基于matlab在连续性系统中的仿真研究.docx

1、基于matlab在连续性系统中的仿真研究基于matlab在连续性系统中的仿真研究摘要：从数学建模到仿真系统的搭建，再到加进控制环节进行实时控制，最后得 出结果的过程中，参考了大量的资料，通过对比整合，设计出了适合自己的一套 实验方法：本研究的核心在于构建相应的倒立摆数学模型，首席按通过牛顿欧 拉法完成相关模型的基本搭建，之后通过动态系统空间状态方程来确定其系数矩 阵的值，完成上述匸作之后，通过MATLAB编程的方式，将构建的数学模型转 化成相应的传递函数，从而获得传递函数模型。此后便可在此基础之上，通过 Siinuluik软件通过PLD控制算法实现相应的仿真工作，先用连续系统的设计方法 设讣出

2、模拟控制器，然后在满足一定条件下，对其进行离散化处理，（采用加零阶 保持器的Z变换法）形成数字控制器。接着进行PID参数整定，利用试凑法，根据 PED控制器各部分组件和性能之间的联系，在某个初始化参数的条件下重复进行 试凑工作，最终得到较好的结果。研究过程中，系统的控制非常稳定，性能较好。关键词：Mat lab；仿真；PID；连续系统1绪论 111连续性系统简介 11.2连续性系统基本处理方法 11.2.1数值积分法 11.2.2替换法 21.2.3离散相似法 31.3MATLAB在连续性系统的应用 52 MATLAB 基础 62.1MATLAB语言介绍 62.2MATLAB 工具箱 62.3

3、MATLAB对连续性系统的仿真性能分析 错误!未定义书签。3直线一级倒立摆系统设计 73.1倒立摆系统概述 73.2倒立摆系统工作原理 73.3倒立摆系统数学模型建立 83.3.1确定系统输入输出量及中间变量： 9332受力分析，列写运动方程： 9333系统非线性方程的线性化： 103.3.4零初始条件下的拉氏变换： 103.3.5代入参数求解传递函数： 104基于MATLAB的一级倒立摆系统仿真结果及分析 114.1校正前系统性能仿真分析 114.1.1稳定性分析： 114.1.2阶跃响应分析： 114.1.3频率特性分析： 124.2PID控制设计校正装置 13421计算开环增益K： 13

4、4.2.2计算校正后的增益交界频率3C： 15423计算参数确定传递函数： 154.3控制实验仿真分析 155总结和展望 20参考文献 211绪论1.1连续性系统简介所谓连续系统，其实就是体系的状态会在时间迁移的条件下产生光滑且连 续的改变的一个系统。其也包含那些因离散采样而引起非连续改变的体系。这 类系统通常能够通过微分方程组进行表示。如果方程之中的相关系数皆是常 数，那么可将之称作定常系统，如果相关系数会因时间的改变发生改变，那么 可将之称作。除此之外，相关的数学模型也可分为多个类别，除了连续模型 （即通过微分方程进行表示）之外，还有离散模型（通过差分方程进行表示） 以及二者的混合模型。如

5、果某个体系能够通过非线性的常微分方程组进行表 示，那么其就属于非线性系统。其中的各个方程不仅含有状态变量及其各阶导 数的线性组合，也含有非线性项。其非线性特性主要表现在：（1）线性系统同 时满足均匀性与叠加性。线性方程必定有解，并且其解为零输人响应和零状态 响应之和。非线性系统则不具有这些特征，即对非线性系统，通常叠加性原理 不成立，非线性方程通常没有解析表达形式的解。（2）给定一个线性系统，对 于不同的初始状态，它只有一种类型的运动。但对于非线性定常自山系统则不 然，初始状态不同，它对应的运动类型可以不一样。非线性系统有三种类型的 运动，即稳定运动、不稳定运动和周期运动。1.2连续性系统基本

6、处理方法1.2.1数值积分法如果通过相关的状态方程来表示被模拟的体系，其对应的一阶微分方程 以及初始值可以通过下式表示：（1-1）yM = yo在这之中，Y代表维度为n的状态向量，而F则代表维度为n的向量函 数。对于上式，当r = ,U+i时其对应的连续解可以写成：ln*l (H-1Y(tn+J=Y(t)+J F( = g)+jF(f,y)df(1.2)*0 l0设 rn=r(),令却=監+0(1-3)则有：匕+i=Y(J+J也就是说，a, j F(t,Y)dt (1-4)Zn如果y”准确解”/”)为近似值，g是准确积分值的近似值，则式(1-4) 就是式(1-2)的近似公式。换句话说，连续系统

7、的数值解就转化为求两个相 邻时刻之间的积分。综上所述，(11)的数值求解策略本质上就是求得该式的实际解在相应 的离散时间点人“2叫之中的近似值E，E，必，对于处在相邻时刻的 两个点，其间距hn=t-tn,通常被命名为步长，一般令h” = ，保持不变。1.2.2替换法以上使用的通过数值积分对连续体系进行模拟的策略尽管理论上较为 完善、求解精度也较为不错，然而过程较为繁琐，需要进行大量的讣算，一 般仅将之应用于对于效率没有过高要求的模拟工作之中。如果对于模拟工作 有着实时性的需要，要求计算速度快，以便能在一个采样周期内完成全部计 算任务，这就必须使用其他的高效率的求解方法。通过数值积分策略实现对连

8、续体系的模拟，本质上已对其实施了离散化 的操作，只是在进行离散化的各个步骤之中都会使用连续体系的模型，每一 步都是离散之后再进行求解。因此，可以先将相关连续模型实施离散化操作， 获得等价的离散模型，在这之后的各个计算工作中可以不必再涉及最初的连 续模型，而是能够直接使用该离散模型。通过对连续模型简化得到相应的离 散模型，能够很好地适应计算机上的计算环境，不但能够应用在连续体系的 数字模拟工作中，同时也能够通过计算机实现相应的数字控制器。替换法的核心思路为：对某个传递函数G (s),寻找将s域映射至z域 的策略，从而实现属于S域的变量到z平面之间的映射工作，从而能够将和 连续体系相关的G (s)

9、转化为离散的G (z)o之后可以通过G (z)进行相应 的z反变换，得到对应的通过差分方程进行表示的离散模型，从而实现高效 率的计算工作。根据z变换理论，s域到z域的最基本的映射关系是或s =丄In? T如果按这一映射关系直接代入G (s),得到的G (z)是相当复杂的，不便于 算法实现，所以往往借助于Z变换的基本映射关系Z = 0或$ 作一些T简化和近似处理。1.2.3离散相似法离散相似法能够把某个连续的体系实施离散化操作，并获得与之对应的 差分方程形式的离散模型。得到对应的离散模型的策略包括两类：(1)对传递函数实施相应的离散化操作，从而获得离散化的传递函数一 这类模型通常叫做“频域离散相

10、似模型”；(2)对状态方程实施相应的离散化操作这类模型通常叫做“时域离 散相似模型”；为了实现连续体系的数字模拟工作，首先可向体系之中添加相应的虚拟 采样器以及保持器，具体的架构可以参考下图：图1-1连续系统离散化结构图附注：上图之中给出的采样开关以及保持器实际上是不存在的，而是为 了将(15)式离散化而虚构的。然后通过z变换实现对应体系脉冲传递函数的求解，之后可在此基础之 上获得体系所对应的差分方程。根据上图不难得到相应的脉冲传递函数模型，其可通过下式进行表示：在这之中，G力G)代表保持器的传递函数，并且可根据保持器的种类获得 相应的G，具体可参考下表：表11不同保持器的G保持器的传递函数G

11、h(s) 脉冲传递函数Gx = Ax + Bu ( 1-6)如果在体系的输入以及输岀部分都添加相应的采样控制开关，在输入部 分额外添加保持器以确保相关信号能够良好地还原，那么此时可获得下图 所给岀的结构：图12采样控制系统结构图若对方程(16)式两边进行拉普拉斯变换，得： sX(s) - X(0) = AX(s) + BU(s)即：(N - A) X =X (0)+BU (s)以(si-A)1左乘上式的两边可得：X($) = (si-A)-1 X(0) + ($/(1-7)考虑到状态转移矩阵：= =rl (1-8)故对(17)式反变换可得：X(0 = eAtx(O) + 矗从 r)BU(r)d

12、T (1-9)此为(15)式的连续解，山此可推导出系统的离散解。根据上式，n及ii+l两个相连的采样瞬间，有：X(kT) = eAkTx(Q) + eA( sin0 (3)综合以上各式，能够获得体系的运动方程1:2+ in)x+ bx-ml(j)cos(j) + ml(p sin=F (4)在竖直方向上，根据上图可以得到摆杆的受力为：d?P 一 mg = m (/ cos 0) (5)由(5得：P - mg = -ml sin - ml(/)cos0 (6)对摆杆进行力矩分析，有：I(/)= Plsn(/ + Nl cos (7)联立式(3)、(6)以及(7),可以获得体系的运动方程2：(/

13、+ m卩)(/ 一 mgl sin(/ = ml xcos 0 ( 8)因此可以获得体系的2个运动方程，如下所示：( 2I (M + m) x+ h x- ml(/)cos(f + ml(f sin(/)= F ( (/ + ml2)。一 mgl sin = ml xcos(j333系统非线性方程的线性化：对于该系统，摆杆通常不会产生较高的偏角，也就是说61,因此能够近 似化处置。对于该体系，当(甩0)为(0,0)之时处在平衡态，因此：sin0 = 0. cos& = l, = 0因此可得线性化的方程：(M + m) x+ b x- ml Q = F(/ + ml2) 0- = ml x33.

14、4零初始条件下的拉氏变换：I(M 4- (s) + bsX(5)-mis2 0(f) = F(s)(/ + ml2)s2 (s) -= mlX(s)s2335代入参数求解传递函数:该体系的物理参数为:小车的质量M： 0.618 kg摆杆的长度L： 0. 350m摆杆的质量th： 0. 0737 kg摆杆质心到转轴距离h 0.1225m把相关数据回代到上式之中，即可计算岀摆杆的偏角和车辆偏移之间的传递函数:0(s) 6.122s2X(s) _ s - 604基于MATLAB的一级倒立摆系统仿真结果及分析4.1校正前系统性能仿真分析411稳定性分析：可通过下面的代码得到体系进行矫正之询的Nyqui

15、st图，具体结果可参考下 图：num=6.122;den= 1 0 -60;nyquist(num,den)图4-1校正前系统开环Nyquist图s_xv Ajeu 一 6PUJ_由图分析知，系统开环右极点数P = It N = 0。此时Y/Z = P + JV = 1,所 以体系处在非稳态。4.1.2阶跃响应分析：可通过下面的代码得到体系进行矫正之询的阶跃响应图，具体结果可参考下 图：G=6.122/(sA2-60);GB=G(1+G); step(GB).511 560pm=dE 0 + -180 -(一 1) = 50通过0m可以得到相应的4.2.2计算校正后的增益交界频率为能充分显示出

16、相关校正设备的相位超前效果，可以把校正设备的最大超前 相角确定为体系增益交界频率也就是3尬=Sc，在该处，冇：9(%) + 厶(3=0带入可得：201g/a 4-厶(3=0可以计算岀:3c = 39.Sr ad fs4.2.3计算参数确定传递函数：yacom = o)c = = 39.5rad/s得：T =0.06965则校正后系统的开环传递函数为：,、 00696s + 1 6.122K叫(s)G(s)= 98 5092S+2-604.3控制实验仿真分析首先确定临界增益心和临界振荡周期几，只加入P控制器，令Kp = 9得:可通过下面的代码得到体系进行增益之后的阶跃响应图，具体结果可参考下 图

17、：s=tf(U)G=9*6.122/(sA2-60);GB=G(1+G); step(GB,10)1001 23456789 10Time (seends)图45Kp = 9时系统的阶跃响应曲线图根据该结果不难发现，体系的阶跃响应数据不会随时间迁移而降低，并处在 逐渐发散的状态中，所以体系处在非稳态。因此提高P控制量，令Kp = 100得系 统的阶跃响应曲线图如图4-6：Step Response图46Kp = 100时系统的阶跃响应曲线图根据该结果不难发现，体系的阶跃响应数据处在逐步收敛的状态中，为让该 曲线处在震荡状态，应降低Kp,故令心=90得系统的阶跃响应曲线图如图4-7：2 5Ste

18、p Res ponse图47知=90时系统的阶跃响应曲线图根据该结果不难发现，临界的增益K“ = 90,此时的周期几= 0.4。因此可算 岀Kp.八以及丁小Kp = 06Ku = 0.6 X 90 = 547 = 0.5Tu = 0.2Td = 0.125几=0.05z、 1 6.122G*(s) = 54 x (1 + 0.05s H ) x 0.2s s2 -60可通过下面的代码得到体系进行PED校正之后的阶跃响应图，具体结果可 参考下图：s=tf(U)G=54*(l+0.0375*s+l/0.15/s)*6.122/(sA2-60);GB=G(1+G); step(GB,4)21.81.61.4a 1.20.80.60.40.20 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5Time (seconds)图4-8心=90时PID校正后系统的阶跃响应曲线图根据该结果不难发现，曲线处在剧烈震荡之中，所以要提高比例系数，取 心=100可绘制出PLD校正后系统阶跃响应曲线