高数复习知识点.docx

1、高数复习知识点高等数学上册知识点、函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） ；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点； （重点）函数 f （x）在 X。连续 V A lim （） （）T； 0f X f X X X0c第一类：左右极限均存在间断点 可去间断点、跳跃间断点I第二类：左右极限、至少有一个不存在无穷间断点、振荡间断点（重点）、5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理介值定理及其推论（二） 极限1、 定义1）数列极限

2、= u z lim x an n0, NGN V - | , n N , x an2）函数极限= u Pz 3 6 V -Tlim f ( x) A0,0, x, 0 x x f ( x)X X0当 时，0 A第1页共12页2、1)1) yn左极限： f ( x 0 ) = lim f ( x)x xT 0lim f ( x) Ax r x0极限存在准则夹逼准则: Xn Zn存在no)右极限:2)limylimnnlim2)单调有界准则:3、单调有界数列必有极限a =无穷小（大）量1）0则称为无穷小量；若2）Th1Th24、lim+ T定义：若 lima B B = a + a无穷小的阶：高阶

3、无穷小、同阶无穷小、等价无穷小0lim则称为无穷大量.p *o(); a、P k阶无穷小,lim 存在，则limlim（无穷小代换）求极限的方法单调有界准则;夹逼准则;极限运算准则及函数连续性;两个重要极限:T（重点）sin xa) limb)5） 无穷小代换:0 )(重点)x 0lim (lim(1a) x sin x tan x arcsin x arctan x 第 2 页 共 12 页b)1 cos1 1 2 3 4 5x2(a1 x In a )c)d)ln( 1x)(log(1ax)e)(1x)In a导数与微分导数函数f （ x）在Xo点可导()X0第 3 页 共 12 页与 x

4、无关.(xo ) dxf (b)7）对数求导法.（重点）5、 高阶导数2d y d dy 1)定义：2dx dx dxn( )(n)二三 k ( k ) ( n- k )2) Leib niz 公式： uv C nu vk 一0(二)微分1)定义： y f ( xo x) f ( xo ) A x o( x)，其中 A _ F 2) 可微与可导的关系：可微 可导，且dy f(X。)x f三、 微分中值定理与导数的应用(一)中值定理1、 Rolle定理：(重点) 若函数f (x)满足：1) f ( x) Ca, b ； 2 ) f ( x) D ( a,b) ； 3 ) f (a)贝U ( a,

5、 b),使 f ( ) 0 .2、 Lagrange中值定理：若函数 f ( x)满足：1) f ( x) C a, b ; 2 ) f ( x) D ( a,b);贝9 (a, b),使 f (b) f (a) f ( )( b a).3、 Cauchy中值定理：若函数 f ( x), F ( x )满足：1) f ( x), F ( x) Ca, b ; 2 ) f ( x), F ( x ) D (a, b) ; 3) F ( x)f (b ) f (a )F (b ) F ( a )(二)洛必达法则(重点)Taylor公式(不考)(四)单调性及极值1、单调性判别法：(重点)f (x)

6、C a, b，f(X) D(a,b),则若f ( x) 0，a)b)c)d)e)则f (x)单调增加；则若 f ( X) o，则极值及其判定定理:必要条件:第一充分条件:%.则若当X点；若当X值点；若在第二充分条则若f占八、f ( x)单调减少f ( X)在Xo可导，若Xo为f ( X)的极值点，(重点)f ( x)在Xo的邻域内可导，且Xo 时，f ( x)Xo 时，f ( X) r1、变上限积分：设P(x)()f t dtP(x)f ( x)推广:)f (t)dt(x)(x)dxN L公式：若F ( x)为换元法和分部积分*a（重点）1、换元法：（x dx)udvvdu 2、分部积分法:（

7、四）反常积分1、无穷积分:at atdxlim1(x)t皿a1blim1(x)f (x)dxtdx-bef ( x)dxf (x)dxf ( x)dx瑕积分:(x)(x) ( x)的一个原函数，Q *uvbf ( x ) dxaF(b) F(a )t t)d a(x) dxbba f ()lim( x ) dx（ a 为瑕点）ax dxf tbt ata f ()dxlim( ) (b 为瑕点）uxf x dxt ba第 8 页 共 12页两个重要的反常积分:1)dx i papJa XP P 1dx平面图形的面积y =1、直角坐标:(X ) ： f ( X ) dx/ i/ 1（重点）y =

8、 jx)r *b xPcpa)d2、极坐标：A第 9 页 共 12 页（二）体积1、旋转体体积：（重点）a）曲边梯形y f （ x ）, x a , x b , x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积:3、极坐标：s七、微分方程（一）概念第 10 页 共 12 页1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数2、 解：使微分方程成为恒等式的函数通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同特解：确定了通解中的任意常数后得到的解(二)变量可分离的方程 (重点)()()，两边积分g ( y)dyf ( x)dxy d

9、y fx dx齐次型方程dyydydu()，设u ，则uxdxxxdxdx= dxxxdxdv或()，设v ，则vydyyydydy(4) 一阶线性微分方程 (重点)dyP ( x) y Q ( x) -J - fdxP ( X ) dx P ( x) dx用常数变易法或用公式： y eQ x e dx C()(5)可降阶的高阶微分方程 I 口 1、(n )yf ( x)，两边积分n次；2、yf ( x, y )(不显含有y)，令yp，则yp ；3、yf ( y , y )(不显含有x)，令yp ,则ydp pdy(6)线性微分方程解的结构第 11 页 共 12 页1、 yi , y是齐次线性

10、方程的解，则 Ci yi C 2目2也是；22、 yi , y 2是齐次线性方程的线性无关的特解，则 Ci yi C 2 y2是方程的通解;、y 为非齐次方程的通解，其中 yi , y2为对应齐次方程的Ci y C y yi 2 2线性无关的解，y非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程 （重点）f f t+ + =二阶常系数齐次线性方程： y py qy 0+ + = 2 pr qr =，特征根： ri ,2= +征方程： = 0l +特征根 0=a 通 +解 pr x r x实根r ir2pyC e ii2Ce2r xrir 22y(C Cix ) e2x r ie (Cix )iycos x C 2 sin,2（八）常系数非齐次线性微分方程y pyqyf ( x)i、f ( x)ex (重点)P ( x)ma0 )+0,入不是特征根*设特解yxke Q x 其中x()mk 1,入是一个单根2,入是重根x ( ) cos()sin2、 f xeP x xP xxCO*(1)( 2)k x ( ) cos( ) sin设特解 yx e R xxR x xmm0,i不是特征根k 其中m max l, n ，1,i是特征根ln1） 导数定义；（重点）2） 基本公式；3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则） ；（重点）5） 隐函数求导数；（重点）6）参数方程求导；（重点）