小升初奥数行程问题典型例题doc.docx

1、小升初奥数行程问题典型例题doc小升初奥数行程问题【典型例题】 小升初内部资料行 程 问 题第 1 页 共 14 页小升初内部资料行程问题 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 2.1 基本公式 路程（和、差） = 速度（和、差）时间 时间 = 路程（和、差）速度（和、差） 速度差 = 快速 慢速 慢速 = （速度和 速度差） 2 三类基本行程问题：相遇、追及、环形跑道。 相遇的含义：如果出发时间相同，则所走的时间相同；相遇时，两方都处于同一个位置。在超过 2 人 的行程问题中，相遇就是时间和距离的等量代换点；如果一方先出发或者有一方中间停止，则这一方 还要算上先出发的时间或去掉停止的时间。

2、 2.2 相遇：速度和，对应路程和，相遇时，有公式： 路程和 = 速度和时间 2.3 时间 = 路程和速度和 速度和 = 路程和时间。 火车过桥（隧道）是长度和 速度（和、差）= 路程（和、差）时间 速度和 = 慢速 + 快速 快速 = （速度和 + 速度差） 2追及：速度差，对应路程差，相遇时，有公式： 路程差 = 速度差时间 时间=路程差速度差 速度差 = 路程差时间。2.4环形跑道的同向追及，速度差，每相遇一次，路程差 1 圈。 时间 =（圈数跑道长）速度差 速度差=（圈数跑道长）距离差= 圈数跑道长=速度差时间 时间 2.5环形跑道反向碰头，速度和，每相遇一次，路程和等于 1 圈。 时

3、间=（圈数跑道长）速度和 速度和= （圈数跑道长）距离和=圈数跑道长=速度和时间 时间 2.6再次相遇问题相当于环形跑道，跑道距离相当于 2 倍总路程 如果到对方出发点都又返回，再次相遇，与第一次相遇相比，二次相遇所走的总路程相当于环形跑道的总路程，即 2 倍总路程和 2 倍时间。再次相遇与第一次相遇相 比，共走 3 倍的总路程，花费 3 倍的总时间。以后每次相遇，总 路程等于环形跑道的距离即 2 倍总路程。规律就是 1、3、5、7 倍 的总路程（时间）时相遇。 2.7 顺水（风）或逆水（风）行程问题 2.8 （顺水速度 + 逆水速度）2 = 船速 （顺水速度 - 逆水速度）2 = 水速 即（

4、速度和 + 速度差）2 即（速度和 速度差）2错车超车问题（距离是两车车长之和） 火车错车，完全错过，相当于相遇问题，距离是 2 车的车长之和，速度为两车速度和。第 2 页 共 14 页小升初内部资料 2.9火车超车，完全超过，相当于追及问题，距离是 2 车的车长之和，速度为两车速度差。火车过桥问题：火车要全部过完桥，距离=桥长和车长。距离差 = 速度时间差 桥 1 长 + 车长 = 火车速度 过桥 1 的时间 桥 2 长 + 车长 = 火车速度 过桥 2 的时间 长度差（长的桥长 短的桥长）= 火车速度 时间差（ 过长桥时间-过短桥时间）2.10 固定频次发车问题 （追及问题的距离差就是两车

5、的间距） 两车间距：车速发车频率，当第一车追上时，与下 一个车间距正好是两车间距。 3 两车距离差 = 速度差 超越时间（频次） 3 人组合相遇时，间隔距离相同，相遇时间与速度差（和）成反比。 行程问题中经常会遇到 2 倍、一半、+1、-1 等边界问题 速度和 + 速度差 = 2 快速 速度和 速度差 = 2 慢速顺水逆水行船：顺行速度逆行速度 = 2 倍水速。顺水逆水行船：顺行速度 + 逆行速度 = 2 倍船 速。 相向而行，距离中点 x 处相遇，双方的距离差是 2x。往返程，整个距离是单程的 2 倍。 100 人的队伍，每人间距 1 米，总长为 99 米，不是 100 米，减 1 的边界问

6、题。 50 节车厢，每两节车厢接缝长 1 米，节缝总长度为 49 米，不是 50 米。涉及减 1 的边界问题。 从第一棵树开始走，走了 1000 米，每棵树间距 10 米，共经过了 101 棵树，不是 100 棵，是加 1 的边界问题。道路两边植树，每 3 米 1 颗，300 米，可种 22 棵，不是 10 棵，也不是 11 棵。4其它边界问题 三角形面积；三角三边种树； 4 4 的方形每边平均方块； 共 10 页书，读了 3 页，从第几页开始；3 到50 的自然数是 49 个数；锯木头，锯 3 下，成 4 节。切 4 刀，成 5 块。 5 6 复杂行程问题解题的关键是过程中的等量代换 比如时

7、间相同，距离相同，速度相同、地点或位置相同的代换关系。 如同时出发后相遇：时间相同；所走距离等于总距离；处于同一个位置。 往返程：往返的距离相同；出发点和终点位置相同。 行程问题总结 相遇追及环形跑，清晰绘图很重要。 路程速度与时间，和差必定对应算。 复杂在于相等换，注意边界很简单。第 3 页 共 14 页小升初内部资料行程问题 课程例题 相遇问题 1 7 A、B 两地甲、乙两车同时相向而行，A、B 相距 500km，出发后 5 小时相遇，甲车速度是 60km/h，乙 车速度是多少 km/h? 分析：关键词：同时相向 相遇 速度和 绘图8甲乙两地两车同时相向而行，甲乙相距 520km，5 小时

8、相遇，甲车比乙车快 6km/h，甲乙两车速度是多 少? 分析：关键词：同时相向 相遇 速度和 速度差练习题 9 A、B 两地甲、乙两车同时相向而行，AB 相距 500km，甲车速度是 60km/h，乙车速度是 40km/h，甲乙 两车出发后几小时相遇？10 A、B 两地甲、乙两车同时相向而行， 出发后 5 小时相遇，甲车速度是 60km/h，乙车速度是 40km/h， 甲乙两地距离是多少 km？相遇问题 2 11 小张从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙地到甲地，每小时步行 4 千米。两人同时出发，然 后在离甲、乙两地的中点 1 千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离。 分析：关键词：

9、同时 相向 中点相遇 边界问题 绘图表示12 甲乙两车分别从 A、B 两城同时相向而行，甲从 A 到 B，走完全程需 10 小时，乙车速度 80 km/h，甲 距 A 城 260km 时，乙车距 B 城 320km，AB 两城距离是多少 km？ 分析：关键词： 同时 相向 距离 速度 时间 关键点：甲走 260km 时，乙走 320km。第 4 页 共 14 页小升初内部资料13 甲乙两人同时从两地出发，相向而行，两地相距 72km，甲每小时走 5km，乙每小时走 4km，狗每小时 跑 10km，这只狗与甲一同出发，到乙的时候，掉头向甲跑，碰到甲又回头向乙跑，直到甲乙相遇，狗 共跑了多少 km

10、？ 分析：关键词： 同时 相向，相遇 时间 速度 路程 怎么计算狗跑的距离呢？练习题 14 小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要 12 分钟。他们同时出发，几分 钟后两人相遇？15 一列客车从甲站开往乙站，每小时行 65 千米，一列货车从乙站开往甲站，每小时行 60 千米，已知货 车比客车早开出 5 分，两车相遇的地点距甲乙两站中点 10 千米，甲乙两站之间的距离是_千米相遇问题 3 16 A、B 两地甲、乙两车同时相向而行， 6 小时相遇，相遇后保持原速度继续行驶，再经过 4 小时后，甲 车到 B，已知甲比比乙车快 12km/h，求甲车速度是多少? 分析：关键词

11、 相遇问题 6 小时相遇 再 4 小时全程 甲速比乙快 12 目标：甲速度17 甲乙两地客车和货车同时相向而行，客车走完全程需 10 小时，货车速度 42 km/h，3 小时后，两车行驶 的路程与剩下的路程相等，甲乙两地距离是多少 km？第 5 页 共 14 页小升初内部资料18 甲乙两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，2 若单独行完全程，甲乙各需几小时？1 2 小时后，甲车距离中点是全程 的地方与乙车相遇， 5 10相遇问题中的分段问题 19 如图，从 A 到 B 是 1 千米下坡路，从 B 到 C 是 3 千米平路，从 C 到 D 是 2.5 千米上坡路.小张和小王 步行，下坡的速度都

12、是 6 千米/小时，平路速度都是 4 千米/小时，上坡速度都是 2 千米/小时.问：（1）小张和小王分别从 A， D 同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？ （2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？相遇问题 4 20 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 299 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 40 千米，小轿车 每小时行 52 千米，问：几小时后两车第一次相距 69 千米？再过多少时间两车再次相距 69 千米？21 甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，6 小时后相遇于 C 点。如果甲车速度不变，乙车每 小时多行 5 千米，且两车还从

13、 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速 度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16 千 米.求 A，B 两地距离。22 一辆车从甲地开往乙地。如果把车速减少 10%，那么要比原定时间迟 1 小时到达，如果以原速行驶 180 千米，再把车速提高 20%，那么可比原定时间早 1 小时到达。甲、乙两地之间的距离是多少千米？第 6 页 共 14 页小升初内部资料追及问题 1 1 甲以每小时 4 千米的速度步行去某地，乙比甲晚 4 小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行 12 千米，乙几小时可以追上甲

14、？ 分析：关键词：追及距离 速度差 追上 时间2甲、乙两船从 A 港到 B 港，甲每小时行 30 千米，乙每小时行 45 千米，甲比乙早出发 4 小时，二人同 时到达 B 港，问 AB 两港相距多少千米？3A、B 两地相距 120km，甲车以每小时 40km 速度从 A 出发到 B，1 小时后，乙车从 A 出发追赶甲车， 为确保在甲车到达 B 地之前追上甲车，乙车的速度应不低于多少？追及问题 2 4 甲乙两人同时从东村出发到西村，甲速度 12km/h，乙速度为 9 km/h，甲中间有事休息 3 小时，结果比 乙晚 1 小时，求东西两村的距离是多少？5小轿车的速度比面包车速度每小时快 6 千米，

15、小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶， 小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门 9 千米，问学校到城门的 距离是多少千米？6有甲、乙二人，甲坐在汽车上发现乙步行向相反方向走去，10 秒钟后汽车停住，甲下车跑步去追，已 知甲跑步的速度是乙的 3 倍，汽车的速度比甲快 10 倍，问甲追上乙需要多少秒钟？第 7 页 共 14 页小升初内部资料7小张从家到公园，原打算每分种走 50 米。为了提早 10 分钟到，他把速度加快，每分钟走 75 米。问家 到公园多远？8两地相距 900 千米，甲车行全程需 15 小时，乙车行全程需 12 小时，甲车先出发 2 小时

16、后，乙去追甲， 问乙车要走多少千米才能追上甲车？追及问题 3 9 甲、乙练习跑步，若甲先乙让跑 10 米，则甲跑 5 秒可追上，若甲先让乙跑 2 秒钟，则甲跑 4 秒可以追 上，甲、乙两人的速度各为多少？10 某人从甲地到乙地，如果每分钟走 75 米，迟到 8 分，如果每分钟走 80 米，迟到 6 分，他应以每分钟 走_米的速度走才能准时到达11 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是 30 千米/小时，要 1 小时才能 追上；如果速度是 35 千米/小时，要 40 分钟才能追上.问自行车的速度是多少？相遇问题和追及问题的结合 12 甲、乙两辆车的速度分别为每小时 5

17、2 千米和 40 千米，它们同时从甲地出发开到乙地去，出发 6 小时， 甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 小时后，乙车也遇到了这辆卡车，求这辆卡车速度。第 8 页 共 14 页小升初内部资料13 甲、乙两人沿铁路线相向而行，速度相同一列火车从甲身边开过用了 6 秒，4 分后火车又从乙身边开 过用了 5 秒，那么从火车遇到乙开始，再过多少分甲、乙两人相遇？ 分析：火车过人时间不同，一个是追及问题 一个是相遇问题追及问题 通讯员问题 14 自行车队出发 24 分钟后，通信员骑摩托车去追他们。在距出发点 9 千米处追上了自行车队。通信员立 即回出发点，然后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点 18

18、 千米。求自行车队和摩托车的速度。 分析：绘图表示 已知：两个距离：9 间的对应。 18 一个时间：24 分钟 目标求速度 找对应 距离与时目标是速度。速度=距离时间练习题 1 上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上 了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米，这时 是几点几分？环形跑道问题 1 小明和小亮在一个圆形湖边跑步，小明每分跑 100 米，小亮每分跑 120 米，他们同时从同一地点出发， 相背而行，5 分钟相遇。湖周长是多少米？如果同时从同一地点出发，同向而行，几分钟后两人

19、相遇？2甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端如果他们同时出发，并在甲跑完 60 米 时第一次相遇，乙跑一圈还差 80 米时俩人第二次相遇，求跑道的长是多少米？第 9 页 共 14 页小升初内部资料环形跑道碰头次数问题 3 甲、乙 2 人在 90 米的直道上来回跑步，甲速度每秒 3 米，乙速度每秒 2 米，如果他们分别从两端同 时出发，当他们跑了 12 分钟，他们相遇多少次？二次相遇问题 2 甲村、乙村相距 6 千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村 后就马上返回）.在出发后 40 分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村 2 千米的地

20、方两人 第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？3小张步行从甲村到乙村去，小李骑自行车以每小时 15 千米的速度从乙村到甲村去，他们同时出发，2 小时后在途中相遇，他们分别继续前行，小李到达甲村后立即返回，在第一次相聚 40 分钟后，小李追 上小张，他们又继续前行，当小李到达乙村后又立即返回，问追上小张后，小李再行多少千米他与小 张再次相遇？4两名运动员在长为 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米，乙的速度每秒 06 米，他们 同时分别从游泳池的两端出发， 来回共游了 10 分， 如果不计转身时间， 那么这段时间内共相遇多少次？顺水逆水行程问题 5 一艘船逆水而行，6 小时行

21、108 千米，水速为每小时 4 千米。求这艘船顺水而行每小时行多少千米？第 10 页 共 14 页小升初内部资料6一条船在相距 182 千米的两岸之间行驶，顺流而下需 7 小时到达彼岸，水速是每小时 5 千米 ，这条 船在静水中每小时行多少千米？7甲、乙两港之间水路长 108 米，一条船从甲港开往乙港顺流而下 4.5 小时到达，从乙港返回甲港逆流而 上 6 行驶可到达，求船在静水中的速度和水流速度？顺水逆水问题 8 一艘快艇从甲码头顺水开往乙码头，返回时逆水需 4 小时，已知快艇顺水速度 72km/h，水速是快艇顺 水速度的1 ，甲乙码头相距多少 km？ 129一艘轮船第一次顺流航行 36 千

22、米，逆流航行 12 千米，共用 12 小时；第二次用同样的时间，顺流航行 了 12 千米，逆流航行了 20 千米求这艘轮船的静水速度及水流速度火车过桥问题 10 长 100 米的列车，以每秒 20 米的速度通过了一条座长 500 米的桥。列车通过这座桥要用多少秒？11 火车过桥问题变式：边界问题 12 同学们参加展览，30 人排成两路纵队，相邻两排间隔 0.5 米，队伍每分钟走 60 米，现在要通过一座桥， 桥长 371 米，从排头上桥到排尾离开桥，一共需要多少分钟？第 11 页 共 14 页小升初内部资料13 一列火车通过 1000 米大桥要 65 秒，同样速度通过 730 米桥要 50 秒

23、，求火车长度和速度。火车超车问题 14 一列客车车长 190 米，速度每秒 24 米；在这列客车前面有一列车长 230 米的货车，速度每秒 18 米， 两列车在并行的两条轨道上行驶。客车从后面追上并完全超过货车要用多少秒？火车错车问题 15 李云在一列时速为 60 千米的火车里，看到一辆 30 节车厢的货车迎面驶来，当车头经过时，他开始计 时，最后一节车厢驶过时，时间为 18 秒，已知货车每节车厢长 15.8 米，车厢间距 1.2 米，货车车头长 10 米。问货车的行驶速度是多少？16 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 280 米，慢车的车长是 385 米，坐在快车上的人看见慢 车驶过

24、的时间是 11 秒，那么坐在慢车上的人看见慢车驶过的时间是多少秒？17 快慢两列火车的长分别是 200 米、300 米，它们相向而行坐在慢车上的人见快车通过此人窗口的时间 是 8 秒，则坐在快车上的人见慢车通过此人窗口所用的时间是_秒第 12 页 共 14 页小升初内部资料18 某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，问该列车与另一列车长 320 米， 时速 64.8 千米的列车错车而过需要几秒？时钟追及问题 19 小刚晚上 9 点整将手表对准，可早晨 7 点起床时发现手表比标准时间慢了 15 分，那么小刚的手表每小 时慢_分20 一只闹钟，每小时慢

25、4 分钟，3：30 时此钟与标准时间对准，现在是标准时间的十点，问经过多长时间， 这只钟才能走到 10：30？21 爸爸有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 40 秒，而闹钟却比标准时间每小时慢 40 秒，那 么爸爸的手表一昼夜比标准时间差多少秒？固定频次发车追及或相遇问题 22 刘江骑自行车在一条公共汽车线路上行驶。线路的起点站和终点站间隔相同的时间发一次车，并且车 速都相同。他发现从背后每隔 12 分钟开过来一辆汽车，而迎面每隔 4 分钟有一辆汽车驶来。问汽车是 每隔多少时间发一辆车？ 分析：背后是追及问题，迎面是相遇问题 公共汽车的间距 = 车速 间隔时间 公共汽车的间距 = 4

26、（车速和刘江速度） 公共汽车的间距 = 12 （车速刘江速度） 速度和和速度差是 2 倍关系，速度是 3 倍关系，距离（车间距）相同，速度与时间成反比。行程问题的其它题型 23 两码头相距 231 千米，轮船顺水行驶这段路程需要 11 小时，逆水每小时少行 10 千米，问行驶这段路 程逆水比顺水需要多用几小时？第 13 页 共 14 页小升初内部资料行程问题转化为平均数问题 24 汽车以每小时 72 千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时 48 千米的速度返回到甲地，求该车 的平均速度。25 一辆汽车从甲地出发到 300 千米外的乙地去，在一开始的 120 千米内平均速度为每小时 40 千

27、米，要想 使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时 50 千米，剩下的路程应以什么速度行驶？ 分析：总平均为 50，时间 6 小时，已经走了 12040=3 小时，剩下路程 3 小时走完。26 甲、乙二人步行的速度相等，骑自行车的速度也相等，他们都要由 A 处到 B 处甲计划骑自行车和步 行所经过的路程相等；乙计划骑自行车和步行的时间相等谁先到达目的地？ 分析：平均速度快的先到。平均速度=总路程总时间27 甲、乙各走了一段路，甲走的路程比乙少 1/5，乙用的时间比甲多了 1/8，问甲、乙两人的速度之比是 多少？ 分析：设乙路程为 5，甲为 4，甲时间为 8，乙为 9，速度=路程时间。28 A、B 两城相距 240 千米，一辆汽车计划用 6 小时从 A 城开到 B 城，汽车行驶了一半路程，因故障在 中途停留了 30 分钟，如果按原计划到达 B 城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？ 分析：2.5 小时走一半的路程。第 14 页 共 14 页