剪力图和弯矩图1基础.docx

1、剪力图和弯矩图1基础剪力图和弯矩图1(基础) x轴，。 以表 (a) C (c) (b) （1） （2） （3） l (4) 以剪力图是平行于x轴的直线。AC段的剪力为正，故剪力图在x轴上方；BC段剪力为负，故剪力图在x轴之下，如图8-12(b)所示。 由式（2）与式（4）可知，弯矩都是x的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点 x?0，M(x)?0 Fab l x?a， x?l，M(x)?0 M(x)? 由这三点分别作出AC段与BC段的弯矩图，如图8-12(c)。 例8-4 简支梁AB受集度为q的均布载荷作用，如图8-13(a)所示，作此梁的剪力图和弯矩图。 图8-1

2、3 解 （1）求支反力 由载荷及支反力的对称性可知两个支反力相等，即 FA?FB? （2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端A为坐标原点，选取坐标系如图所示。距原点为x的任意横截面上的剪力和弯矩分别为 ql2 ql?qx2 0xl (1) xql1M(x)?FAx?qx?x?qx2 222 0xl (2) FQ(x)?FA?qx? （3）作剪力图和弯矩图 由式（1）可知，剪力图是一条斜直线，确定其上两点后即可绘出此梁的剪力图（图8-13b）。由式（2）可知，弯矩图为二次抛物线，要多确定曲线上的几点，才能画出这条曲线。例如 通过这几点作梁的弯矩图，如图8-13(c)所示。 由剪力图和弯矩图可以看出

3、，在两个支座内侧的横截面上剪力为最大值：FQmax?ql2。 1Mmax?ql2 8，而在此截面上剪力FQ?0。 在梁跨度中点横截面上弯矩最大 例8-5 图8-14所示简支梁，跨度为l，在C截面受一集中力偶m作用。试列出梁的 FQ(x)M(x)AB剪力方程和弯矩方程，并绘出梁的剪力图和弯矩图。 图8-14 解 （1）求支反力 由静力平衡方程?MA(x)?0，?MB(x)?0得 FA?FB? （2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力m作用在C处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以C为界，分两段列出内力方程 ml m l 0xa (1) AC段 m M(x)?FAx?x l 0xa (2) FQ(x

4、)?FA? m l axl (3) BC段 m M(x)?FAx?m?x?m l axl (4) FQ(x)?FA? （3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b)；由式（2）（4） 画出弯矩图，见图8-14(c)。 二、 弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系 F(x)F(x) 在例8-4中，若将M(x)的表达式对x取导数，就得到剪力Q。若再将Q的表达式对x取导数，则得到载荷集度q。这里所得到的结果，并不是偶然的。实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般情况出发加以论证。 图8-15 设图8-15(a)所示简支梁，受载荷作用，其中有载荷集度

5、为q(x)的分布载荷。q(x)是x的连续函数，规定向上为正，选取坐标系如图所示。若用坐标为x和x?dx的两个相邻横截面，从梁中取出长为dx的一段来研究，由于dx是微量，微段上的载荷集度q(x)可视为均布载荷，见图8-15(b) 。 F(x)M(x)，在坐标为x?dx的横截面上的内力 设坐标为x的横截面上的内力为Q和 为FQ(x)?dFQ(x)和M(x)?dM(x)。假设这些内力均为正值，且在dx微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处于平衡。根据平衡条件?Fy?0，得 FQ(x)?FQ(x)?dFQ(x)?q(x)dx?0 dFQ(x) 由此导出 dx?q(x) （8-1） M?0

6、设坐标为x?dx截面与梁轴线交点为C，由?C，得 略去二阶微量M(x)?dM(x)?M(x)?FQ(x)dx?q(x)dxdx?02 q(x)dxdx2，可得 dM(x)?FQ(x) dx （8-2） 将式（8-2）对x求一阶导数，并利用式（8-1），得 d2M(x)?q(x)2 dx （8-3） F(x)M(x)之间的微分关系。公式（8-1）（8-3）就是载荷集度q(x)、剪力Q和弯矩 它表示： （1）横截面的剪力对x的一阶导数，等于梁在该截面的载荷集度，即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。 （2）横截面的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力，即弯矩图上某点切线的斜率等

7、于该点相应横截面上的剪力。 （3）横截面的弯矩对x的二阶导数，等于梁在该截面的载荷集度q(x)。由此表明弯矩图 d2M(x)?q(x)2q(x)q(x)dx的变化形式与载荷集度的正负值有关。若方向向下（负值），即 0，弯矩图为向上凸曲线；反之，q(x)方向向上（正值），则弯矩图为向下凸曲线。 根据微分关系，还可以看出剪力和弯矩有以下规律： dFQ(x)?q(x)?0F(x)?q(x)?0dx （1） 梁的某一段内无载荷作用，即，由可知，Q常量。 dM(x)?FQ(x)?0FQ(x)?0M(x)?常量，x 若，剪力图为沿轴的直线，并由dx可知， 弯矩图为平行于x轴的直线。 FQ(x)x若等于常数

8、，剪力图为平行于轴的直线，弯矩图为向上或向下倾斜的直线。 F(x) （2）梁的某一段内有均布载荷作用，即q(x)等于常数，则剪力Q是x的一次函数， M(x)是x的二次函数。剪力图为斜直线；若q(x)为正值，斜线向上倾斜；若q(x)负弯矩 d2M(x)?q(x)2q(x)dx值，斜线向下倾斜。弯矩图为二次抛物线，当为正值，即0时，弯矩 d2M(x)?q(x)2q(x)图为下凸曲线；当为负值，即dx0时，弯矩图为上凸曲线。 （3）在集中力偶作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于该集中力的数值。此处弯矩图由于切线斜率突变而发生转折。 （4）在集中力偶作用处，剪力图不受影响，而弯矩图发生突变，突变的

9、绝对值等于该集中力偶的数值。 （3）根据上表，由左至右逐段画出剪力图，如图8-16(b) 所示；画出弯矩图，如图8-17(c) F?3kNMmax? 3kN?m所示，可见Qmax，。 例8-7 外伸梁及其所受载荷如图8-17(a)所示，试作梁的剪力图和弯矩图。 图8-17 解 按照前述使用的方法作剪力图和弯矩图时，应分段列出剪力方程及弯矩方程，然后按方程作图。现利用本节所得结论，可以不列方程而直接作图。 （1）求支反力 由?MA(F)?0和?MB(F)?0可求得 FA?7kN，FB?5kN （2）分段 沿集中力作用线、均布载荷的始末端以及集中力偶所在位置进行分段。现将AE梁分为AC、CD、DB

10、、BE四段。 （3） 作剪力图 AC段 在支反力FA的右侧梁截面上，剪力为7kN。截面A到截面C之间的载荷为均 F布载荷，即qAC?常数。剪力图为斜直线。算出集中力F1左侧梁截面上剪力QC左 FQC左?FA?q?AC?(7?4?1)kN?3kN 即可确定这条斜直线，见图8-17(b)。 CD段 截面C处有一集中力F1，剪力图发生突变，变化的数值等于F1。故 FQC右?FQC左?F1?(3?2)kN?1kN 从C到D剪力图又为斜直线，知 FQD左?FQD右?FQC右?q?CD?(1?4?1)kN?3kN DB段 截面D与截面B之间梁上无载荷，剪力图为水平线。 BE段 截面B与截面E之间剪力图也为

11、水平线，算出截面B右侧截面上的 2kN，即可画出这一水平线。 （4） 作弯矩图 AC段 截面A上弯矩为零。从A到C梁上为均布载荷，且均布载荷向下，则弯矩图为上凸的抛物线。算出截面C的弯矩为 FQB右? 已知A点、C点弯矩以及抛物线为上凸，即可大致画出AC段的弯矩图。 CD段 由受力特性可知，从C到D弯矩图为上凸的另一抛物线。截面C的剪力突变，11MC?FA?AC?q?AC?AC?(7?4?1?4?4)kN?m?20kN?m22 故弯矩图在C点斜率也突变。在截面F上的剪力等于零，故F点为弯矩的极值点。由CD段的剪力方程可计算出F至梁左端距离为5m，故可求出截面F上弯矩的极值为 11MF?FA?A

12、F?F1?CF?q?AF?AF?(7?5?2?1?1?5?5)kN?m?20.5kN?m22 M在集中力偶M0左侧截面上弯矩D左为 11MD左?FA?AD?F1?CD?q?AD?AD?（7?8?2?4?1?8?8）kN?m?16kN?m22 CCFD左D已知、及等三个截面上的弯矩，即可连成到之间的抛物线。 DB段和BE段 截面D上有一集中力偶，弯矩图突变，而且变化的数值等于M0?10kN?m。所以在D右侧截面上MD右为 MD右?MD左?M0?（16?10）kN?m?6kN?m B截面上的弯矩MB为 MB?F2?BE?2?3kN?m?6kN?m M由于DB段的剪力图为水平直线，于是由D右和MB就

13、确定了这条直线。B到E之间弯 矩图也是斜直线，由于ME?0，故可画出图示斜直线。 FQ?7kNmax 从所得的剪力图（图8-17b）和弯矩图（图8-17c）上，不难确定最大剪力， Mmax?20.5kN?m最大弯矩。 F?0Mmax要注意的是：不但可能发生在Q的截面上，也有可能发生在集中力或集中 力偶作用处。所以求弯矩的最大值 Mmax时，应综合考虑上述几种可能性。 先假设M求为某一方向，（一般我是假设为逆时针，书上好像是把逆时针方向规定为正方向），然后对该分离体（或研究对象）列弯矩平衡方程（当然必须是在分离体弯矩平衡情况下）：M总=0。 即MA+MB+MC+M求=0。（注意对于MA、MB、M

14、C，如果是逆时针的取正值，顺时针取负值。），此时如果球出的M求为正值，则它就是逆时针的，如果是负值，那它的方向与假设方向是相反的，是顺时针。 也可以把所有顺时针的弯矩全取正值放在等号左边相加，把所有逆时针的也取正值但放在等号右边相加（其实跟上面是一样的，也是得假设M求为某一方向）列平衡方程。 那还不简单，不同X对应不同的弯矩了，要看X等于多少了。 不知道你的是不是结构构件上的弯矩，结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正，反之为负。 我不知道你的原题是什么样的，X表示的是什么。 如果X表示的是位置坐标，那么M求=AX2+BX+C表示的是构件上的弯矩分布函数，不同位置对应不同的

15、弯矩，也就是说构件上弯矩有的地方正有的地方负，凡是求出是正值的就与假设方向或默认方向相同，反之相反。 如果X表示的是某个构件的长度，也是一样判方法。 还有一个可能是你所算的是一种动态情况，就是某个东西在动，导致弯矩是个变量，也是一样的。 总之一句话，要看X值的情况。 最好把原题放上来，这样更有针对性。 你的应该是结构力学方面的，结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正，反之为负。所以假设时应假设成如图方向。 弯矩图都是画在受拉一侧的，所以凡是出现正值的区域就把弯矩图画在上面，出现负值的就画在下面，过度地带就是为0的地方。 强调一下，假设没有什么对或错的，M求>0对应的X

16、处弯矩跟假设的方向就是相同的，正的，M求<0对应的X范围处弯矩方向就是跟假设相反，无论假设方向怎么样求出的弯矩都是一样的。 、 一般规定 梁的哪侧纤维受拉就画在哪侧的 一般规定下侧受拉为正弯矩。 建筑力学中弯矩剪力图方向 悬赏分：30 - 解决时间：2010-2-2 11:27 我不知道画上边还是下边左边还是右边，希望举个简支梁的例子详细说明说的明了给加分 你把梁想象成柔性的，梁的变形和图像要一致！即往哪儿变形画那边！比如，简支梁上面作用一集中力，画下面。如果作用一力偶，1，力偶顺时针时，左边上，右边下；2力偶逆时针时，相反。如果作用均布力，也画下面。（如图） 1. 剪力图上某处的斜率等

17、于梁在该处的分布载荷集度 2. 弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。 。 3. 弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度。 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。例如： 1. 若某段梁上无分布载荷，即 轴的直线；而弯矩 2. 若某段梁上的分布载荷 力图为斜直线；而 当（为为，则该段梁的剪力为常量，剪力图为平行于 的一次函数，弯矩图为斜直线。 （常量），则该段梁的剪力为的一次函数，剪坐标中，的二次函数，弯矩图为抛物线。在本书规定的（向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。 3. 若某截面的剪力，根据，该截面的弯矩为极值。 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： 1. 求支座反力； 2. 分段确定剪力图和弯矩图的形状； 3. 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； 4. 确定 和 . .