矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析.docx

1、矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握 绝对误差、相对误差、有效数字、误差限 的定义及其相互关系；掌握 数 值稳定性 的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析 ；熟练掌握向量和矩阵范数 的 定义及其性质。1 .误差的基本概念和有效数字1).绝对误差和相对误差 的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则 称x a为近似值a的绝对误差，简称x a为误差.当x 0时，=称为a的相对误差.在实际运算中，精确值 x往往是未知的，所x a以常把匚作为a的相对误差.2).绝对误差界和相对误差界 的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的

2、一个近似值，如果有常数 ea，使得此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的， 但是它们越小，说明a近似x的程度越好，即a的精度越好.3).有效数字设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成ka 10 O.ai a2 an它可以是有限或无限小数的形式,其中ai(i 1,2,)是0,1, ,9中的一个数字，q 0,k为整数.如果x a - 10kn 2则称a为x的具有n位有效数字的近似值.4).函数计算的误差估计如果y f(x1,x2, ,xn)为n元函数，自变量*,X2, ,Xn的近似值分别为a1,a2, ,an ,其中 丄 _f(a1,a2, ,an),所以可以估计到函数值的

3、误差界，近似地有Xk a Xk nf(Xi,X2, ,Xn) f(ai,a2, ,an) ea取y f(x,x2)为Xi, X2之间的四则运算，则它们的误差估计为,数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.如果xi和X2是两个十分接近的数，即 ai和a2两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值 ai a2的有效数字的位数将会很少。从关系式中可以看出，如果 x2很小，即a2很小，计算值 也 的误差可能很大。 a25).数值稳定性的概念、设计算法时的一些 基本原则 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其 舍入误差不增长称为数值稳定 。反之, 成为数值不稳定。不

4、稳定的算法是不能使用的。在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减 。在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数 。注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。2.向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来， 在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看 作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用：一、 研究这些矩阵和向量的误差估计 。二、 研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1)向量范数定义存在Rn ( n维实向量空间)上的一个非负实值函数，记为 f (x)

5、 X，若该函数R (实数域)满足以下三个条件：即对任意向量 X和y以及任意常数(2)齐次性 Xbll -(3)三角不等式则称函数为Rn上的一个向量范数.常用三种的向量范数般情况下，对给定的任意一种向量范数 ，其加权的范数可以表为lX|w |舷|，其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理Rn上的任何向量范数 X均为X的连续函数。向量范数的等价性定理 设| |和| |为Rn上的任意两种向量范数，则存在两个与向量X无关的正常数 C1和C2，使得下面的不等式成立C1 x X C2 X ，其中 X Rn .2).矩阵范数定义存在Rn n ( n n维复矩阵集合)上的一个

6、非负实值函数，记为 f(A) A，对任意的A, B Rn n均满足以下条件:(2)齐次性:则称为Rn n上的矩阵范数。我们可定义如下的矩阵范数:果对任意nxn矩阵A和任意n维向量x,满足Ax v A m x v，则称矩阵范数 m与向量范数| |v是相容的。3)矩阵的算子范数定理已知Rn上的向量范数| |V , A为n x n矩阵，定义三种常用的矩阵的算子范数其中max(ATA)表示矩阵ATA的最大特征值。对任何算子范数| ,单位矩阵I Rn n的范数为1,即I 1。可以证明：1任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在 与之相容的矩阵范数（如从属范数）2一个矩阵范

7、数可以与多种向量范数相容（如 矩阵m1范数与向量P-范数相容）;多种矩阵范数可以与一个向量范数相容（如 矩阵F 范数和矩阵2范数与向量2范数相容）。3从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。（如，|F与向量卄2、 m与向量相容，但无从属关系）。4并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。4）矩阵范数的性质设|为Rn n矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的 n阶方阵A均有 （A） A .其中（A） max det I A 0为方阵A的谱半径。对于任给的& 0,则存在Rn n上的一种算子范数 M （依赖矩阵A和常数）,使得AM （A）.对于Rnn上的一种算子矩阵

8、范数 ，如果A Rnn且I A a2 a3a2 x a X2 a2 X3 a3从而，相对误差可写成f X2 , X3 f a?月3f a1, a2 , a3 I1.21 3.65 11.21 3.63 9.81 21 10 2 0.00206 #若 x 3.000, a 3.100,则绝对误差x a 0.1,相对误差为:x a 0.100x 3.0000.03330.333 10若 x 0.0003000, a 0.0003100,若 x 0.3000相对误差为:a0.110 4,Xa0.000100X0.0003000104,a0.3100 10a0.1103,Xa0.1 103相对误差为:

9、4则绝对误差x则绝对误差x0.33310 1 ；x 0.3000 104 0.33310 1 ；这个例子说明绝对误差有较大变化时， 相对误差相同。作为精确性的度量,可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。绝对误差例1 . 5:在R2中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。S xX1 1, x R2，x|x1,X R2 , S3 X X1,xR2解：这些点集的共同性质是：它们都是有界、闭的、凸的，关于原点对称的。Xi1/ PP .,1 P.其中Xi表示Xi的模.此范数称P-范数，而且l, 2范数为当p=l,时的范数。而当时，有证明:事实上,max Xi1 i nmax Xi1

10、 i n两边开P次方得n(|xP)i 1，由于Pim，故x1 . 7:证明|2为Cn空间上向量范数。证明：(1)对任给n维向量 X (X1,X2, ,Xn )T Cn ,若 x 0，则 X1,X2,Xn不全为零，故|x|2 J|Xi|2 X22 |x0(2)对任给C , x (Xi,X2, ,Xn )T Cn，则2X22(3)Xi对任给x(Xi,X2, ,Xn)Tcn, y (yi,y2,yn)T Cn则由Cauchy-Schiwatz 不等式:(x,y).(x,x) ,(y,y) X2 y 2 可得x y2 (x y,x y) (x,x) (y, x) (x, y) (y, y)x2 2(x

11、,y) y2x2 2x|y y2= (X2 y2)2。由向量范数的定义，| |2为cn空间上的向量范数。例 1. 8 设 A= 0 2 4，求制 m、Af、I Ai、A 和 A|2。aiji i j i得,(ATA) 20,从而 A 2 , max(ATA) 20 2 5。i.3习题i、填空题1 0 设 A ,则 A1=_5_, A =3_ |Af = 、14, A2=.7 2、10 及 A 的2 3谱半径 (A)= 3 。(2)x (3, 0, 4, 12)T R4，则 |x 1= 19 , x = 12 , x 2= 13(3)记x (X1,X2,X3)t R3，判断如下定义在 R3上的函

12、数是否为 R3上的向量范数 (填是或不是)凶 X1 2x2 3x3 (是)；X X1 2x2 3x3 (不是)；|X X1 x X3(不是)。(4)使, 70 8.36660026534 的近似值a的相对误差限不超过, 应取几有效数字a = .2、 证明(1) X X1 nx ; (2) X X2 nx3、 设II X ”为Rn上任一范数，P Rn n是非奇异矩阵，定义 X = PX，证明：算子 范数 |a p= pap-1 。4、 设A为n阶非奇异矩阵，U为n阶酉矩阵证明：(1)初2 1 ； |au2 W |a25、 已知e 2.71828 ，问以下近似值xa有几位有效数字，相对误差是多少？

13、(1) x e, xA 2.7 (2)x e, xA 2.7e e(3) x , xA 0.027, (4) x , xA 0.02718.100 1006、 给定方程x2 26x 1 0，利用.168 12.961，求精确到五位有效数字的根。并求两个根的绝对误差界和相对误差界。7、 在五位十进制计算机上求100 50S 545494 i i ,i 1 i 1的和，使精度达到最高，其中 j 0.8, i 2。8.在六位十进制的限制下，分别用等价的公式计算f30的近似值，近似值分别为多少？求对数时相对误差有多大?9.若用下列两种方法(1) e 519 i 5i * 5 9 5i *(1)i5 禺

14、，(2) e 5 - X2，i 0 i! i 0 i!10.计算f（.2 1）6，取.2 1.4，直接计算f和利用下述等式1,2 163, 99 70、2 ；2 2计算，那一个最好?11.如何计算下列函数值才比较准确。(1)1 2x 1 x(3) Ndx冬,其中N充分大;x(4),对 xsin x1。习题解答1 、解（是）;为给定向量1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵， W 70即（不是）;不满足向量范数性质 1；a =。因.70 8.36660026534k;，70 a0.001，则一一101n（不是）;不满足向量范数性质1。要是得相对误差限不超过30.1%，101a2、只就（2a116n

15、 0.001 时，有 n 4。2）证明，由定义可得,max xkkXk2 x2max xkk从而,|x| |凶2亦|卜|。3、首先，证明P Px是向量范数。事实上,1）因P Rn n是非奇异矩阵,故 x 0，Px 0，故 Px0时，x 0,且当x 0时，|Px 0,于是,Xp px0当且仅当x0时,Px =0成立;2 )对R，xp PPxPxx y | | PxPy Px向量范数。再Apmaxx 0AXpXpmax卅x0 pxPAPmaxx 01pxPx ，Px，因P非奇异，故x与y为一对一，于是Ap maxPAP 1 y|y|PAP4、证明：（1），由算子范数的定义U 2啤予當曲严H Hx

16、U Ux max 2X 0 2HX X max x 0X 2 max2 x 0 | 22证明：（2），AU 2 . max AU HAU,maxUH AHAUah amaxA2，UAmax UA2此结论表明酉阵具有保H hUA max AU U Amax AH A A2。5、解:（1）由于eXa再由相对误差界的公式,(2)由于e Xa再由相对误差界的公式,2-范数的不变性。e Xa1，由有效数字定义可知,，由有效数字定义可知,xA有2位有效数字；又a1Xa有4位有效数字；又ai(3)由于e Xa-1023,由有效数字疋义可知，Xa有2位有效数字；又 a1 2，再由相对误差界的公式，e Xa1

17、101 2 1 101|Xa|2 2 4(4)由于e Xa-1025,由有效数字疋义可知，Xa有4位有效数字；又 a1 2，再由相对误差界的公式，e Xa1 1014 1 103。|Xa|2 2 46、给定方程x2 26x 1 0，利用,168 12.961，求精确到五位有效数字的根。并求两个根的绝对误差界和相对误差界。解：由二次方程求根公式知，为13 J68 , X2 13 . 168。若利用.168 12.961，则近似根a1 25.961具有5位有效数字，而x2 13 . 168 13 12.961 0.039 a2， 只有2位有效数字。若改用则此方程的两个近似根a1，a2均具有5位有效

18、数字。它们的绝对误差界和相对误差界分别为:x-i a1丄 102 521 “3. |Xl d1 1015 1 10422 25 50计算机作加减法时，先将相加数阶码对齐，根据字长舍入，则6 6 6s 0.54549 10 0.0000008 10 0.0000008 10100个0.000002 106 0.000002 10650个60.54549 10545494由于阶码升为545494与0.00008 10和0.00002 10在计算机上做和时,5位尾数左移变成机器零，这便说明用小数做除数或用大数做乘数时，容易产生大的舍入误差，应尽量避免.21.8 10 0.54549 10O O O0

19、.00018 10 0.54549 10 0.54567 10 545670y 30 29.98338 分析：由于f (x) ln(x x2 1),求f (x)的值应看成复合函数。先令 y x x2 1，由于开方用六位函数表， 则y的误差为已知，故应看成z g(y) ln( y), 由y的误差限y y求g(y)的误差限In(y) ln(y )。解：2当x 30时求y 30 . 30 1，用六位开方表得0.016710 1 0.167，其具有3位有效数字。故由 z g(y) ln( y)得 g (y)若用公式f (x)y 30 29.9833可见，用公式f (x)110kny*y0.5*y0.0

20、167令y xz z-，故y10 4ln(x x2 1),59.9833102 0.599833曰是,ln(x10 1 310 4。曰是,0.3 10 2。x2 1 ,此时 z g(y) ln(y)，则其具有6位有效数字。故102610 4。y*y0.5*y59.9833z10 4x2 1)计算更精确。60.834 10.解：方法（1 ）的误差由Taylor展开可得,ai10! 510，其中在5与0之间。而方法（2）得误差是9 5ii 0 i!由此可知方法近似值。10.解:2）e10!5109 5ii 0 i!9 5i!e 105 10!邑51010!i 0 i!510e10!9 5ii 0

21、i!51010!9 5ii 0 i!，其中得误差是方法（1 ）的19 5i 0 i!倍，故方法143.7给出较准确的所给出的5个公式可分别看作f1 x x 1 6,3 2x 3 , f4 x2的近似值a数计算的误差估计公式可得:f ,2 f af1 af2 2 f2 a11 .以（2 ）和6a63637099 70x3 2x 3 ,3 2x 3 ,1.4时，相应函数的计算值。而卜;2172a2a6a 156 0.45- 2 a0.02 。利用函0.06144 ；6 2.4 70.013086 0.40.24 ；0.005302。由此可见，使用公式3计算时误差最小。（3）为例其它同理解：（2）只需取 x 1 x1xxn i dx 1(3) 2 arctg (N 1) arctg N arctgN 1 x 1 N(N 1)注：令 arctg (N 1),arctg N，则 tgN , tgN 1。由于 arctg (N 1)arctg N ,由差角公式：tg()tg tg 。得1 tg tgx tg tg arctg进而有arctg ( N 1)arctg Narctg1 tg tg1 N (N 1)