《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8平面几何.docx

1、高校自主招生考试数学真题分类解析之8平面几何专题之8、平面几何一、选择题.1、(2009年复旦大学)一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k1(k1),则这个菱形的一个等于A.arctan(k)B.arctan C.arctanD.arctan2、(2009年复旦大学)用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠),有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙?A.2种B.3种C.4种D.5种3、(2012年复旦大学)设S是平面上的一个六边形,不是凸的,且它的任意3个顶点都不共线,称一个以S的某些顶点为顶点的多边形为一个S多边形,则下面的结果一定不对的是A.每个S四边形都是凸四边形 B.存在S五边形

2、为凸五边形 C.每个S五边形都不是凸五边形 D.至少有两个S四边形是凸四边形4、(2011年同济大学等九校联考)如图,ABC内接于O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交O于G,F,交O在A点处的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为5、(2010年清华大学等五校联考)如图,ABC的两条高线AD,BE交于H,其外接圆圆心为O,过O作OF垂直BC于F,OH与AF相交于G,则OFG与GHA面积之比为A.14B.13C.25D.126、(2012年清华大学等七校联考)已知锐角ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE,CD交于H,

3、连接DE,以DE为直径画圆,与AC交于另一点F,则AF的长为A.8B.9C.10D.11二、解答题.7、(2009年华中科技大学)由图1,得4(ab)+c2=(a+b)2,可推得勾股定理a2+b2=c2.则由图2,可得一个类似于的等式: .从而推得一个重要的三角公式: .8、(2009年中国科技大学)如图所示,已知D、E、F分别为BC、AC、AB的三等分点,并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若SABC=1,试求SPQR.9、(2012年同济大学等九校联考)如图,AB是圆O的直径,CDAB于H,且AB=10,CD=8,DE=4,EF是圆的切线,BF交HD于G.(1)求GH;(2)连接

4、FD,判断FD与AB的关系,并加以证明.10、(2009年北京大学)如图,圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径.11、(2010年北京大学等三校联考)A,B为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB最长为.12、(2011年北京大学等十三校联考)在ABC中,a+b2c,求证:C60.13、(2011年北京大学等十三校联考)已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5,一条对角线长是6,求另一条对角线长.14、(2012年北京大学等十一校联考)求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.A1A4A5A6都是凸四边形,故选项D正确;如图,选项C正确.4.B【解

5、析】因为ACPF,所以HAC=APE,又PA是O的切线,可得HAC=B,故APE=B,又因为PEA=BED,所以BEDPEA,故=,因为PE=3,ED=2,BE=AE,所以BE=AE=,再由相交弦定理可得GEEF=BE2,故GE=2,得PG=1,最后由切割线定理可得PA2=PGPF,知PA=.故选B.5.A【解析】观察到OFG与GHA相似,只要找到这两个三角形的边长之比,就可以求出其面积之比.因为O点为ABC的外心,OFBC,所以F是BC边的中点,故AF是BC边上的中线,由欧拉定理可知OH和AF的交点G为ABC的重心,所以FGGA=12,又OFGHAG,故两三角形面积之比为14.选A.6.B【

6、解析】方法一如图,7.用面积分割的方法考虑各部分面积之和等于整个图形的面积.四个三角形的面积的和为2(nsin )(ncos )+2(msin )(mcos ),中间平行四边形的面积为mnsin(+)=mnsin(+),而整个图形的面积为(nsin +msin )(ncos +mcos ),2(nsin )(ncos )+2(msin )(mcos )+mnsin(+)=(nsin +msin )(ncos +mcos ),整理上式有sin(+)=sin cos +cos sin .8.过E作BC的平行线,交AD于S.10.11.以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x轴,建立如图所

7、示的平面直角坐标系.(1)如图1,当A,B中有一点位于P点时,知另一点位于R1或者R2时有最大值|PR1|;当有一点位于O点时,|AB|max=|OP|AB|).不妨设A位于线段OR2上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使|AB|最大的B点必位于线段PQ上,且当B从P向Q移动时,|AB|先减小后增大,于是|AB|max=|AP|或|AQ|.对于线段PQ上任意一点B,都有|BR2|BA|.于是|AB|max=|R2P|=|R2Q|.由(1)(2)知|AB|max=|R2P|.下面研究正五边形对角线的长.如图3,12.【解析】论证角的范围往往是通过先论证该角的某个三角函数值的范围

8、后,再结合相应函数的单调性进行的.本题是在三角形中解决问题,并且已知了三角形的三条边之间的关系,因此可考虑利用余弦定理先确定cos C的范围,再根据余弦函数的单调性证得结论.13.因为平行四边形中的各边长度是已知的,因此可考虑利用三角形的余弦定理进行求解.如图,不妨设AB=5,AD=3,BD=6.在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD22ABADcosBAD;在ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC22BABCcosABC,由于AD=BC,AB=BA,ABC+DAB=,故两式相加得AC2+BD2=2(AB2+AD2),于是62+AC2=2(52+32),解得AC=4,即另一条对角线长为4.14.方法一如图1所示,五边形ABCDE为O内接五边形,延长AE,CD,DC,AB,有两交点G,H,连接AC.因为AED=EDC,所以GED=GDE,所以GE=GD.因为A,C,D,E在O上,所以CAG=GDE,GCA=GED,所以CAG=GCA,故GA=GC,可得AE=CD.连接AD,同理可得AB=CD,从而AE=AB=CD.同样延长BC,ED,BA,DE,可证得BA=BC=DE,所以AB=BC=CD=DE=EA,从而可得五边形ABCDE为正五边形.方法二如图2所示,