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1、经济数学定积分习题及答案经济数学(定积分习题及答案) 定积分 习题 61 2 y x1.利用定积分的定义，计算由抛物线、直线x = a, x = b及x轴所围的图形的面积 S(0 a b). 解 将区间 a,b n等分，则每个小区间的长均为 xi b a n b ab a a (i 1),a i nn ,取小区间的右 于是第i个小区间为 b ab a2 a if( ) (a i)(i 1,2, ,n)ii n，则n端点为 i，即 a(b a)(b a)22b a Sn f( i) xi (a 2i i)2 nn ni 1i 1因为 n n 2 b a n2b an(b a)2 a 2ai n

2、i 1ni 1n2 2 i i 1 n b a 2b an(n 1)(b a)2n(n 1)(2n 1) na 2a 2 nn26n 2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1) (b a) a 2 n6n 而 2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1) limSn lim (b a) a n n n6n2 2(b a)2 (b a) a a b a 3 11 (b a)(a2 ab b2) (b3 a3)33 b213xdx (b a3). 3所以 a 2.利用定积分的定义，计算下列积分： (1) 0 1 xdx (2) 1xedx0 解 (1) 将区间 0,1

3、 n等分，则每个小区间的长均为 n xi 1 n，于是第 i 1i ii, f( ) (i 1,2, ,n) nn iix iinn，则i个小区间为, 取小区间的右端点为，即 n n 1 i11n Sn f( i) xi =2 i ni 12n2 i 1i 1nn因为 n(n 1)1 limSn lim 2n n 2 2n两端取极限，得 n 所以 0 1 xdx 12. 经济数学(定积分习题及答案) (2) 将区间0,1n等分，则每个小区间的长均为 xi 1 n，于是第i个 i 1i i n,n i , 取小区间的右端点xi为 i，即n，则 小区间为 f( i) i en(in 1,2, ,n

4、) i111 1nn1 n12 Sn f( i) xi e (e) (en) (en)n ni 1n i 1 因为 两端取极限，得 1e(e 1)n1 en 1 1en 1n n limSn lim 1n n (e 1) 1 1en lim 1en (e 1) 1n n 1en e 1 1xedx0 e 1 所以 . 2.利用定积分的几何意义，说明下列等式： (1) cosx 4 (2)dx = 0 2 3 2 (3) 2 sinxdx 02 2 (4) 2 cosx 2 2 dx=2 20 cosx dx 解 (1) 因为单位圆x y 1在第一象限的方程为 y 所以根据定积分的几何意义知故

5、x 为单位园在第一象限的面积. x 4. 2 (2) 因为 当 x 3 2时，曲线y cosx在x轴的上方和下方的 曲边梯形的面积相等.所以根据定积分的几何意义知，(3) 因为当 cosxdx 0 2 3 2 . 2 x 2时，函数y sinx在x轴上方和下方的曲边梯 形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知， sinxdx 0 2 2 . 2,2 y cosx 上为偶函数，其图形关于y轴对称且 (4) 因为 在 经济数学(定积分习题及答案) 都在x轴的上方，所以根据定积分的几何意义知， 4.将下列极限表示成定积分： 111lim( )2n 14nn n n nnn (1) 2 cosxdx

6、2 02cosxdx 2 . 1(2) n n111 214nn n n nnn 解 （1）因为 lim 1 111 1222n2 n 1 ()1 ()1 () nnn 1 i1 ()2 n 111lim( )2n 14nn n n nnn 所以 1n ni 1 lim 1111 dx20n in1 xi 11 ()2 n. n 1 y n（2） 令 1 lny ln(n 1) ln(n 2) ln(2n) lnn n 1 ln(n 1) ln(n 2) ln(2n) nlnn n 1 12n ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) n nnn n 11 ln(1 ) nn i 1 i11l

7、imln(1 ) limlnyn nn 0ln(1 x)dx i 1因为 n limy en lny y e而，所以 n limlny ln(1 x)dx e 0 1 n . 习题 62 1.确定下列定积分的符号： 经济数学(定积分习题及答案) (1) 1 2 xlnxdx (2) 40 1 cos4x dx2 sinx xcosx1 dx|x|dx (3) 0cosx xsinx (4) 1 解 (1) 因为被积函数f(x) xlnx在1,2上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等于0， 1 所以由性质6知, 2 1 xlnxdx 0. 1 cos4x 0, f(x) 2(2) 因为被积函数

8、在 4 上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等于0， 4 1 cosx4dx 0. 02所以由性质6知, sinx xcosxf(x) cosx xsinx在 0,1 上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等(3) 因为被积函数 sinx xcosx dx 0. 0cosx xsinx于0，所以由性质6知, (4) 因为被积函数f(x) |x|在-1,1上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等于0，所以由 1 性质6知 1 2.不计算定积分，比较下列各组定积分值的大小. (1) 0(3) 1 1 |x|dx 0. 与 0 1 x2dx 2 x3dx 2 (2) (4) 0 3 x2dx 4

9、与 33xdx0 1 lnxdx 与 1 ln2xdx 3 lnxdx 与 3 4 ln2xdx 232 0,1 x x x(1 x) 0，即 x2 x3 解 (1) 因为在上， 所以 1 xdx x3dx. 2 1 3 2 23 (2) 因为在 1,3 上，x x x(1 x) 0， 即 x x 2 xdx xdx 所以 . 1 2 1 3 2 (3) 因为在 1,2 上，0 lnx 1,lnx lnx lnx(1 lnx) 0 2 即 lnx lnx 所以 2 1 lnxdx ln2xdx. 1 2 2 lnx lnx lnx 1 lnx 0 3,41 lnx (4)因为在上， 2 即 l

10、nx lnx 所以 4 3 lnxdx ln2xdx. 3 4 2 1 sinx dx4 0x2 xedx2 3.估计下列积分值： (1) 1(3) 4 x 2 1dx 5 4 (2) arctanxdx (4) 经济数学(定积分习题及答案) 2 解 (1) 因为被积函数f(x) x 1在区间1,4上单调递增,所以在区间1,4上有 2 x2 1 17，即1 x 4 故由定积分的估值定理，得 6 4 1 x 2 1 dx 5 1 (2) 设被积函数f x 1 sin2x ，则由f x sin2x 0，得驻点 x 1 ,ff f 为 2x2 2,f 1, . 3 且 2 4 2, 5 3 4 2

11、即 1 1 sin2 x 2 5 故由定积分的估值定理，得 4 1 si2 nx xd 2 4 . x (3) 设被积函数f(x) xarctanx， f 因为(x) arctaxn x1 x2 ，0则f(x )在 上单调递增，x 时，f xarctanx f xarctanx即 故由定积分的估值定理，得 9 arctaxnx d 2 . 3 0x2 x(4) 因为 2 edx 2ex 2 x dx ，设被积函数f(x) e x2 x ，x 0,2 1 x) 2x 1 2 令f(x 0，得驻点为x 11 e x 4 2,且f(2) e,f(0) 1, f(2) e2 ，所以当x 0,2 时，

12、e 14 ex 2 x e2 2故由定积分的估值定理，得 2e 14 0 ex 2 x dx 2e2 即 2e2 0x2 142 exdx 2e . 4.证明下列不等式： x (1) 2 1(2) 2 1x 6 x 证 （1） 0,2 而 0 cos2 x 1 所以 当 经济数学(定积分习题及答案) 1所以 x 0, 2 2故由定积分的估值定理，得 f x f(x)在 0,1 上连续，且 （2）令 f(x) 122 f(0) f(1) ,f() x 233，且令f(x) 0，得驻点 x 1所以 2 x 0,1 11 x26 故由定积分的估值定理，得 5.求下列极限： （1）n 01 lim 1

13、 xnex ex dx 1n x lim2 （2）n 01 x dx 0,11 ex，则f(x)在 解 (1) 设被积函数 （0，1）内，至少存在一点，使得 f(x) xnex 上连续，由积分中值定理知，在区间 xnex ne dx (0,1) 01 ex1 e nx1xe ne lim x lim 0n 01 exn 1 e 故 . 1 xn 1 f(x) 1,则f(x)在 1 x 2 上连续，由积分中值定理知，在区间(2) 设被积函数 1 0,2 内，至少存在一点，使得 1 xn2x01 x n 1 () 12 故 6*. 设f(x), g(x)在a,b上连续，求证： (1) 若在a, b

14、上，f(x) 0且 a b lim 120n xn n x lim 0 n 1 1 x. f(x)dx =0，则在a, b上, f(x)0; b (2) (2) 若在a, b上, f(x) g(x) 且 a 必有 f(x) g(x) 解 （1）用反证法. f(x)dx g(x)dx a b ，则在a, b上， 经济数学(定积分习题及答案) 若f(x)不恒等于为零，则至少存在一点x0 a, b，使得f(x0) 0. 不妨假设f(x0)0，且x0 (a, b)，则由f(x)在a , b的连续性知， x x0 limf(x) f(x0) 0f(x) ，根据定理2.3得推论2知，在点x0的某个邻域内，

15、就必有 1 f(x0) 02.于是由性质4，得 a b f(x)dx x0 a f(x)dx x0 x0 f(x)dx b x0 f(x)dx 由此与已知 b x0 x0 x0 1 f(x)dx f(x0) dx f(x0) 0 x 02 b a f(x)dx 0 矛盾，反证法之假设不成立，即f(x) 0. （2）令F(x) g(x) f(x)，则在a , b上就必有F(x) 0，且 a F(x)dx 0 . 由（1）的结论可知，在a , b上就必有F(x) 0，即f(x) g(x). 7*. 设f(x)在区间a, b上连续，g(x)在区间a, b上连续且不变号，求证至少存在一点 (a, b)

16、，使得 af(x)g(x)dx f( ) ag(x)dx. 证 因为f(x)在a , b上连续，必有最大值M和最小值m，所以 x a , b，有 m f(x) M. 设g(x) 0，则有 由定积分的性质5，得 b bb mg(x) f(x)g(x) Mg(x) b b m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx a a a m 于是，有 b a f(x)g(x)dx b M a g(x)dx 又由介值定理知，在(a , b)内，必存在一点 ，使得 a b f(x)g(x)dx ag(x)dx 故 b f( ) ba b a f(x)g(x)dx f( ) g(x)dx (a,b)

17、. 习题 63 1. 1. 已知函数 y sintdt x x ，求当x = 0及 x 4时, 此函数的导数. 解 因为 y ( sinxdx) sinx 经济数学(定积分习题及答案) 所以 y|x 0 sinx|x 0 sin0 y| x 4 sinx| x 4 sin 4 2. 2. 求由决定的隐函数y（x）对x的导数. 解 将方程两边对x求导并注意到y为x得函数，得 ytx edt costdt00 0 ey y cosx 0 y 解出y，得 y ecosx. 3. 3. 当x为何值时，极小值？ 2 I(x) te tdt x2 有极值？此极值是极大值还是 x I(x) 0，I(x) 0

18、解 由I(x) xe 0，得驻点x 0，而当x 0时，当x 0时， 所以，当x 0时，I(x)有极值，此极值是极小值I(0) 0. 4. 4. 计算下列导数： dx3dx2t tx2dx (1)dx0 (2) d0 (3) 2tcost2dtdxx 2 dx t (x2) 2 解 (1) dx0 dx3(2) 2t x3) (x2) dxx 2 (3) 5. 5. 计算下列定积分： 2 2 d*-* tcostdt xcosx (x) 2xcosx.2 dx x 4 (x t)dx 1x(1) (2) 1(3) (5) dx(x2 a2) (4) 1 1 3x4 3x2 1 x 1 2 dx

19、0 5 x2 3x 2dx x (6) 0x 1dx| a b (7) 0 t(t 1)dt (8) xdx(a b) x 1(x 1) f(x) 1 2 (x 1) x 2(9) , 求 0f(x)dx. 2 2 解 (1) 1 2 4x372 (x t)dx ( 4lnx tx) 4ln2 t x331 . 经济数学(定积分习题及答案) xd()dx11a(2) 0x2 a2a01 (x)2a a 1 ( 0) . a33a x 1d()1111x arcsin 2 0 20XX年2 (3) . (4) 3x4 3x2 1 x2 1 1 dx (3x2 1 )dx x2 1 1 4 x 3

20、x 2,0 x 1,或2 x 5 x2 3x 2 2 (x 3x 2),1 x 2(5) 因为被积函数 2 (x3 arctanx)|0 1 1. 所以 0 5 x2 3x 2dx (x2 3x 2)dx (x2 3x 2)dx 1 12 51 (x2 3x 2)dx 14. 2 2 (6) 因为在本题中，变量为x且0 x 1，t为参数，但是可以取任意 实数，即本题结果应为t的函数. 所以设 当t 0时，得 1 1 I(t) x tdx 1 ，则 I(t) x tdx (x t)dx 当0 t 1时, 得 1 t 1 t2 1 I(t) x tdx (t x)dx (x t)dx t2 t t

21、 当t 1时, 得 12 I(t) x tdx (t x)dx t 11 12 1 2 t, t 0 1 I(t) t2 t , 0 t 1 2 1 t 2, t 1 故 . t(t 1), t 0 t(t 1) t(t 1),0 t 1 t(t 1), t 1 (7) 因为被积函数，且x为参数可取一切实数，所以应分 下列情况讨论： x3x2 I(x) t(t 1)dt 0x 032 当时，有 x 经济数学(定积分习题及答案) x3x2 I(x) t(1 t)dt 00 x 132 当时，有 x 当x 1时，有 I(x) t(t 1)dt 1 0x 1 x3x21 t(t 1)dt 323 x

22、3x2 ,x 0 32 x3x2 I(x) ,0 x 1 2 3 x3x21 ,x 1 323 故 . (8) 令被积函数x 0,得x 0，按数0在区间a,b的不同位置状况，可分为下列几 种情况： 当a b 0时，得 bb1 I xdx xdx (b2 a2) aa2 当a 0 b时，得 当0 a b时，得 0b1 I xdx xdx (b2 a2) a02 b1 I xdx (b2 a2) a2 故综上所述，有 I b a 122 2(b a), a b 0 1 xdx (b2 a2), a 0 b 2 122 2(b a), 0 a b . x 1(x 1) f(x) 1 2 (x 1)

23、x2 (9) 因为 f(x)dx 0f(x)dx 1f(x)dx 0(x 1)dx 1 所以 0 6. 6. 求下列极限： 1x1x lim2 arctantdtlim(1 sin2t)dt (1)x 0x0 (2) x 0x0 * x28 dx 23. lim (3) x 0 x2 x excostdtlimx (4)* x 2 2 x2t2 tedt0 1x (1 sin2t)dt lim(1 sin2x) 1. 0x 0x 0x解 (1) 1xarctanx21lim2 arctantdt lim lim 0x 0xx 0x 02(1 x2)2x2. (2) lim 经济数学(定积分习题

24、及答案) (3) x 0 e x2 xcost2 dt x 0 x2 cost2dt lim4x4 0. x 0 (4) lim x2 x x x2t2 tedt0 lim x x2t2 tedt0 xex2 x2 lim x2ex 2 2 x ex(1 2x2) lim 1 . x (1 2x2)2 2 x,x 0,1) f(x) x 3 (x) x,x 1,2 0f(t)dt在0，2的表达式，并讨论 (x)在0, 7*. 设，求 2上的连续性与可导性. x3 (x) tdt 00 x 13 解 因为 当时， x2 当1 x 2时， (x) 12 tdt0 x3tdt1 1x4 124 x3

25、 , 0 x 1 3 (x) 4 x 1, 1 x 2 12 4所以 (x)的表达式为 又因为f(x)在区间0,1)与(1,2上为初等函数，显然为连续函数. 而 x 1 23 limf(x) limx 1, limf(x) limx 1 x 1 x 1 x 1 即 limf(x) 1 x 1 知，f(x)在x 1处连续. 所以f(x)在区间0,2上连续. 故由定 x 由 limf(x) f(1) 1 x 1 理6.5知，函数 (x)在区间0,2上可导. 8*.设f(x)在a, b上可积，求证：当x (a, b)时， (x)= 0意可积函数的有界性). 证 因为设对任意的x, x x (a, b

26、)时,有 f(t)dt 在a, b上连续(提示: 注 (x) (x x) (x) x x a f(t)dt f(t)dt a xx x x f(t)dt 又由f(x)在a, b上可积知,存在常数M0, 使得f(x) M 所以 (x) x x x f(t)dt M x x x dt M x lim x 0,则lim (x) 0 x 0而 x 0 故 (x)在a, b 上任意一点x处连续, 即 (x)在a, b上连续. 习题 64 经济数学(定积分习题及答案) 1. 计算下列定积分： (1) (3) (1 sin3x)dx (2) (4) 1 1x t22 x 0te 2 dt (5) 1 e 2 x (6) 2 cosxcos2xdx 0 (7) 2 x (8) 3 2 x 解 (1) (1 sinx)dx dx sin3xdx dx (1 cos2x)dcosx 14 (x cosx cos3x) 33 0 (2)1 x x令x sint 2 4 costsint 22 dsint 2 cos2tsint1sint 22 dt 1 sin2tsint 2 dt 44 2 4 dt 2dt 1 4 4 . (3)1 20 x 1x2 20(3a2 x2) 1)a. ) t2 e2 (4) t2 1 te2dt0 t2 1t22ed( 02 1