二次函数与三角形最大面积的3种求法.docx

1、二次函数与三角形最大面积的3种求法二次函数与三角形最大面积的 3 种求法一解答题（共 7 小题）2的图象与 x 轴交于点 A （ 3， 0）和点 C，与 y 轴交于点 B （ 0， 3）1（ 2012?广西）已知抛物线 y=ax +2x+c（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在抛物线的对称轴上找一点D ，使得点 D 到点 B 、 C 的距离之和最小，并求出点D 的坐标；（ 3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得 ABP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由2（ 2013?茂名）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A 和点 B ，与 y 轴交于点 C，已知点 B 的坐标为

2、（ 3， 0）（ 1）求 a 的值和抛物线的顶点坐标；（ 2）分别连接 AC 、 BC在 x 轴下方的抛物线上求一点 M ，使 AMC 与 ABC 的面积相等；（ 3）设 N 是抛物线对称轴上的一个动点， d=|AN CN|探究：是否存在一点 N，使 d 的值最大？若存在，请直接写出点 N 的坐标和 d 的最大值；若不存在，请简单说明理由3（ 2011?茂名）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线经过点 A （0， 4）， B（ 1，0），C（ 5，0），抛物线对称轴 l 与 x 轴相交于点 M （ 1）求抛物线的解析式和对称轴；（ 2）点 P 在抛物线上，且以 A 、 O、 M 、

3、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点 P 的坐标；（ 3）连接 AC 探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 N，使 NAC 的面积最大？若存在，请你求出点 N 的坐标；若不存在，请你说明理由第1页（共 11页）4（ 2012?黔西南州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线经过点 A（ 0，4），B（ 1，0），C（ 5，0），抛物线的对称轴 l 与 x 轴相交于点 M （ 1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（ 2）设点 P 为抛物线（ x 5）上的一点，若以 A 、 O、 M 、 P 为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写

4、出点 P 的坐标；（ 3）连接 AC ，探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 N，使 NAC 的面积最大？若存在，请你求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由5（ 2013?新疆）如图，已知抛物线2C，y=ax +bx+3 与 x 轴交于 A 、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点其中 A 点的坐标是（ 1， 0）， C 点坐标是（4，3）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在（ 1）中抛物线的对称轴上是否存在点D ，使 BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（ 3）若点 E 是（ 1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方， 试求 AC

5、E 的最大面积及 E 点的坐标26（ 2009?江津区）如图，抛物线 y= x +bx+c 与 x 轴交于 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）两点第2页（共 11页）（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使 PBC 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标及 PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由27如图，已知二次函数 y=ax +bx+c 经过点 A （ 1，0）， C（ 0， 3

6、），且对称轴为直线 x= 1（ 1）求二次函数的表达式；（ 2）在抛物线上是否存在点 P，使 PAB 得面积为 10，请写出所有点 P 的坐标第3页（共 11页）二次函数与三角形最大面积的 3 种求法参考答案与试题解析一解答题（共 7 小题）21（ 2012?广 解：（1）抛物线 y=ax +2x+c 的图象经过点 A （ 3， 0）和点 B （0， 3），西） 解答： ，解得 a= 1， c=3，抛物线的解析式为： y= x2+2x+3 （ 2）对称轴为 x=1，令 y= x2+2x+3=0 ，解得 x1=3， x2= 1， C（ 1， 0）如图 1 所示，连接 AB ，与对称轴 x=1 的

7、交点即为所求之 D 点，由于 A 、C 两点关于对称轴对称，则此时 DB+DC=DB+DA=AB 最小设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ，由 A （3， 0）、 B（ 0，3）可得：，解得 k= 1， b=3，直线 AB 解析式为 y= x+3 当 x=1 时， y=2， D 点坐标为（ 1， 2）（ 3）结论：存在如图 2 所示，设 P（ x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点 P 作 PN x 轴于点 N，则 ON=x ， PN=y ， AN=OA ON=3 xS ABP=S 梯形 PNOB+S PNA SAOB= （ OB+PN ） ?ON+ PN ?AN OA ?OB= （ 3+

8、y） ?x+ y?（3 x） 33= （ x+y ） ，P（ x， y）在抛物线上，y= x2+2x+3 ，代入上式得：S=（ x+y） = （ x2 3x）= （ x ） 2+， ABP当 x=时， SABP 取得最大值当 x=2，P（ ，）时， y= x +2x+3=所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得 ABP 的面积最大； P 点的坐标为 （ ，）第4页（共 11页）2（ 2013?茂名）解答： 解：（ 1）抛物线 y=ax 2 x+2 经过点 B （ 3， 0）， 9a 3+2=0，解得 a= ， y= x2 x+2， y= 222，x x+2= （ x+3x ）+2= （ x

9、+） +顶点坐标为（，）；（ 2）抛物线 y= x2 x+2 的对称轴为直线 x= ，与 x 轴交于点 A 和点 B ，点 B 的坐标为（ 3， 0），点 A 的坐标为（ 6， 0）又当 x=0 时， y=2， C 点坐标为（ 0， 2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ，则 ，解得 ，直线 AC 的解析式为 y= x+2 SAMC =SABC，点 B 与点 M 到 AC 的距离相等，又点 B 与点 M 都在 AC 的下方， BM AC ，设直线 BM 的解析式为 y= x+n，第5页（共 11页）将点 B（ 3， 0）代入，得 3+n=0 ，解得 n=1，直线 BM 的解析式为 y=

10、x1由 ，解得 ， ， M 点的坐标是（ 9， 4）；（ 3）在抛物线对称轴上存在一点 N，能够使 d=|AN CN|的值最大理由如下：抛物线 y= x2 x+2 与 x 轴交于点 A 和点 B，点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称连接 BC 并延长，交直线 x= 于点 N，连接 AN ，则 AN=BN ，此时 d=|AN CN|=|BN CN|=BC 最大设直线 BC 的解析式为 y=mx+t ，将 B（ 3， 0）， C（ 0， 2）两点的坐标代入，得 ， ，直线 BC 的解析式为 y= x+2，当 x= 时， y= （ ） +2=3，点 N 的坐标为（ ， 3）， d 的最大值为 B

11、C= = 3（ 2011?茂名）解答： 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a（ x 1）（ x5），把点 A （ 0， 4）代入上式得： a= ， y= （ x 1）（ x5） = x2 x+4= （ x3） 2 ，抛物线的对称轴是： x=3；（ 2）P 点坐标为：（ 6，4），由题意可知以 A 、 O、 M 、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4 、 OM=3 ，又点 P 的坐标中 x5， MP2，AP2；以 1、 2、 3、 4 为边或以 2、 3、4、 5 为边都不符合题意，四条边的长只能是 3、4、 5、 6 的一种情况，在 RtAOM 中， AM= = =5，第6页（共

12、 11页）抛物线对称轴过点 M ，在抛物线 x 5 的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5，即 PM=5 ，此时点 P 横坐标为 6，即 AP=6 ；故以 A 、 O、 M 、P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数 3、 4、 5、6 成立，即 P（ 6， 4）；（ 3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（ t， t2 t+4 ）（ 0t 5），过点 N 作 NG y 轴交 AC 于 G；作 AM NG 于 M ，由点 A （ 0， 4）和点 C（ 5， 0）可求出直线 AC 的解析式为： y= x+4；

13、把 x=t 代入得： y= t+4 ，则 G（t， t+4 ），此时： NG= x+4（ t 2t+4） = t2+4t， AM+CF=CO ， S ACN=S ANG+SCGN= AM NG+ NG CF= NG ?OC= （22t +4t） 5= 2t+10t= 2（ t ）2+ ，当 t= 时， CAN 面积的最大值为 ，由 t= ，得： y= t2 t+4= 3， N（ ， 3）4（ 2012?黔西南州）解答： 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a（ x 1）（ x5），将点 A （ 0， 4）代入上式解得： a= ，第7页（共 11页）即可得函数解析式为： y= （ x

14、 1）（ x 5） = x2 x+4= （x 3） 2 ，故抛物线的对称轴是： x=3；（ 2）P 点坐标为：（ 6，4），由题意可知以 A 、 O、 M 、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4 、 OM=3 ，又点 P 的坐标中 x5， MP2，AP2；以 1、 2、 3、 4 为边或以 2、 3、4、 5 为边都不符合题意，四条边的长只能是 3、4、 5、 6 的一种情况，在 RtAOM 中， AM=5，抛物线对称轴过点 M ，在抛物线 x 5 的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5，即 PM=5 ，此时点 P 横坐标为6，即 AP=6 ；故以 A 、 O、 M 、P 为顶点的

15、四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、 4、 5、6 成立，即 P（ 6， 4）；（ 3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点N，使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（ t， t2t+4 ）（ 0t 5），过点 N 作 NG y 轴交 AC 于 G，作 AM NG 于 M ，由点 A （ 0， 4）和点 C（ 5， 0）可求出直线AC 的解析式为： y= x+4；把 x=t 代入 y= x+4 ，则可得 G（ t，t+4），此时： NG= x+4（ t 2t+4） = t2+4t， AM+CE=CO ，22 S ACN=S ANG+SCGN= AM NG+ NG CE

16、= NG?OC= （ t+4t） 5= 2t +10t= 2（ t ）2+ ，当 t= 时， CAN 面积的最大值为 ，由 t= ，得： y= t2 t+4= 3， N（ ， 3）第8页（共 11页）5（ 2013?新疆）解答： 解：（1）抛物线2y=ax +bx+3 经过点 A （ 1， 0），点 C（4， 3），解得，所以，抛物线的解析式为y=x 24x+3 ；（ 2）点 A 、 B 关于对称轴对称，点 D 为 AC 与对称轴的交点时 BCD 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b （ k0），则 ，解得 ，所以，直线 AC 的解析式为 y=x 1， y=x 2 4x+3= （

17、x 2） 2 1，抛物线的对称轴为直线 x=2 ，当 x=2 时， y=2 1=1，抛物线对称轴上存在点 D （2， 1），使 BCD 的周长最小；（ 3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=x+m ，联立 ，消掉 y 得， x25x+3 m=0， =（ 5） 2 41（ 3m） =0 ，即 m= 时，点 E 到 AC 的距离最大， ACE 的面积 最大，此时 x= ， y= = ，点 E 的坐标为（ ， ），第9页（共 11页）设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F（ ， 0），AF= 1= ，直线 AC 的解析式为 y=x 1， CAB=45 ，点 F 到 AC 的

18、距离为 AF ?sin45= = ，又 AC= =3 ， ACE 的最大面积 = 3 = ，此时 E 点坐标为（ ， ）6（ 2009?江津区）2解答： 解：（1）将 A （ 1， 0）， B（ 3， 0）代 y= x +bx+c 中得（2 分）（3 分）抛物线解析式为： y= x2 2x+3；（ 4 分）（ 2）存在（ 5 分）理由如下：由题知 A 、 B 两点关于抛物线的对称轴 x= 1 对称直线 BC 与 x= 1 的交点即为 Q 点，此时 AQC 周长最小 y= x2 2x+3 C 的坐标为：（ 0，3）直线 BC 解析式为： y=x+3 （ 6 分）Q 点坐标即为解得 Q（ 1， 2

19、）；（ 7 分）（ 3）存在（ 8 分）理由如下：设 P 点（ x， x2 2x+3 ）（ 3 x 0） SBPC=S 四边形 BPCO SBOC=S 四边形 BPCO若 S 四边形 BPCO 有最大值，则 SBPC 就最大， S 四边形 BPCO=SBPE+S 直角梯形 PEOC（ 9 分）= BE ?PE+ OE（PE+OC ）第 10 页（共 11 页）= （ x+3 ）（ x2 2x+3 ） + （ x）（ x2 2x+3+3 ）=当 x= 时， S 四边形 BPCO 最大值 = SBPC 最大 =（10 分）当 x= 时， x22x+3=点 P 坐标为（ ， ）（ 11 分）7 解答：解：（1）根据题意得： ，解得： a=1， b=2， c= 3，2抛物线解析式为 y=x +2x 3（ 2）令 y=0 ，则 x2+2x3=0 ，解得 x=1 或 x= 3， AB=4 ， PAB 得面积为 10，设 P 的纵坐标为 h， AB |h|=10， |h|=5，224， y=x +2x 3=（x+1 ）顶点坐标为（ 1，4）， P 的纵坐标不能为5， h=5，代入得 5=x2+2x 3，解得 x=2， x= 4；点 P 的坐标为（ 2， 5），（ 4， 5）第 11 页（共 11 页）