初中中考数学二次函数压轴题题型归纳学生版本docx.docx

1、初中中考数学二次函数压轴题题型归纳学生版本docx中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式 ： ABy AyB2x AxB22、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：xAxByA yB2，2直线 y k1 x b1 （ k1 0 ）与 yk 2 xb2 （ k20 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k1k2 且 b1b2（ 2）两直线相交k1 k2（ 3）两直线重合k1 k2 且 b1 b2（ 4）两直线垂直k1k213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式） 分析求解：

2、若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于 x 的一元二次方程 x 22 m 1 x m 20 有两个整数根， m5 且 m 为整数，求 m 的值。4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线ymx23m1 x3 与 x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于 x 的方程mx23(m 1)x2m30 （ m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线yx2mxm 2 （m是常数），求证： 不

3、论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。7、路径最值问题 （待定的点所在的直线就是对称轴）（ 1）如图，直线 l1 、 l 2 ，点 A 在 l 2 上，分别在l1 、 l 2 上确定两点M 、 N ，使得AMMN之和最小。（ 2）如图，直线 l1 、 l 2 相交，两个固定点 A 、 B ，分别在 l1 、 l 2 上确定两点 M 、 N ，使得BM MN AN 之和最小。（ 3）如图， A、B 是直线 l 同旁的两个定点，线段 a ，在直线 l 上确定两点 E 、 F （ E 在 F 的左侧 ），使得四边形 AEFB 的周长最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：

4、直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图， S PAB=1/2 PM x=1/2 AN y9、函数的交点问题： 二次函数（ y ax2 bx c ）与一次函数（ y kx h ）yax2bx c（1）解方程组 可求出两个图象交点的坐标。ykxh2（2）解方程组 yax bx c ，即 ax 2 bk x c h0 ，ykxh通过 可判断两个图象的交点的个数有两个交点仅有一个交点没有交点00010、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形” 、“梯形”、“相似三角形” 、“

5、直角三角形” 、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求 几何分析跟平行有关的平移图形勾股定理逆定理跟直角有关的 利用相似、全等、平图形 行、对顶角、互余、互补等跟线段有关的 利用几何中的全等、图形 中垂线的性质等。利用相似、全等、平跟角有关的图行、对顶角、互余、形互补等涉及公式l 1 l 2k1 k2y1y2、 kx2x1AB y A yB 2 x A xB 2AB y A yB 2 x A xB 2应用图形平行四边形矩形梯形直角三角形直角梯形矩形等腰三角形全等等腰梯形【例题精讲】y一 基础构图：y= x2 2x 3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）B O A x

6、CD和 最小，差最大 在对称轴上找一点 P，使得 PB+PC 的和最小，求出 P 点坐标在对称轴上找一点 P，使得 PB-PC 的差最大，求出 P 点坐标求面积最大 连接 AC, 在第四象限找一点 P，使得 ACP 面积最大，求出 P 坐标 讨论直角三角 连接 AC, 在对称轴上找一点 P，使得 ACP 为直角三角形，求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P，使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 讨论等腰三角 连接 AC, 在对称轴上找一点 P，使得 ACP 为等腰三角形，求出 P 坐标 讨论平行四边形 1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，且以 B， A， F ，E 四点为

7、顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标yB O A xCDyB O A xCDyB O A xCD二 综合题型例 1(中考变式） 如图，抛物线 yx 2bx c 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0) 两点， 顶点为 D。交Y轴于 C(1) 求该抛物线的解析式与 ABC 的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M ，使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由(3)若 E 为抛物线 B 、 C 两点间图象上的一个动点 (不与 A 、 B 重合 )，过 E 作 EF 与 X 轴垂直 ，交BC 于 F ，设 E 点横坐标为 x.E

8、F 的长度为 L ，求 L 关于 X 的函数关系式？关写出 X 的取值范围？当 E 点运动到什么位置时，线段 EF 的值最大，并求此时 E 点的坐标？(4) 在（ 5）的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 H 。当 E 点运动到什么位置时 ,以点 E、 F、 H 、 D 为顶点的四边形为平行四边形？(5) 在（ 5）的情况下点 E 运动到什么位置时，使三角形 BCE 的面积最大？例 2考点： 关于面积最值 3如图，在平面直角坐标系中，点A、 C 的坐标分别为 ( ) ，点 B 在 x 轴上已知某1，0) 、 ( 0，二次函数的图象经过A、 B、 C 三点，且它的对称轴为直线x 1，点 P

9、 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与 B、 C 不重合），过点 P 作 y 轴的平行线交BC 于点 F（ 1）求该二次函数的解析式；y（ 2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段PF 的长；（ 3）求 PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标A OCFB xx 1P例3考点：讨论等腰如图，已知抛物线y1 x 2 bxc 与y 轴相交于C，与x 轴相交于A、 B，点A 的坐标为（2， 0），2点C 的坐标为（ 0， 1）（ 1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE x 轴于点 D，连结 DC，当 DCE 的面积最大时

10、，求点 D 的坐标；（ 3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点说明理由P 的坐标，若不存在，yyDxB OAB OAxECC备用图例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点 A （一 1，0）和点 B（ 1， 2），在坐标轴上确定点P，使得ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）(A ） 2个（ B） 4个 （ C）6个（ D） 7个 已知：如图一次函数y1的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数1x2x1y22bx c 的图象与一次函数y 1 x1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（ 1，2

11、0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（ 3）在 x 轴上是否存在点 P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由yC2BxA O D E例 5 考点：讨论四边形已知：如图所示，关于 x 的抛物线 y ax 2 x c（ a 0）与 x 轴交于点 A（ 2， 0），点 B（6， 0），与y 轴交于点 C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（ 2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的解析式；（ 3）在（ 2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M

12、，抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点 Q是否存在以 A、 M、 P、 Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由yCA O B x综合练习：1、平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax 4a c 与x 轴交于点A、点B，与y 轴的正半轴交于点 C，点 A 的坐标为 (1, 0)，OB OC，抛物线的顶点为 D 。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P 满足 APB ACB ，求点 P 的坐标；(3) Q 为线段BD上一点，点A 关于 AQB的平分线的对称点为A ，若 QA QB2 ，求点Q的坐标和此时QAA的面积。2、在平面直

13、角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yax2 +2ax c 的图像与 y 轴交于点 C 0，3，与 x轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为3，0 。（ 1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（ 2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1： 2 的两部分，求出此时点M 的坐标；（ 3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时 CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。3、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2 x2 2 x 与 x 轴负半轴交于点 A ，顶点为 B ，m且对称轴与 x 轴交于点

14、C 。（1）求点 B 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（2） D 为 OB 中点，直线 AD 交 y 轴于 E ，若 E （ 0， 2），求抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，点M在直线OB 上，且使得AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A、 M、 P、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。4、已知关于 x 的方程 (1 m) x2(4 m) x3 0 。（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（ 2） 若正整数 m 满足 8 2m2 ，设二次函数y (1m) x2(4 m) x 3 的图象与 x 轴交于A、B 两点，将此图象在x

15、 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线 ykx3 与此图象恰好有三个公共点时，求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。5 如图，抛物线 y=ax 2+2ax+c （ a0）与 y 轴交于点 C（ 0， 4），与 x 轴交于点 A（ 4，0）和 B（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE AC ，交连接 CQ当 CEQ 的面积最大时，求点 Q 的坐标；BC于点E，（ 3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（ 2， 0

16、）问是否有直线 l ，使 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说 明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与 x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧例 1已知二次函数yx2x 2 的图象与x轴相交于（1， 0）， （2， 0）两点，且 ( 1)mmA xB xx1 x2（1）若 x1x2 0，且 m为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若 x1 1，x2 1，求 m的取值范围；（3）是否存在实数 m，使得过 A、 B 两点的圆与 y 轴相切于点不存在，请说明理由；（4）若过点 D（ 0， 1 ）的直线与（ 1）中的二次函数图象相交于2线的表达式C（0， 2），

17、若存在，求出 m的值；若MD 1M、N两点，且 DN 3 ，求该直题型二、 抛物线与x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5 ，（1）求证：不论 m取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；（2）求当 m取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短题型三、抛物线方程的整数解问题例 1 已知抛物线 y x2 2( m 1)x m2 0 与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数， 且 m 5，则整数 m的值为 _例2已知二次函数 yx 22mx 4m8（ 1）当 x 2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求m 的取值范围；AMNMN2y x2 2mx 4m8的顶点

18、A 为一个顶点作该抛物线的内接正（，两点（ ）以抛物线在拋物线上） ，请问： AMN的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；y（ 3）若抛物线 yx 22mx 4m8 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例 1已知抛物线 y x2 bx c （其中 b0， c0）与 y 轴的交点为 A，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为 B(m,n)，且 AB=2.(1)求 m,b 的值(2) 如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且 BO= 20 。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考

19、）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数 y x2 4 x m 的图象与 x 轴交于不同的两点 A（ x1 ，0）、B（ x2 ，0）（ x1 x2 ），其顶点是点 C，对称轴与 x 轴的交于点 D（1）求实数 m的取值范围；（2）如果（ x1 +1）（ x2 +1） =8，求二次函数的解析式；（ 3）把（ 2）中所得的二次函数的图象沿 y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与 x 轴交于点 A1 、B1 ，顶点为点 C1，且 A1 B1C1 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式综合提升1已知二次函数的图象与 x 轴交于 A， B

20、两点，与 y 轴交于点 C（ 0，4），且 | AB| 2 3，图象的对称轴为 x1（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线 y x m的下方，求 m的取值范围22已知二次函数 y x mx m 2（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点、分别在原点的两侧，并且5，求 的值；A BABm（2）设该二次函数图象与y轴的交点为，二次函数图象上存在关于原点对称的两点、，且 MNCCM NS 27，求 m的值223. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2( k 1) x k 0 有两个整数根， k 5 且 k 为整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次

21、函数2 2( k 1) x k2y x的图象沿 x轴向左平移4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线b与（ 2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围y x4已知二次函数的图象经过点A（ 1， 0）和点 B（2， 1），且与 y 轴交点的纵坐标为 m（1）若 m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求的取值范围；m（3）若二次函数的图象截直线y x 1 所得线段的长为 22，求 m的值四、中考二次函数定值问题1.如图，已知二次函数 L1：y=x2 4x+3 与 x 轴交于 AB 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于

22、点 C（ 1）写出二次函数 L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标；（ 2）研究二次函数2（k0）L ： y=kx 4kx+3k2写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质；若直线 y=8k 与抛物线 L 交于 E、F 两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF2的长度；如果会，请说明理由2. 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A( 2，O)、B(2 ， 0) 、C(0， l) 三点，过坐标原点O的直线 y=kx 与抛物线交于 M、 N 两点分别过点C、 D(0， 2) 作平行于 x 轴的直线 l 、 l21(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以 ON为直

23、径的圆与直线 l1 相切；(3) 求线段 MN的长 ( 用 k 表示 ) ，并证明 M、 N 两点到直线 l2 的距离之和等于线段 MN的长3. 如图 1，已知直线4x2+22y=kx 与抛物线 y=x 交于点 A（3， 6）273（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA的长度；（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、 O不重合），交直线 OA于点 Q，再过点 Q作直线 PM的垂线，交 y 轴于点 N试探究：线段 QM与线段 QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（ 3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点

24、，点E 在线段OA上（与点O、A 不重合），点D（ m，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、 2 个？4孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 y=ax2 (a 0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O，两直角边与该抛物线交于 A、B 两点，请解答以下问题：（ 1）若测得 OA=OB=2 2（如图 1），求 a 的值；（ 2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF x 轴于点；F ，测得 OF=1 ，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标（ 3