x2，又p是q的充分不必要条件，所以k2，即实数k的取值范围是(2，)，故选B4已知集合A，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是_解析：因为Ax|1x3，即m2.答案：m25已知集合A，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围解：yx2x1，因为x，所以y2，所以A.由xm21，得x1m2，所以Bx|x1m2因为“xA”是“xB”的充分条件，所以AB，所以1m2，解得m或m，故实数m的取值范围是.6已知两个关于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50，求两方程的根都是整数的充要条件解：因为mx24x40是一元二次方程，所以m0.又另一方程为x24mx4m24m50，且两方程都要有实根，所以解得m.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以所以m为4的约数又因为m，所以m1或1.当m1时，第一个方程x24x40的根为非整数；而当m1时，两方程的