11空间几何体.docx

1、11空间几何体1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素教学目标：理解多面体、棱柱的基本概念教学重点：理解多面体、棱柱的基本概念.教学过程：1、 基本概念：a) 几何体：一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体。b) 长方体：六个矩形围成的几何体。长方体的面：围成长方体的各个矩形。长方体的棱：相邻两个面的公共边。长方体的顶点：棱和棱的公共点点、线、面是构成几何体的基本元素。2、 平面的初步概念：平面是处处平直的面，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示平面，并把它想象成无限延展的。平面一般用希腊字母来命名，还可以用它的平行四边形的对角顶点的字

2、母来命名。3、 点动成线、线动成面：可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹是一条直线或线段，如果点运动的方向时刻在变化，那么它的轨迹是一条曲线或曲线的一段。同样，一条线的运动的轨迹可以是一个面，面的运动轨迹（经过的空间部分）可以形成一个几何体。4、 柱面：一条直线或线段，绕一个圆弧转动，可以形成柱面。5、 锥面：固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面。6、 空间点、直线和平面间的位置关系：（1）除直线在平面内或者直线与平面相交外，直线和平面还有可能没有公共点，这时我们说直线和平面平行。（2）直线和平面内两条相交直线垂直，这时我们说直线和平面垂直。（3）由（

3、2）设垂足为某点，则称点到垂足的距离为点到平面的距离。（4）两个面没有公共点，则称两个平面平行。（5）两个平面相交，而且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，则称这两个平面相互垂直。小结：了解构成空间几何体的基本元素，培养空间想象能力1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征一、教学目标1知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。2过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识

4、。3情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台的结构特征。难点：柱、锥、台的结构特征的概括。三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。2所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具

5、有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。（二）、研探新知1首先给出多面体的基本概念：a) 多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.b) 多面体的面：围成多面体的各个多边形；c) 多面体的棱：相邻的两个面的公共边；d) 多面体的顶点：棱和棱的公共点；e) 多面体的对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段；f) 凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个面的一侧，则这样的多面体称为凸多面体；g) 多面体可按面数命名；h) 正多面体：各个面全等的多面体；i) 几何体的截面：一个几何体和一个平面相交

6、所得的平面图形。2引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。3观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？引导学生观察到这些模型都是由面（平面的一部分）围成的；面与面有交线。因此从“面”和“线”两个角度去考虑：首先看面：有两个面互相平行，其余各面都是四边形. 学生回答后，总结：中可以找出两个面平行，但其余各四边形公共边中有不平行的。“有两个面平行”的条件不足以确定几何体是棱柱。找出两个平行的面以后，如果其它条件不能成立，不要急于下结论，再选另外一对平行面，按定义再次判断它是否是棱柱。再看线：夹在两个平行平面间的每相邻两个面

7、的交线都相互平行。4组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两个四边形的公共边互相平行，概括出棱柱的概念。5教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。（1）定义：一个多边形上各个点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体。特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形；每相邻两个四边形的公共边都互相平行；凸多面体。（2）有关于元素：底面：两个相互平行的面； 侧面 ：其余各面；侧棱：两侧面的公共边顶点 ；对角线；高：棱柱两底面之间的距离；对角面；（3）分类：1、按侧棱与底

8、面垂直关系分类：斜棱柱、直棱柱（其中底面是正多边形的叫正棱柱）2、按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱（4）棱柱的表示法：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD（5）棱柱的一般性质侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行底面的截面是全等的多边形；对角面是平行四边形。6以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。(1)“一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征正棱锥是一种特殊棱锥正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：底面为正多边形；顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上正

9、棱锥个侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高。“截头棱锥”是棱台的主要特征，因此，关于棱台的问题，常常将其恢复成相应的棱锥来研究棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台。棱台是由棱锥截来的，故要求等腰梯形的腰延长后要交与一点。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台个侧面都是全等的等腰梯形，这些梯形的高叫做棱台的斜高。(2)正棱锥的性质很多，但要特别注意：a.平行于底面截面的性质如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：棱

10、锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比b.有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角：正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握(3)棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手同棱锥一样，棱台也有很多重要性质，但要强调两点：a.平行于底面的截面的性质：设棱台上底面面积为S1，下底面面积为S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为mn，则截

11、面面积S满足下列关系：b.有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形)正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重要的角，必须牢固掌握(4)棱锥、棱台的侧面展开图的面积，即侧面积，是确定其侧面积公式的依据a.正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其侧面积公式：b.正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其侧面积公式：棱锥的全面积等于：S全=S侧+S底棱台的全面积等于：S全=S侧+S上底+S下底

12、c.棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确，它有利认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体，在正棱台侧面积公式中：当C=C时，S棱柱侧=Ch可以联想：棱柱、棱锥都是棱台的特例(6)关于截面问题关于棱锥、棱台的截面，与棱柱截面问题要求一样，只要求会解对角面、平行于底面的截面(含中截面)、以及已给出图形的截面，或已给出全部顶点的截面，但对于基础较好，能力较强的同学，也可以解一些其他截面，比如：平行于一条棱的截面，与一条棱垂直的截面，与一个面成定角的截面，与一个面平行的截面等作截面就是作两平面的交线，两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线，或由线面平行、垂直有关性质确定其交线，这

13、是画交线，即作截面的基本思路（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。1. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱2棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？3棱台与棱柱、棱锥有什么关系？四、巩固深化练习： 五、归纳整理由学生整理学习了哪些内容六、布置作业1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征1.圆柱、圆锥、圆台一、教学目标1知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。（4）会表示有关于圆柱、圆锥、圆台的分类。2过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从

14、实物中概括圆柱、圆锥、圆台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。3情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台的结构特征。难点：圆柱、圆锥、圆台的结构特征的概括。三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，

15、举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。2所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。（二）、研探新知1让学生观察圆柱、圆锥和圆台，并概括圆柱的结构特征2引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边，直角三角形直角边和直角梯形中垂直于底边的腰为旋转轴，将矩形、直角三角形和直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体。旋转轴叫做所围成的几何体的轴

16、；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转形成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线。3教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。1. 下列几个命题中，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的多面体是棱台；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的

17、旋转体是圆台；其中正确命题的序号是 考点：棱柱的结构特征；命题的真假判断与应用；棱锥的结构特征；棱台的结构特征分析：根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例以及对概念的理解进行否定解：如图，不正确， 棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故不正确，棱台是由棱锥截来的，故要求等腰梯形的腰延长后要交与一点，故不正确，圆台是由圆锥截来的，故要求以直角梯形的是直角边的腰所在直线为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故不正确2圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？3平行于底面的截面是什么形状？过轴的截面（轴截面）分别是什么

18、样的图形？4. 圆柱、圆台和圆锥之间的关系？平行于底面截圆锥可以得到圆台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.圆台的上底变大可以得到圆柱；圆台的上底变小可以得到圆锥.让学生举出一些圆柱、圆锥、圆台的实例，以及其他旋转体的实例.让学生思考：一个圆面绕一条直线旋转一周形成的几何体是什么？5.主要性质定义有关线轴直线直线直线母线有关面底面圆圆圆平行于底的截面圆圆圆轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形任意两母线确定的截面矩形等腰三角形等腰梯形侧面及展开图小结：圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转

19、轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆柱；以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆锥；以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台.圆柱、圆锥、圆台的性质2.球教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念，2、掌握球的截面的性质,3、掌握球面距离的概念.教学重点：球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离教学过程：复习引入1、圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。2、通过篮球、

20、排球、足球等等球体的形象引出课题.新授1、球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到。半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体，简称球。形成球的半圆的圆心叫做球的球心；球心和球面上任一点所连成的线段叫做球的半径；连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径。球面也可以看做空间中到定点的距离等于定长的点的集合。值得注意的是：1）球面与球体是两个不同的概念，我们要注意它们的区别与联系。2）球面的概念可以用集合的观点来描述。球面是由点组成的，球面上的点有什么共同的特点呢？与定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫球面。如果点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部.否

21、则在外部.3）球的表示：用表示球心的字母表示球，比如，球O.2、球的截面的性质：用一个平面去截球，得到一个截面，截面是圆面，把过球心的截面圆叫大圆，不过球心的截面圆叫小圆.球的截面有什么性质呢？连接球心与截面圆心，连线OO1与截面圆O1会有什么关系呢？1） 球心与截面圆心的连线垂直于截面。2） 设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r=3、练习一：判断正误：（对的打，错的打）（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。（ ）（2）到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。（ ）（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。（ ）（4）经过球面上不同的两点只能作一个大

22、圆。（ ）（5）球的半径是5，截面圆的半径为3，则球心到截面圆所在平面的距离为4。（ ）4、关于地球的几个概念：地球可以近似的看作一个球体，为了描述地球上某地的地理位置，我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念。经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆.球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度.5、球面距离：假如我们要坐飞机从北京到巴西去，选择怎样的航线航程最短呢？我们把球面上过两点的大圆，在这两点之间的劣弧的长叫球面上两点间的球面距离。因此，飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行。6、例1 我国首都北京靠近北纬40度。（1）求北纬40纬线圈的半

23、径约为多少千米。（2）求北纬40度纬线的长度约为多少千米（地球半径约为6370千米）。7、练习二： 1）填空（1）设球的半径为R，则过球面上任意两点的截面圆中，最 大面积是 。（2）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的 。（3）在半径为R的球面上有A、B两点，半径OA、OB的夹角 是n（n180，求A、B两点的球面距离。2）地面上，地球球心角1所对的大圆弧长约为1海里，一海里约是多少千米？思考题：地球半径为R，A、B是北纬45纬线圈上两点，它们的经度差是90，求A、 B两地的球面距离。9.旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋

24、转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴。10.现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？组合体：除了基本几何体外，还有大量的几何体是由基本几何体组合而成的，这些几何体叫做组合体。(播放陶艺的主要制作过程.) 课堂练习：教材第16页 练习A、B小结：a) 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体.b) 以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。以不经过球心的平面截球面，截面圆叫小圆.c) 球心和

25、截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理，有：.四、巩固深化练习： 五、归纳整理由学生整理学习了哪些内容六、布置作业1.1.4投影与直观图 一、教学目标1知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。2过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。3情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受。（2）体会对比在学习中的作用。（3）感受几何作图在生产活动中的应用。二、教学重点、难点重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。三、学法与教学用具1学法：学生通过作图感受图形直

26、观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。2教学用具：三角板、圆规教学过程：一、投影法物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。如图11所示，以不在投影面上的定点S为投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点，点就是空间点A在投影面P上的投影。同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。这种使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法。工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。二、投影法分类1.平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行投影法(图13)。其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法图13()

27、；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法图13(b)。()平行斜投影 (b)平行正投影 图13 平行投影法应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。工程图样就是用正投影法绘制的。2.中心投影法投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法(图12)。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。图11 投影法 图12 中心投影法 三、平行投影的基本特性 平行投影的基本特性，是指空间几何要素点、线、面经过平行投影后的特性。1.点的投影仍为点如图14所示，空间A点的投影为点。2.直

28、线的投影一般仍为直线如图15所示，AB直线的投影为直线b。图14 点的投影 图15 直线的投影3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上如图16所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影b上。4.直线上两线段之比，等于其投影之比从图16中可以看出，点M分直线AB为AM和MB，而其投影为m和mb，则AMMB=m mb。因位于同一平面的两直线(AB及b)被若干平行直线所截，则被截各段成比例。5.两直线平行，其投影亦平行或重合如图17所示，设ABCD，则bcd。因AB与CD平行，AB、CD与投影线所构成的二平面ABb与CDdc必然互相平行，它们与第三平面H相交，其交线也一

29、定平行。图16 点在直线上的投影 图17 平行两直线的投影6.两平行线段之比，等于其投影之比如图17所示，当线段ABCD，则ABM相似于CDN，又AM=b，CN=cd，所以AB:CD=AM:CN=b:cd。7.平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等。直线、平面图形投影的三种特性(1)积聚性当直线或平面图形与投影线平行时，则它们的投影有积聚性。如图18所示，直线AB和CDE皆平行于S，所以AB的投影积聚为一点；而CDE积聚成一条直线cde。(2)实形性当直线或平面图形平行于投影面时，则其投影反映实形。如图19中，直线AB与平面CDE均平行

30、于投影面H，则它们的投影b=AB反映线段实长；cde=CDE反映平面的实形。(3)类似性直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影变短了；而平面图形变成小于原图形的类似形，如图110所示。图18 平行投影的积聚性 图19 平行投影的实形性 图110 平行投影的类似性当投射线和投射面呈适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时，一个空间图形在投射面上的平行投影可以形象地表示这个空间图形，像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图四、常用的投影图概述1、轴测投影图 图111 轴测投影图用平行正投影法或斜投影法将空间几何形体及确定其空间位置和形状的直角坐标系，共同投影在单一投影面上所得的图形称为轴测投影图，简称轴测图。如图111所示，空间一立方体连同其直角坐标OX、OY、OZ一同向平面P投影，得到轴