华师大版九年级下 27证明 全章节教案.docx

1、华师大版九年级下 27证明 全章节教案教学内容证明的再认识(1)课型新授课课时1执教初三数学组教学目标知识技能目标1进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法；2进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式；3能证明三角形内角和定理及推论过程性目标通过三角形内角和定理及推论的证明，体会证明的必要性，注意证明的格式，知道每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰教学重点进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法能证明三角形内角和定理及推论教学难点掌握证明的书写格式教具准备 投影仪，胶片教学过程教师活动学生活动（一）情境导入1任意画一个四边形，分别用度量和剪拼的方法，

2、求出该四边形的内角和的大小你能说说理由吗？2下列图中的线段和线段的长度是否相等？用尺度量结果是否与你感觉一样？学生自主探究,并跃跃欲试,来量一量，发现与自己的的感觉有有偏差(二)归纳总结1探索几何图形的性质时，常常采用看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜等方法得出结论，并在实验操作中对结论作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法但有时视觉上的错觉会误导我们，凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确，所以我们要学习用逻辑推理的方法（既证明）去探索图形的性质2逻辑推理需要依据，依据包括公理，等式与不等式的有关性质以及等量代换，定理公理：(1)一条直线截两条平行直线所得的

3、同位角相等；(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；(4)全等三角形的对应边、对应角相等定理：在公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面明白证明的必要性师生共同回忆书中的有关性质以及等量代换，定理、公理，并明白证明的书写方法步骤。（三）实践与探索例1用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度已知：ABC.求证：A+B+C=180分析回忆以前将三个内角拼

4、在一起，发现三角形的三个内角的和等于180，因此要设法将三个内角移在一个平角上，任作一个三角形ABC，延长AB到D，得平角ABD，过点B作BEAC，由平行线的性质把三个内角拼到点B处得：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度说明 (1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线，辅助线常画成虚线；(2)该定理的推理形式：因为 ABC，所以A+B+C=180（三角形内角和定理）；(3)该定理可以作为进一步推理的依据利用三角形内角和定理，请同学们用逻辑推理的方法来说明（a）四边形内角和等于360（b）n边形的内角和等于（n-2）180例2如图，ABC中，ABC的角平分线BD和ACB的角平分线

5、CE相交于点O，且A=80，求BOC的度数。分析在ABC中，已知A的度数，利用三角形内角和定理，求ABC与ACB的和，又因为BD，CE分别平分ABC与ACB可得1与2的和，在BOC中由三角形内角和定理可求BOC的度数师生共同分析，从180入手，考虑有几种不同的证法。搞清辅助线的含义及画法并明白定理的推理形式学生自主探究，应用三角形内角和解题。（四）小结与作业小结：(1)探索几何图形性质的两种方法不是孤立的，实践为我们作出猜想提供了材料，推理证明为猜想的真实性提供保证；(2)逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等；(3)注意证明的格式，每一步推理都必须有依据

6、，证明的表述必须条理清晰各抒己见，并互相补充。(五)板书设计教学内容证明的再认识(2)课型新授课课时2执教毛中初三数学组教学目标知识技能目标1掌握推理证明的方法与步骤，培养言之有据的思维习惯；2用所学过的公理，定理，定义进行逻辑推理过程性目标在推理过程中体会公理与定理，定理与定理之间的逻辑关系，熟练掌握证明的书写格式教学重点通过画图得出二次函数特点教学难点识图能力的培养教具准备 投影仪，胶片教学过程教师活动学生活动（一）情境导入我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于180度，同学们能否以这个定理为依据，来证明三角形的外角性质？哪位同学来说说三角形的外角具有什么性质？求证：三角形的一个

7、外角等于和它不相邻的两个内角的和已知：如图，CBD是ABC的一个外角求证：CBDA+C学生先思考三角形的外角性质，再画图证明。(二)探究归纳我们已经学习了许多图形的性质，有些就是逻辑推理的最原始的依据公理，还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的，如：全等三角形的判定公理：边角边、角边角、边边边除这些方法以外，同学们还有什么方法判断三角形全等？（角角边）我们一起来证明命题：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等已知：ABC和 ABC中，AA，BB，BCBC求证：ABC ABC弄清真命题的分类，并画图证明其中之一：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(二)实践与

8、探索1例1如图，D是ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EBEC，ABEACE求证：AEBAEC 例2如图，已知点A，C分别是线段BE、BD上的一点，连结AC，EC，AD求证：CAD+ACE+B+D+E180说明1换一个角度看，还可把5个角集中转移到平角BAE处；2变式：移动点A和点C的位置，可得一个五角星，求A+B+C+D+E的度数学生独立分析弄清解法，尽量用多种方法解题。根据180，考虑如何转化为三角形的内角和。学生独立完成。（三）交流反思，作业1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的，但仅仅通过观察和实验是不够的，必须要通过证明得到；2.在推理过程中，不能只根据问题的某种相似性，

9、生搬硬套，要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题师生共同总结。（四）板书设计（五）教后记教学内容用推理方法研究三角形(1)课型新授课课时3执教毛中初三数学组教学目标知识技能目标1掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力教学重点1掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题教学难点在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力教具准备 投影仪，胶片教

10、学过程教师活动学生活动（一）情境导入请同学们按以下步骤画ABC1任意画线段BC；2以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角BC，角的两边交于点A 这个ABC是一个什么三角形？怎么知道ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到ABAC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边同学们是否想过，为什么当ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题学生自主画图,回忆识别等腰三角形的方法,并试图证明.二、探究归纳1求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等已知：如图，在ABC中，BC求证：ABAC分析要证明ABAC

11、，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画BAC的平分线AD等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” 说明(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形(2)推理形式：因为在ABC中，BC（已知）所以ABAC（等角对等边）师生共同研究文字命题的证明方法,独立写出已知、求证、并证明。思考多种语法，这三线合一的理解打下基础。2同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用

12、逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质先试着画出图形，写出已知，求证求证：等腰三角形的两个底角相等已知：ABC中，ABAC求证：BC分析仍可通过画BAC的平分线AD来构造全等三角形等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角” ）推理形式：因为ABC中，ABAC（已知）所以BC（等边对等角）说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；(2)由BADCAD，可进一步推得BDCD，BDACDA90，因此AD也是中线，是BC边上的高线等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一” ）回忆学过的等腰三角形性质，并独立证明。多种语法，发散思

13、维。理解识记。（三）实践与探索例如图，ABC中，ABAC，E是AC上一点，A2EBC求证：BEAC分析由已知条件A2EBC，联想到作A的平分线AD，则CADEBC，且ADBC，所以EBCCCADC90，即BEAC师生共同研究。（四）小结与作业1等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等，角相等的重要依据2在研究有关等腰三角形的有关问题时，作顶角的平分线（既底边上的高，中线）是最常见的辅助线，可用“三线合一”的性质平行线也是常用的辅助线，可以转移角或线段的位置作业各抒己见，并互相补充。（五）板书设计教学内容用推理方法研究三角形(1)课型新授课课时4执教毛中初三数学组教学目标知识技能目标1掌握并

14、会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力教学重点1掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题教学难点在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力教具准备 投影仪，胶片教学过程教师活动学生活动（一）情境导入请同学们按以下步骤画ABC1任意画线段BC；2以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角BC，角的两边交于点A 这个ABC是一个什么三角形？怎么知道ABC是一个等腰三

15、角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到ABAC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边同学们是否想过，为什么当ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题学生自主画图,回忆识别等腰三角形的方法,并试图证明.二、探究归纳1求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等已知：如图，在ABC中，BC求证：ABAC分析要证明ABAC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画BAC的平分线AD等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边

16、” 说明(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形(2)推理形式：因为在ABC中，BC（已知）所以ABAC（等角对等边）师生共同研究文字命题的证明方法,独立写出已知、求证、并证明。思考多种语法，这三线合一的理解打下基础。2同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质先试着画出图形，写出已知，求证求证：等腰三角形的两个底角相等已知：ABC中，ABAC求证：BC分析仍可通过画BAC的平分线AD来构造全等三角形等腰三角形的性质

17、定理：等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角” ）推理形式：因为ABC中，ABAC（已知）所以BC（等边对等角）说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；(2)由BADCAD，可进一步推得BDCD，BDACDA90，因此AD也是中线，是BC边上的高线等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一” ）回忆学过的等腰三角形性质，并独立证明。多种语法，发散思维。理解识记。（三）实践与探索例如图，ABC中，ABAC，E是AC上一点，A2EBC求证：BEAC分析由已知条件A2EBC，联想到作A的平分线AD，则CADEBC，且ADBC，所以EBCCCAD

18、C90，即BEAC师生共同研究。（四）小结与作业1等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等，角相等的重要依据2在研究有关等腰三角形的有关问题时，作顶角的平分线（既底边上的高，中线）是最常见的辅助线，可用“三线合一”的性质平行线也是常用的辅助线，可以转移角或线段的位置作业各抒己见，并互相补充。（五）板书设计教学内容用推理方法研究三角形(3)课型新授课课时5执教毛中初三数学组教学目标知识技能目标1.掌握角平分线的性质定理及判定定理，并能用逻辑推理的方法证明；2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点；3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等过程性目标：能体会到角平分线的性质

19、定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力教学重点目标1、2、3教学难点能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力教具准备 投影仪，胶片教学过程教师活动学生活动（一）情境导入在半透明纸上画AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为点D和点E沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PDPE，由此，我们得到了角平分线的性质请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质学生自主探究,画图,实验(二)实践与探索11.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，

20、老师及时补充已知：OC是AOB平分线，点P是OC上任意一点，PDOA，PEOB，点D、E为垂足求证：PDPE分析只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题已知：如图，QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上分析要证点Q在AOB的平分线上，即QO是AOB的平分线，画射线OQ，只要证AOQBOQ，利用HL证明DOQEOQ，得AOQBOQ角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上

21、用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质定理与角平分线判定定理。(三)实践与探索2我们知道，任意三角形的三条角平分线交于一点现在我们就可以依据角平分线的定理来证明这一事实分析要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上 如图，已知AD、BE是ABC的两条角平分线，AD、BE交于点O，CF平分ACB求证：点O在CF上说明1.根据角平分线的性质，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等；2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心（内切圆的圆心）例 如图，已知BEAC，CDAB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且12求证：OBOC分析 要证明OBOC，只要

22、证明OBDOCE，可利用角平分线及垂线的条件得ODOE 师生共同研究该问题的证明方法，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上学生独立思考完成证明。（四）小结与作业1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据，不必通过全等三角形可简化证明；2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反，要注意两者应用是的区别；3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等作业：1、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F求证：点F在DAE的平分线上2如图，已知RtABC中，C90，ACBC，BAC的平分线交BC于

23、点D求证：ABCD+AC各抒己见，并互相补充。（五）板书设计 教学内容用推理方法研究三角形(3)课型新授课课时6执教毛中初三数学组教学目标知识技能目标1.掌握角平分线的性质定理及判定定理，并能用逻辑推理的方法证明；2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点；3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等过程性目标：能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力教学重点目标1、2、3教学难点能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力教具准备 投影仪，胶片教学过程教师活动学生活动（一）情境导入在半透明纸上画AOB

24、及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为点D和点E沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PDPE，由此，我们得到了角平分线的性质请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质学生自主探究,画图,实验(二)实践与探索11.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充已知：OC是AOB平分线，点P是OC上任意一点，PDOA，PEOB，点D、E为垂足求证：PDPE分析只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等2.反过来，如果一个点到一个角两边的

25、距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题已知：如图，QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上分析要证点Q在AOB的平分线上，即QO是AOB的平分线，画射线OQ，只要证AOQBOQ，利用HL证明DOQEOQ，得AOQBOQ角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质定理与角平分线判定定理。(三)实践与探索2我们知道，任意三角形的三条角平分线交于一点现在我们就可以依据角平分线的定理来证明这一事实分析要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上

26、如图，已知AD、BE是ABC的两条角平分线，AD、BE交于点O，CF平分ACB求证：点O在CF上说明1.根据角平分线的性质，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等；2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心（内切圆的圆心）例 如图，已知BEAC，CDAB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且12求证：OBOC分析 要证明OBOC，只要证明OBDOCE，可利用角平分线及垂线的条件得ODOE 师生共同研究该问题的证明方法，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上学生独立思考完成证明。（四）小结与作业1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角

27、相等的重要依据，不必通过全等三角形可简化证明；2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反，要注意两者应用是的区别；3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等作业：1、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F求证：点F在DAE的平分线上2如图，已知RtABC中，C90，ACBC，BAC的平分线交BC于点D求证：ABCD+AC各抒己见，并互相补充。（五）板书设计 教学内容用推理方法研究三角形(5)课型新授课课时7执教毛中初三数学组教学目标知识技能目标1.正确理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，能正确判断命题的真假；2.会证明勾股定理的逆定理

28、，能熟练运用勾股定理及其逆定理进行推理、计算过程性目标1.能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力；2.在证明及运用线段的垂直平分线的定理的过程中，体会两个定理条件与结论之间的变化，进一步提高分析问题、解决问题的能力教学重点知识技能目标中的1、2教学难点过程性目标中的1、2教具准备 投影仪，胶片教学过程教师活动学生活动（一）情境导入前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？学生回忆前面学习的有关定理,自主探究, 观察这些命题的题设与结论,发现特点.(二)实践与探索11命题“两直线平行，内