高中数学联赛常用定理.docx

1、高中数学联赛常用定理常用定理1、费马点（I）基本概念定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 (1)若三角形ABC的3个内角均小于120，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 (2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。（II）证明我们要如何证明费马点呢： 费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。 CC1B和AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60度=ABA1, CC1B和AA1B是全等三角形,得到PCB=PA1B 同理可得CBP=CA1P 由PA1B+CA1P

2、=60度，得PCB+CBP=60度,所以CPB=120度 同理,APB=120度，APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将BPC以点B为旋转中心旋转60度与BDA1重合，连结PD，则PDB为等边三角形，所以BPD=60度 又BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上， 又CPB=A1DB=120度，PDB=60度，PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将BMC以点B为旋转中心旋转60度与BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA

3、1AG/PF=1=2 A.G.C.P共圆=2=3 PEAC,PFBC=P.E.F.C共圆=3=4 =1=4 PFBC =PR=RQ BHAC,AHBC=5=6 A.B.G.C共圆=6=7 =5=7 AGBC=BC垂直平分GH =8=2=4 8+9=90,10+4=90=9=10 =HQ/DF =PM=MH 第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心，重心和垂心。 则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而G还是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直线上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中点。 三角形ABC和三角形XYZ位似，

4、那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上，并且两圆半径比为1:2 所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的反位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是正位似中心(相似点在位似中心的同一边). 所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上.五、托勒密定理1、定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性

5、的基本性质证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意四边形ABCD中，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD 因为ABEACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 而BAC=DAE，ACB=ADE 所以ABCAED相似. BC/ED=AC/AD即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因为BE+EDBD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度

6、分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一点K，使得ABK = CBD； 因为ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以C

7、BK = ABD。 因此ABK与DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBD = ABCD，且CKBD = BCDA； 两式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABCD + BCDA。证毕。 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)已知：圆内接四边形ABCD，求证：ACBDABCDADBC 证明：如图1，过C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACD

8、BCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。得 AC(BPDP)=ABCDADBC即ACBD=ABCDADBC 推论1.任意凸四边形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 推广托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，

9、两边取模， 得不等式ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 注意： 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 六、欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则ADBC+ABCD=ACBD七、重要不等式1、均值不等式：TIP:完全的均值不等式(a2+ b2)/2 (a+b)/2 ab 2/(1/a+1/b) （二次幂平均算术平均几何平均调和平均）2、柯西不等式柯西不等式的一般证法有以下几种： （1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, b

10、i，则有 (ai2) * (bi2) (ai * bi)2. 我们令 f(x) = (ai + x * bi)2 = (bi2) * x2 + 2 * (ai * bi) * x + (ai2) 则我们知道恒有 f(x) 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 = 4 * (ai * bi)2 - 4 * (ai2) * (bi2) 0. 于是移项得到结论。 （2）用向量来证. m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn) mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1+a2+.+an)1/2乘以(b1+b2+.+bn)1/2乘以cosX 因为cosX小于等于1，所以：a1b1

11、+a2b2+.+anbn小于等于a1+a2+.+an)1/2乘以(b1+b2+.+bn)1/2 这就证明了不等式 柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。3.排序不等式排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。 设有两组数 a 1 , a 2 , a n, b 1 , b 2 , b n 满足 a 1 a 2 a n, b 1 b 2 b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 + a n b1 a 1 b t + a 2 b t + a n b t a 1 b 1 + a

12、2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，tn是1，2，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 = a n 或 b 1 = b 2 = b n 时成立。 以上排序不等式也可简记为： 反序和乱序和同序和. 证明时可采用逐步调整法。 例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）0，这由题知成立。 依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。4.契比雪夫不等式切比雪夫不等式有两个 （1）设存在数列a1,a2,a3.an和b1,b2,b3.bn满足a1a2a3.

13、an和b1b2b3.bn 那么，aibi(1/n)(ai)(bi) （2）设存在数列a1,a2,a3.an和b1,b2,b3.bn满足a1a2a3.an和b1b2b3.bn 那么，aibi(1/n)(ai)(bi)5.琴生不等式设f(x)为上凸函数，则f(x1+x2+xn)/nf(x1)+f(x2)+f(xn)/n,称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn),其中 ai=0(i=1,2,n),且a1+a2+an=1.6.幂平均不等式幂平均不等式：ai0(1in),且，则有(ai/n)1/成立 iff a1=a2=a

14、3=an 时取等号 加权的形式： 设ai0，pi0(1in)，且，则有 （pi*ai/pi)1/(pi*ai/pi)1/ iff a1=a2=a3=an， p1=p2=p3=pn 时取等号。 特例： 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次幂）7权方和不等式1） a1 （m+1） / b1m + a2 （m+1） / b2m + a3 （m+1） / b3m + + an （m+1） / bnm (a1+a2+a3+ +an) （m+1） / (b1+b2+b3+ +bn)m 其中 a,b,n为正整数，m0 或 m-1 当且仅当a1/b

15、1=a2/b2=.=an/bn时，等号成立 2） a1 （m+1） / b1m + a2 （m+1） / b2m + a3 （m+1） / b3m + + an （m+1） / bnm (a1+a2+a3+ +an) （m+1） / (b1+b2+b3+ +bn)m 其中 a,b,n为正整数，-1m0 当且仅当a1/b1=a2/b2=.=an/bn时，等号成立 权方和不等式的等价形式： （Holder不等式）：i=1，nai*bi（i=1，naip）(1/p) * （i=1,nbiq)(1/q) 上式中1/p+1/q=1,ai,bi为正实数八、棣莫弗(de Moivre)定理设两个复数(用三角

16、形式表示)Z1=r1(cos1+isin1) ,Z2=r2(cos2+isin2),则: Z1Z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2). 证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为,这两个分向量的模分别等于rcos,risin(r=a2+b2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cos+isin).这里称为复数Z的辐角. 因为Z1=r1(cos1+isin1) ,Z2=r2(cos2+isin2),所以 Z1Z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2)

17、 =r1r2(cos1cos2+icos1sin2+isin1cos2-sin1sin2) =r1r2(cos1cos2-sin1sin2)+i(cos1sin2+sin1cos2) =r1r2cos(1+2)+isin(1+2). 其实该定理可以推广为一般形式: 棣莫弗定理的推广设n个复数Z1=r1(cos1+isin1) ,Z2=r2(cos2+isin2),，Zn=rn(cosn+isinn), 则： Z1Z2Zn=r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n). 证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。 如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式“ei=co

18、s+isin”（参见泰勒公式，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。 利用棣莫弗定理有： Z1Z2Zn=r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n) 如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1ei1,Z2=r2ei2,，Zn=rnein, Z1Z2Zn=r1r2rnei(1+2+n) 这和指数的可加性一致. 在一般形式中如果令Z1=Z2=Zn=Z,则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.九、欧几里德除法 欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gc

19、d(b,a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b , d |r ，但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。 欧几里德算法（辗转相除法）求两个数的最大公约数的步骤如下： 先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数； 再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数； 又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数； 这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最