中值定理证明.docx

1、中值定理证明中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数 C,在幵区间(a,b) 内至少有一点E使得 f( E )=C(a E b).Ps:c是介于A、B之间的，结论中的E取幵区间。介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有最大 值M,最小值m,若m C M,则必存在乞 a,b, 使得f( E )=C。(闭区间上 的连续函数必取得介于最大值 M与最小值m之间的任何值。此条推论运用较多)Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导

2、函数在某个闭区间上连续， 那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就 对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变 量处函数值。2、 零点定理：设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)0, 那么在幵区间内至少存在一点E使得 f( E )=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是幵区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：(1)、在闭区间a,b上连续；(2)、在幵区间(a,b)内可导；(3) 、在区间端点处函数值相等，即 f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点E

3、 (a E b),使得f(x)=O;4、 拉格朗日中值定理：如果函数 f(x)满足：(1)、在闭区间a,b上连续；(2)、在幵区间(a,b)内可导；那么在(a,b)内至少有一点E (a E b),使得f(b)-f(a)=f( E ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数 f(x)及g(x)满足(1)、在闭区间a,b上连续；(2)、在幵区间(a,b)内可导；(3)、对任一 x(ax0) 上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式q a(2) 、证明在-a,a上至少存在一点 使得a3f( ) 3 f(x)dxa第一问课本上记住了写出来就行，考的很基

4、础(1)、f (x) f (0) f ( )x* 1 2 f(0) x f ( )x21! 2! 2!、第二问先将第一问的式子 f(x)代入看看有什么结果出来:中x2dx，f()此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与无关的数。做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求办法。题目中说道 f(x)有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。所以有: 因为f(x)有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为证明：在(0,)内至少存在两个不同点 1、 2使得f( 1) f( 2) 0本题看似很简洁，但做起来去不容易。结

5、论是证明等式成立且为 0,很容易让我们想到罗尔定理， 我们如果能找到三个点处函数值相等，那么是不是就能有些思路了呢。. x令：F(x) 0 f(t)dt,x 0, ，F(0) F( ) 0似乎只需在找出一点 F(c)=0即可。，如果一切如我们所想，证明也就完成了。 f (x) cosxdx cosxdF(x) cosx F (x) 0 sinx F (x)dx 0似乎已经找到这个点了。但是积分中值定理中，是取闭区间，如果要用的话得先 构造函数用拉格朗日中值定理来证明其在幵区间内成立。构造函数xG(x) 0sint F(t)dt,x 0,具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。证完后就得到所以有：F(0) F(c) F( ) 0,c (0,)接下来的证明就和第一题中第二小问一样了，具体就不去证明了，自己证，关键 掌握方法，思路。Ps：本题是02年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，如果对