用反例进行教学举例.docx

1、用反例进行教学举例用反例进行教学举例摘要：要断定一个命题的正确性必须经过严密的推断论证，而要否定一个命题，只需举出一个与结论矛盾的例子即可，这种与命题相矛盾的例子称为反例。反例大体上可分为三种：基本形式反例、条件改变型反例以及关于充分条件与必要条件假言判断的反例。在数学的发展历史中，反例和证明同样重要。一个数学真命题往往需要严密的证明，而假命题则靠反例加以鉴别。通过构造反例来判断一个命题的真假，进而引导学生巩固知识、纠正错误以达到教学的效果，这样的一种教学叫做反例教学。反例教学是在逆向思维的引导下，突破思维惯性反方面进行思考、研究来达到教学效果的一种特殊教学方式。 关键词：反例、推断论证、命题

2、、纠正错误本人在主授九年级点和圆的位置关系时，采用了先给出一个问题：“同一个平面上的三个点能确定一个圆”这种说法正确吗？为什么？提示引导学生要做出一个圆，必须要有圆和半径，才能画圆。一部分学生通过分析与思考后，在草稿纸上用尺子与圆规作图，一些学生在纸上任意点出三个点，连成一个三角形，然后做出这个三角形三条边的垂直平分线，得出交点后，把它作为圆心，再以圆心到任意一个顶点的距离为半径，画出圆。很多学生说，三个点能确定一个圆，我做出来啦！我说，是吗？有不同的意见的吗？教室里一片沉默。我再提示，有没有发现三个点做不出一个圆的情况？大家只需举出一个与结论矛盾的例子即可。同学们经过不断的尝试，终于有两位学

3、生发现，当三个点在同一条直线上时，做出的圆只通过两个点，无法经过第三个点。他们说：老师，是否应该这样说，当三个点不在同一条直线上时，这三个点能确定一个圆；当三个点在同一条直线上时，不能确定一个圆。非常好，教室里一片掌声！如何解释这个问题呢，再让同学们思考。学生通过认真地分析，得出结论：当三个点在在同一条直线上时，无法构造一个三角形，因此也无法确定圆心与半径，所以不能确定一个圆。所以，这种说法不一定正确。专家学者说：“要断定一个命题的正确性必须经过严密的推断论证，而要否定一个命题，只需举出一个与结论矛盾的例子即可，一个数学真命题往往需要严密的证明，而假命题则靠反例加以鉴别，通过构造反例来判断一个

4、命题的真假，进而引导学生巩固知识、纠正错误以达到教学的效果。”本人通过这样的反例教学，让学生不断地尝试，在动手操作中思考，引导学生逆向思维，自己探究出结论，突破思维惯性反方面进行思考、研究，达到了很好的教学效果。题复习教学片段课堂练习:已知一元二次方程（c-b）x+2（b-a）x+a-b=0有两个相等的实数根。其中a，b，c是三角形ABC的三边长，试判断三角形ABC的形状，并说明理由。（学生思考并作答，巡视后让学生上黑板板书）林琳：解：由已知条件得： =2（b-a）-4（c-a）（a-b）=0 整理得：（a-b）（a-c）=0 a=b,或a=c a=b=c 三角形ABC是等边三角形师：同学们的

5、解答过程和黑板上的一样吗？生：一样，不一样。师：我听到有异义的声音，李刚，你上来把你的解题过程板书出来。李刚：解：由已知条件得： =2（b-a）-4（c-a）（a-b）=0 整理得：（a-b）（a-c）=0 a=b,或a=c 方程为一元二次方程 c-b0 a=b 三角形ABC是等腰三角形师：请同学们认真分析两位同学的解题过程，哪个正确，错误的并指出错误的原因。生：第一种忽略了当b=c时，不满足一元二次方程的定义。师：回答得很好，林琳，你可以详细解释一下你的过程错在哪了吗？林琳:对于我的解题过程，我可以举一个反例就可以否定我下的结论是错误的。 即，当b=c时，原来的一元二次方程（c-b）x+2（

6、b-a）x+a-b=0 变成一元一次方程2（b-a）x+a-b=0就不符合题目的要求了。而错误的原因就是刚刚同学们所说的，忽略了一元二次方程的定义了师：回答得很圆满，通过这道题，我们知道了，对于某些解题过程，我们可以用反例来证明其正确性，而且也加深了我们对一元二次方程定义的理解。师：趁热打铁,再练一题.已知关于x的一元二次方程mx-3x+1=0有两个不等的实数根,求m的取值范围.练习检验结果：全班同学都考虑到一元二次方程的定义，达到预期的教学效果。分析：1、 通过运用反例教学，帮助学生理解和掌握数学概念。可以进一步使学生对所学概念的反思，引起矛盾冲突，促进学生积极思考，在矛盾冲突中使学生对所学

7、概念的认识得到完善，从而达到深刻理解和掌握概念。2、 恰当分析反例，帮助学生发现问题，纠正错误。每一次纠正错误的分析过程，其实也是一次成功的反例研究，对学生的进步有很大的推动作用。比如“趁热打铁”所做的练习，能及时，有效的巩固了所学的新知识，达到了教学效果。3、 通过概念的学习，也教会了学生在学习一个新的定理、性质时，要注意的问题，因为他们往往会忽略其中的重要或关键词语，从而造成解题上的错误，为了克服这一现象，恰当引入反例，可以帮助学生记忆这些关键词语，从而达到掌握定理、性质，并能理解性的加以运用。总之，在数学教学中，适时的引进一些反例或适当的引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃

8、，帮助他们理解数学概念，巩固和掌握定理，公式和法则，纠正一些习惯错误，对学生思维缜密性的培养有着重要的作用。反例教学法实质上是指教师呈现少数例题，引导学生进行批判的一种教学方法。1、 反例必须从教学实践中来，真实、生动。如果是教师自己编写的也必须符合客观实际。 如：判断命题的对错: 答：错，举反例： 2、反例必须精炼。选择反例的数量不能多，运用反例的目的是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质，只需要选择那些高质量的少数典型反例。因为反例教学法是使教师和学生借助分析少数有代表性的反例，从而获得整体性、全面性的知识的方法，从而把握概念的本质特征。 例如：判断命题的对错，若不对请举出反例。（1）相等的

9、角是对顶角。解：错。反例1：两直线平行，同位角相等。相等的角可是同位角。反例2：两直线平行，内错角相等。相等的角可是内错角。反例3：平面内两个任意角，如图： 这两个角都是30，一定相等，却不是对顶角。 反例4：全等三角形对应角相等。相等的角可是全等三角形对应角。反例5：相似三角形对应角相等。相等的角可是相似三角形对应角。但教师点评时，反例3易懂，而反例1、反例2简单，易于答题，学生也易根据知识的迁移而想到。根据选择反例的数量不能多，学生能列举一个就OK啦！ 3、反例必须典型。反例要能代表概念性质对象的特点，倘若随手拈来几个反例，则其意义和教育价值就有局限性，典型的反例可以是综合知识量大的部分，

10、也可以是概念、知识点的某个性质。 例如：能证明三角形全等的是（ ）A有三个角相等 B有两个角和一条边对应相等C有两条边和一个角对应相等 D有一个边对应相等的两个等腰三角形全等做这种选择题，用反例最好，能举出一个反例就说明该命题错了。A有三个角相等的两个三角形全等。反例如下：如下这两个三角形三个角对应相等，明显它们不全等。也可举反例，同一个三角板，内外两三角形三个角对应相等，明显它们不全等。C有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 反例：如图：AB=AB BC=BD A=A明显ABD 与ABC不全等。D有一个边对应相等的两个等腰三角形全等。反例：如图：下面两等腰三角形，腰都相等，而这两个三角形

11、不全等。4、反例必须有针对性。应该针对所讲的教学内容和教学实际和学生的接受能力来选择和编排反例。 例如：判断命题的对错，若不对请举出反例。（1） 相等的角是对顶角。上面，我列了5种不同反例，实际上反例4、反例5，根据教学内容和教学实际和学生的接受能力，对于七年级的学生来说，教师点评是毫无意义的，学生也不可能想到。 5、反例必须具有系统性。在教学中选用的反例应该相互联系，由简单到复杂，分层次地有序地编排，反例整体排列结构的合理化能发挥反例教学法的最大教育。例如：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角都相等的圆内接多边形呢？如果不是，举出反例。本题不仅反映了知识的相互联系，也反映了概念的特点。与

12、上面的第2点的把握概念的本质特征，和第3点的概念、知识点的某个性质，相吻合。 通过我的教学，思考所收获的结论如下： 反例教学法重视具有典型意义的教学内容，教学思路由特殊到一般，借助于精选的题材，培养学生主动学习、发现问题的独特思考能力，发展学生的创造力，其意义存在于以下几个方面。 1、能丰富和加深学生对抽象数学理论的理解，对数学概念、性质、定理有比较清晰的认识。教师运用的反例必须由简单到复杂，同时具有典型、形象、直观等特点，给人以身临其境的感觉，易于学习、理解，通过反例能加强学生的感知印象，有利于学生将所学知识内化。 2、能发展学生的综合分析能力和创造力。每个反例都有核心部分和枝节部分，要引导

13、学生排除枝节部分的干扰，重点把握反例的核心部分。核心部分与概念性质有密切关系，但这种对应关系不是一一对应的简单联系，有时一个反例对应着三四个基本概念、性质。学生需要综合运用数学知识来分析反例中蕴藏的知识点，也需要从反例的线索引申开去，创造性地认识反例所反映的一般情形，独立地发表自己的见解。 3、能激发学生积极的情感。讲解那些精选的反例，往往能引起学生内心的共鸣，加之教师绘声绘色的讲授与学生的积极参与，就更能提高学生的认识，激励其学习的上进的欲望，并使认识与体验相结合，形成学好数学的坚定信念。 4、能实现教学相长。在教学中，教师不仅是讲授者和组织者，而且是讨论中的一员，学生的思维如果都活跃起来，

14、他们在思考问题的深度和广度上往往会超越教师，使教师和学生之间相互学习成为可能。学生在学习一个新的定理或性质时，往往会忽略定理或性质中的关键词语，从而造成解 题的错误。为了克服这一现象，恰当引入反例，可以帮助学生记忆这些关键词语，从而达到掌握定理和性质，并能理解性的加以应用。 例如，在教学三角形全等的识别方法：“有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等” 时，学生习惯性的忽略夹角中的“夹”字，而误记为“有两边和一个角对应相等的两个三角形全等”。于是教师可以出示如下的反例： 如图，BC=BC，并且AB=AB，A=A，但ABC和ABC显然是不全等的。这样的反例可以使学生理解此定理中夹角中的“夹”的

15、深刻含义，达到准确掌握和运用定理的目的。在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们理解数学概念、巩固和掌握定理、公式和法则，纠正一些习惯性错误，全面正确的培养思维的创新性。初中数学运用反例教学的案例分析反例教学在我的教学中我常用到，通过反例对学生所犯错误加以剖析,让学生从分析中认识产生错误的原因,这对他们准确、深刻理解概念、定理、公式,培养他们分析问题、解决问题的能力,激发他们的学习兴趣,会有很大的帮助.同时，反例对巩固和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。在中学数学教学中，反例

16、的试举已成为提高教学质量的重要的一环。另一方面，“反例教学”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的，它不仅有助于对学生纵向思维能力的培养，对其横向思维能力的培养和发展尤其具有不可缺少的作用。一个数学问题，用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧，所以，在中学数学教学中可以有意识地构造反例来解决实际问题，让学生从中领会神奇功效，从而使他们切实有效地掌握数学知识，提高数学能力。例如，要想说明：“如ab,那a=b论不成立，只要举出一个相反例子驳倒它就行了。当a=19,b=19时。例如在讲授实数一节时，我曾安排了这样一个思考题：两个无理数的和是否一定是无理数？学生们马上举出几个反例如与-；

17、它们的和都等于零是有理数。这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数。 总之,数学反例是数学课堂教学中一个调节器,在数学教学中,适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例,往往能使学生在认识上产生质的飞跃,帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则,培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性、深刻性、创新性和全面性。例如：我在教学正多边形和圆时，设计一个问题：各边相等的圆内接多边形一定是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么，如果不是，举反例说明。学生们都知道：各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形。为了加深学生对正多边形的一些性质的理解，我从反面进行巩固。显然，各边相等的圆内

18、接多边形的各角也相等，它是正多边形，各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如矩形等。又如：我在讲授实数时，判断：两个无理数的和一定是无理数。学生们马上做出判断，并举出几个反例如与-；根号2与负根号2，它们的和都等于零是有理数。这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数，这样的反例有无数个。在此基础上，我进一步地问：两个无理数的积一定是无理数吗？通过对这些问题作更多更深入的一些研究，这不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系。引导学生举反例，使学生敢于和善于发现问题或提出问题，提高学生的思维能力。 例教学设计能及时发现学生的学习问

19、题，可以及时纠正错误，明辨是非，深化数学概念，从而培养学生严密的逻辑思维能力。例如：在教不等式性质的章节内容时，我发现部分同学对定义、定理等认识模糊，运用中时常出错。原因是学生对条件结论密切相关的重要性认识不足，理解不深，只是记结论，为此，在教学设计中我有目的，有意识地让学生在定义中找出关键字，变换定理（或命题）的条件或结论，让学生根据实际判断，对不成立的让他们举出反例，使学生在议论中加深理解，学会灵活应用。又如，在教学“单项式”这个概念时，可以举这样一道例题：和都是单项式，这句话对吗？问题一举出后，学生就展开讨论，有学生说，是单项式，不是单项式；有的学生说，只有是单项式，其余两个都不是；还有

20、的学生说，这句话是对的。于是教师可引导学生分析理解“单项式”概念中，“数”与“字母”是积，而不是商。而可以改写为，仍是数与字母的“积”，符合概念要求，所以是单项式；是数与字母的商，所以不是单项式。从而使学生们找到了正确的答案，也深刻理解和掌握了这个概念。学生在学习一个新的定理或性质时，往往会忽略定理或性质中的关键词语，从而造成解题的错误。为了克服这一现象，恰当引入反例，可以帮助学生记忆这些关键词语，从而达到掌握定理和性质，并能理解性的加以应用。例如，在教学三角形全等的识别方法：“有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”时，学生习惯性的忽略夹角中的“夹”字，而误记为“有两边和一个角对应相等的

21、两个三角形全等”。于是教师可以出示如下的反例：如图，BC=BC，并且AB=AB，A=A，但ABC和ABC显然是不全等的。这样的反例可以使学生理解此定理中夹角中的“夹”的深刻含义，达到准确掌握和运用定理的目的。可见在反例教学设计议论时要做到：一要给予权利，鼓励学生主动发问，多提问题，特别是多提一些不同于别人意见的见解；鼓励学生向教师大胆质疑，甚至指出教师讲课过程中存在的缺点和错误。二要创设问题情境，设计富有启发性、思考性的问题。三要给予时间空间，启发学生独立提出问题，分析问题，解决问题，让他们有充分的自由思维的空间和解答疑问的时间。四不断地激励学生质疑、探索、允许学生犯错误，对学生中不成熟或错误

22、的见解要加以引导，不要压抑、讽刺或嘲笑；对学生中新颖独特的想法要及时肯定。反例教学设计能及时发现学生的学习问题，可以及时纠正错误，明辨是非，深化数学概念，从而培养学生严密的逻辑思维能力。例如：在教不等式性质的章节内容时，我发现部分同学对定义、定理等认识模糊，运用中时常出错。原因是学生对条件结论密切相关的重要性认识不足，理解不深，只是记结论，为此，在教学设计中我有目的，有意识地让学生在定义中找出关键字，变换定理（或命题）的条件或结论，让学生根据实际判断，对不成立的让他们举出反例，使学生在议论中加深理解，学会灵活应用。又如，在教学“单项式”这个概念时，可以举这样一道例题：和都是单项式，这句话对吗？

23、问题一举出后，学生就展开讨论，有学生说，是单项式，不是单项式；有的学生说，只有是单项式，其余两个都不是；还有的学生说，这句话是对的。于是教师可引导学生分析理解“单项式”概念中，“数”与“字母”是积，而不是商。而可以改写为，仍是数与字母的“积”，符合概念要求，所以是单项式；是数与字母的商，所以不是单项式。从而使学生们找到了正确的答案，也深刻理解和掌握了这个概念。学生在学习一个新的定理或性质时，往往会忽略定理或性质中的关键词语，从而造成解题的错误。为了克服这一现象，恰当引入反例，可以帮助学生记忆这些关键词语，从而达到掌握定理和性质，并能理解性的加以应用。例如，在教学三角形全等的识别方法：“有两边和

24、它们的夹角对应相等的两个三角形全等”时，学生习惯性的忽略夹角中的“夹”字，而误记为“有两边和一个角对应相等的两个三角形全等”。于是教师可以出示如下的反例：如图，BC=BC，并且AB=AB，A=A，但ABC和ABC显然是不全等的。这样的反例可以使学生理解此定理中夹角中的“夹”的深刻含义，达到准确掌握和运用定理的目的。可见在反例教学设计议论时要做到：一要给予权利，鼓励学生主动发问，多提问题，特别是多提一些不同于别人意见的见解；鼓励学生向教师大胆质疑，甚至指出教师讲课过程中存在的缺点和错误。二要创设问题情境，设计富有启发性、思考性的问题。三要给予时间空间，启发学生独立提出问题，分析问题，解决问题，让

25、他们有充分的自由思维的空间和解答疑问的时间。四不断地激励学生质疑、探索、允许学生犯错误，对学生中不成熟或错误的见解要加以引导，不要压抑、讽刺或嘲笑；对学生中新颖独特的想法要及时肯定。我在上命题这个内容时，我事先要求每位同学准备好自己想好的命题，然后开课时，我提问，课堂气氛很活跃，同学们都能够举出两个或更多的命题。命题的内容也是五花八门，同学们都纷纷举手回答，在同学们的回答中，里面的命题有真假之分，真命题要证明，而一个命题是假命题时则只要举个反例即可。例如：哥哥年纪总比弟弟大，这一命题是真命题。可是，有个学生说此命题是假命题，我就让他来说明理由，请他举反例，他说的是一个产妇产一对双胞胎，正好在轮

26、船上，哥哥在日界线之西出生，弟弟在日界线之东出生，弟弟要比哥哥大一天，这个问题很有趣。他一刚说完，课堂上就爆出了激烈的掌声。两个二次根式的和是否一定是二次根式？学生们马上举出几个反例如根号2与-根号2；它们的和都等于零。这些反例的共同特征是：互为相反数的两二次根式和为零。 在此问题的基础上，教师可以进一步地追问：两个二次根式的积是否一定是二次根式？ 通过对这些问题作更多更深入的一些研究，这不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对二次根式概念的理解。 这一事例说明教师在日常教学中，可经常选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护

27、、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动，从而提高学生的思维能力。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构建不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。例如在讲授实数一节时，我曾安排了这样一个思考题：两个无理数的和是否一定是无理数？学生们马上举出几个反例如与-；它们的和都等于零是有理数。这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数。在此问题的基础上，教师可以进一步地追问：两个无理数

28、的积是否一定是无理数？两个有理数的和或者积是否一定是有理数？一个无理数与一个有理数的和是否一定是无理数？一个无理数与一个有理数的积是否一定是无理数？通过对这些问题作更多更深入的一些研究，这不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系。这一事例说明教师在日常教学中，可经常选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动，从而提高学生的思维能力。在教学时，反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的知识结构逐层深入地进行，把某些难度较大的问题

29、分解为一些小的梯度题。对于反例的列举，学生最容易想到的办法的就是代入几个特殊的数值进行计算。对于这一题，假如从第一个自然数0开始代入验证，我们发现结论是正确的，以后继续代数，一直到10结论也都是正确的。学生往往还没有代到10就已认为结论是正确的了。在此，常用的构造反例的特殊值法却行不通了，因此反例构建的过程其实也是学生多角度思考问题的一个过程，注重反例教学的适当的引入不但能使学生发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，从而提高思维的全面性。反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。在上述反例的探索过程中

30、，学生在新的问题情景中，能享受到创造的乐趣，从而能激发起学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力，培养学生思维的创新性。反例教学还是培养学生发散思维的很好的一种教学方式。在学完正多边形以后，学生们都知道了正多边形的一些性质，例如：正多边形的所有的边都相等，所有的内角都相等。为了加深对这一性质的理解，教师可以从反面进行巩固。判断：（1）所有边都相等的多边形一定是正多边形，（2）所有角都相等的多边形一定是正多边形。（1）和（2）都是错误的，例如菱形和矩形。这两个反例学生都比较容易能想到。但是，除此之外，还有没有其余的反例呢？教师还可以做进一步的提问。显然这时难度就增加了。其实，所有边都相等的多

31、边形都是正多边形的反例有无数多个，例如我们可以先做一个正多边形（不是正三角形），利用这些正多边形具有的不稳定性，它们的内角在变化的过程中就会出现边都保持相等，但是角度却会出现不等的情形。对于所有角都相等的多边形是正多边形的反例，其实也是有无数反例不是仅凭“小聪明”就可以得到的。它需要经过一系列严格的逻辑推理才能获得。所以要顺利的获得反例，首先要有扎实的基础知识。仅有基础知识是不够的，还需要掌握恰当的方法。我把寻找反例的思路按着手点不同分成两种：一是从命题的题设入手研究；二是从命题的结论开始寻找。在具体探寻反例的过程中,离不开研究数学的一些基本方法：实验、特殊化、运动变化等。下面就举一个例子从两种不同的思路来谈谈获得反例的思维过程。在学习平行四边形时，会遇上这样一个假命题：有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形（命题）。怎样去寻找它的反例呢？很多同学在寻找反例时，一般都从条件入手：试着去画一个满足条件，但非平行四边形的四边形。可是都没有成功。如图2，画一个四边形ABCD，使A=C，但是否能使四边形的一组对边相等，不能确定。其实这个