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1、第八章电子教案第八章 二元一次方程组 （一） 本章学习目标1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系、设未知数、列方程组、解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型。2.了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系3.了解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a,y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法-代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法5.通过探究实际

2、问题，进一步认识利用二（三）元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力（二）本章知识结构框图（三）课时安排本章教学时间大约需12课时，分配如下8.1 二元一次方程组 约1课时8.2 消元解二元一次方程组 约4课时8.3 实际问题与一次方程组 约3课时8.4 三元一次方程组 约2课时数学活动小结 约2课时8.1 二元一次方程组（一 课 时）教学目标：知识与技能 1、使学生了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明一次方程及其中的已知数和未知数； 2、使学生理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一值是不

3、是某个二元一次方程组的解。过程与方法 学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性。情感、态度与价值观通过对二元一次方程（组）的概念的学习，感受数学与生活的联系，感受数学的乐趣教学重点： 二元一次方程（组）的含义及检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解，用一个未知数表示另一个未知数教学难点： 二元一次方程组的解的含义及用一个未知数表示另一个未知数教学过程：一 创设问题情景1二元一次方程及二元一次方程组 章引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负分别是多少？二 探究新知问题1 依据章引言的问题如

4、何列一元一次方程？解：设胜x场，则负（10x）场. 2x+（10x）=16.问题2能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变的容易呢？解：设这个队胜场为x，负场为y. 问题3这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？ 归纳：像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 问题4引言中的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10和2x+y=16把两个方程合在一起，写成 就组成了一个方程组这个方程组含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？ 含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫

5、做二元一次方程组 2二元一次方程、二元一次方程组的解问题5满足方程，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中. xy追问1如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？追问2上表中哪对x，y的值还满足方程？ x=6，x=4还满足方程也就是说，它是方程与方程x=6的公共解，记作 y=4追问3你是如何理解“公共解”的？ 一般地，组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 追问4章引言中问题的解是什么？这个队在10场比赛中胜6场、负4场 3.巩固练习 三课堂小结 回顾本节课的学习过程，回答以下问题：（1）举例说明二元一次方程、二元一次方程组的概念. （2）举

6、例说明二元一次方程、二元一次方程组的解的概念. 四布置作业 教科书 习题8.1 第1、2、3、4题 8.2 消元解二元一次方程组 （第 一 课 时）教学目标:知识与技能:使学生学会用代入消元法解二元一次方程组。 过程与方法:理解解代入消元法的基本思想体现的化未知数为已知的化归思想。情感、态度与价值观:逐步渗透矛盾转化的唯物主意思想教学重点: 用代入消元法解二元一次方程组教学难点: 代入消元法的基本思想教学步骤教学过程一 创设问题情境问题 篮球联赛中,每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？问题1你能根据问题中的等量关系列出二元一

7、次方程组吗？解： 设胜x场，负y场 xy=10， 2xy=16 问题2这个实际问题能列一元一次方程求解吗？解：设胜x场，则负(10x)场2x+（10x）=16二 探究新知问题3对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想. 归纳 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解这种方法叫做代入消元法，简称代入法 xy=10对于二元一次方程组 2xy=16 你能写出求解X的过程吗？解： 由，得 y=10x 把代入，得 2x(10x)=16 解得 x=6问题4怎样求出y？

8、 把 x=6代入，得 y=4 x=6 这个方程组的解是 y=4答：这个队胜6场、负4场 三 应用新知 巩固提高 xy=31.用代入法解方程组 3x8y=14 练习1.用代入法解下列二元一次方程组：练习2.用代入法解下列二元一次方程组：（2） 3x4y=16 5x6y=33四 课堂小结回顾本节课的学习过程，并回答以下问题：（1）代入法解二元一次方程组大致有哪些步骤？（2）解二元一次方程组的核心思想是什么？（3）在探究解法的过程中用到了什么思想方法，你还有哪些收获？ 五 布置作业教科书 第93页练习 第2题8.2 消元解二元一次方程组 （第 二 课 时）教学目标知识与技能使学生学会用代入消元法解二

9、元一次方程组。过程与方法理解解代入消元法的基本思想体现的化未知数为已知的化归思想。情感、态度与价值观逐步渗透矛盾转化的唯物主意思想教学重点学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组教学难点进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归思想教学过程一 复习 导入新课 问题1上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，回忆一下怎样用代入消元法解二元一次方程组，一般步骤是什么？（代入法的核心思想是消元）问题2 y=4x7 你能用代入消元法解方程组 3x4y=10 解：由得二 探究新知 问题 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶

10、计算）比为25某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 问题4例2中有哪些等量关系？答：等量关系包括：大瓶数小瓶数25；大瓶所装消毒液小瓶所装消毒液22.5（t） 问题5如何用二元一次方程组表示上面的两个等量关系？正确列法：5x=2y500x250y=22500000分析： （1）估算一下方程的解是自然数吗？（2）符合实际意义吗？（3）仔细审题，造成上述问题的原因是什么？Xy=25500x250y=22500000 X=20000解得 y=50000分析：（1）这个方程组是二元一次方程组吗？为什么？（2）如何得到二元一次方程组？ 问题6 请你用代入消元法

11、解上面的方程组答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶. 问题7阅读教材上的框图，你能结合框图简述例2的解题过程吗？ 三 归纳小结问题8 结合例2，请你思考列方程组解决实际问题时应注意什么？四 布置作业教科书 第93页 练习第4题8.2加减消元法解二元一次方程组 (第 三 课 时)教学目标：知识与技能：1、理解加减消元法的含义。 2、掌握用加减法解二元一次方程组。过程与方法：使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；情感态度与价值观：体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心教学重点：用“加减法“解二元一次方程组教学难点：用“加减法“解

12、二元一次方程组教学过程：一 创设问题情境 xy=10问题1我们知道，对于方程组 2xy=16可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？ 追问1代入消元法中代入的目的是什么？二 探究新知追问2这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？两个方程中的系数相等；用可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=16-10追问3这一步的依据是什么？ (等式的性质)追问4你能求出这个方程组的解吗？ x=6这个方程组的解是 y=4问题2 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 3x10y=2.8 15x10y=8 追问1此题中存在某个未知数系数相等吗？你发现未知数的

13、系数有什么新的关系？ （未知数y的系数互为相反数，由+，可消去未知数y，从而求出未知数x的值）追问2两式相加的依据是什么？(等式的性质)问题3这种解二元一次方程组的方法叫什么？有哪些主要步骤？ 当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法追问1两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等追问2加减的目的是什么？ （消元）追问3关键步骤是哪一步？依据是什么？（ 关键步骤是两个方程的两边分别相加或相减，依据是等式性质） 问

14、题4如何用加减消元法解下列二元一次方程组？ 3x4y=16 5x6y=33追问1直接加减是否可以？为什么？ 追问2能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同？ 追问3如何用加减法消去x？ 练习教科书第96页练习第1题的第(2)、(4)题三 课堂小结用加减消元法解二元一次方程组有哪些关键步骤？四 布置作业教科书 习题8.2 第3题 8.2 加减消元法解二元一次方程组（第 四 课 时）教学目标知识与技能 使学生熟练的掌握用加减消元法解二元一次方程组。过程与方法 使学生进一步理解加减消元法所体现的化归思想。情感、态度与价值观 进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型教学重点 能根据方

15、程组的特点选择合适的方法解方程组教学难点 课本中例4的数量关系复杂，是本节课的难点教学过程一 创设问题情境问题2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm21台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？二 探究新知问题1 本题的等量关系是什么？ 2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量3.6； 3台大收割机5小时的工作量+2台小收割机5小时的工作量8问题2如何设未知数？列出怎样的方程组？解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2 和y hm2 . 依题意得： 2（2x5y）=3.

16、6 5（3x2y）=8 问题3如何解这个方程组？解：化简得: 4x10y=3.6 15x10y=8 ,消y得11x=4.4 解得 x=0.4把x=0.4代入 解得 y=0.2 x=0.4 原方程组的解是 y=0.2问题4你能结合教科书上的框图，简述加减消元法解方程组的一般步骤吗？ 问题5怎样解下面的方程组？ 2xy=1.5 x2y=3 0.8x0.6y=1.3 3x2y=5追问1第一个方程组选择哪种方法更简便？第二个方程组选择哪种方法更简便？追问2我们依据什么来选择更简便的方法？解：选择代入法 由得，y=1.52x 代入，消去y，解得x=1 代入，得0.8x+0.6(1.52x)=1.3,解得

17、 y=3.5 x=1 是原方程组的解 y=3.5练习 用两种不同的方法 解方程组 x+y=35 2x+4y=94 代入法 加减法解：由得 解： 4 ，得y=35x 2x=46 将代入 得 解得 x=232x+4(35x) =94 把x=23 代入，得解得 x=23 y=12把x=23代入，得 y=12 x=23 是原方程组的解 y=12三 归纳总结 回顾本节课的学习过程，回答以下问题：（1）结合例题，谈一谈列方程组解决实际问题时应注意什么？（2）代入消元法和加减消元法有什么联系与区别？如何选择方法运算更简便？四 布置作业教科书 习题8.2 第4、5题 8.3 实际问题与二元一次方程组（第 一

18、课 时）教学目标 知识与技能1.经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型；2.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；过程与方法学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答情感、情感态度与价值观培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。教学重点 经历和体验用方程组解决实际问题的过程。教学难点用方程组刻画和解决实际问题的过程。教学过程一 创设问题情景问题 牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料9

19、40 kg饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料1820 kg，每只小牛1天约需饲料7 8 kg.你能否通过计算检验他的估计？问题1如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？二 探究新知 问题2题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？问题3如何解决这一问题？问题4请你解这个方程组，并交流一下你是如何解这个方程组的？ 问题4请你解这个方程组，并交流一下你是如何解这个方程组的？ 直接消元？ 30x15y=675 42x20y=940 解：43，得4（30x+15y）3（42x+20y）=67549403代入，得 x=20把x=20代入得 y=5 x=20所以，方程组的解是 y=5问题5饲

20、养员李大叔的估计正确吗？“探究1”小结 （1）在列方程组之前我们先做了哪些工作？（2）列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？“探究2”的教学据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？追问1本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图帮助自己理解吗？追问2 作物产量比与种植面积的比有什么关系？ 甲、乙作物产量比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的2倍的比追问3 能求出x，y吗？ xy=200 100x100y2=34让学生自己独立完成

21、解题过程三 课堂小结（1）列一元一次方程解决实际问题的一般过程是什么？（2）你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？ 能列二元一次方程组解决的实际问题，一般都可以通过列一元一次方程加以解决但是，随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂，列方程组将更加简单直接，因为问题有几个相等关系就可以列出几个方程两者相同点是都需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题（设未知数，列方程或方程组），再检验解的合理性，进而得到实际问题的解，这一过程就是建模的过程 四 布置作业教科书 习题8.3 第2、3、4、5题8.3 实际问题与二元一次方程组（第 二 课 时）教学目

22、标知识与技能1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程2.培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值过程与方法进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型情感态度与价值观培养学生勤于思考，勇于探索的精神教学重点用列表的方式分析题目中的各个量的关系教学难点借助列表分析问题中所蕴含的数量关系教学过程一 创设问题情景 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地公路运价为1. 5元/(tkm)，铁路运价为1.2元/(tkm)，这两次运输共支

23、出公路运费15 000元，铁路运费97 200元这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？问题1要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量二 探究新知问题2本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁本题涉及哪两类量呢？一类是公路运费，铁路运费，价值；另一类是产品数量，原料数量产品x吨原料y吨公路运输（元）铁路运输（元）价值（元）问题3你能完成教材上的表格吗？产品x吨原料y吨合计公路运输（元）1.520x1.51

24、0y1.5(20x+10y)铁路运输（元）1.2110x1.2110y1.2(110x+110y)价值（元）8000x1000y解：先化简，得2xy=1000 11x12y=8100 由，y=1000-2x代入 ，得 11x12(10002x)=8100 解得x=300把x=300代入得 y=400 x=300 是原方程组的解 y=400问题5这个实际问题的答案是什么？销售款：8 000300=2 400 000；原料费：1 000400=400 000；运输费：15 00097 200=112 200这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元练习：一批蔬菜要运往某批发市场，菜

25、农准备租用汽车公司的甲乙两种货车。已知过去两次租用这两种货车的记录如下表甲种货车（辆）乙种货车（辆）总量（吨）第一次4528.5第二次3627 这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元？学生自主完成练习，然后同学间交流。教师引导学生列出方程组，解答问题三 归纳总结（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？ 当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数 （2）如何更好地分析“探究3”这样数量关系比较复杂的实际问题？四 布置作业教科书 习题8.3 第5、8题 8.4三元一次方程组的解法（第 一 课 时）教学目标知识与技能掌

26、握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法过程与方法在学习解三元一次方程组的过程中感受消元转化的思想情感态度与价值观培养学生勇于探索，敢于创新的精神教学重点元一次方程组的解法教学难点三元一次方程组的解法过程中的方法选择教学过程一 复习提问（1）二元一次方程组的概念是什么？（2）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？基本方法：代入法和加减法；实质：消元二 探究新知提出问题：小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍求1元、2元和5元的纸币各多少张？分析：（1）题目中有几个未知量？（2）题目中有哪些等量关系？（3）如何用方

27、程表示这些等量关系？明确概念设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张 xyz=12 x2y5z=22 x=4y 把三个方程合在一起 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组解决问题 xyz=12 x2y5z=22 x=4y 如何解这个三元一次方程组呢？（1）二元一次方程组是如何求解的？ （2）三元一次方程组可不可以用类似的方法求解？ 对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？将分别代入、得4yyz=12 4y2y5z=22它们组成方程组5yz=12即 6y5z=22用的是什么消元方法？还有什么方法？ 让学生自己思考解决 x=8解得 y=2 y=2答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张总结提炼练习巩固解三元一次方程组 3x4z=7 2x3yz=9 5x9y7z=8三 课堂小结（1）三元一次方程组的概念是什么？（2）如何解一个三元一次方程组？ 四 布置作业教科书第106页练习 第1题第(1)小题习题8.4 第1题、第2题第(1)小题 8.4 三元一次方程组的解法（ 第 二 课 时）教学目标知识与技能熟练掌握三元一次方程组的解法，并能利用它解决问题过程与方法感受转化、消元的思想，为以后学习二次函数做准备情感态度与价值观培养学生勇于探究，乐于学习的品质教学重点