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1、互斥事件有一个发生的概率互斥事件有一个发生的概率人教版高中数学必修系列：11.2互斥事件有一个发生的概率(备课资料) 一、参考例题 例1判断下列事件是否是互斥事件. (1)将一枚硬币连抛2次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次正面”； (2)对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A：“两次都击中敌机”, 事件B：“至少有一次击中敌机”. 分析：(1)中两事件不可能同时发生; (2)因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A、B有可能同时发生. 解：(1)事件A与B是互斥事件. (2)事件A与B不是互斥事件. 评述：关键在于判断事件的结果是否有包容关系. 例2在一个

2、袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算： (1)摸出红球或黑球的概率. (2)摸出红球或黑球或白球的概率. 分析：(1)设事件A：“摸出一球是红球”，事件B：“摸出一球是黑球”. 因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的. (2)设事件C：“摸出一球是白球”，则A、B、C彼此互斥. 解：设事件A：“摸出一球是红球”，设事件B：“摸出一球是黑球”，设事件C：“摸出一球是白球”. A与B、B与C、C与A两两互斥, 且P(A)= ，P(B)= ，P(C)(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)(2)

3、由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为 P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)例3某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下. 医生人数012345人以上 概率0.10.160.30.40.20.04 求：(1)派出医生至多2人的概率； (2)派出医生至少2人的概率. 分析：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，P(D)=0.4，P(E)=0.2，P(F)=0.04.由

4、于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求. 解：设事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出5名以上医生”. 事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且 (A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0P(E)=0.2,P(F)=0.04, “派出医生至多2人”的概率为 P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0“派出医生至少2人”的概率为 P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F) =0.3+

5、0.4+0.2+0.04=0例4一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率. 分析：由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：“出现一个次品”和事件B：“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率. 解：设事件A：“出现一个次品”, 事件B：“出现两个次品”, 事件A与B互斥. “出现次品”是事件A和B中有一个发生, P(A)P(B)所求的“出现次品”的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)评述：注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用. 二、参考练习 1.选择题 (1)有10名学生，其中4

6、名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为 A. BD. 答案：D (2)一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为 A. BD. 答案：B (3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为 A.0.50B.00.97D.0.2 答案：B (4)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是 恰有一个奇数和恰有一个偶数 至少有一个是奇数和两个数都是奇数 至少有一个是奇数和两

7、个数都是偶数 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 A.B. C.D. 答案：C 2.填空题 (1)若事件A与B_，则称事件A与B是互斥的；若事件A1，A2，An彼此互斥，则P(A1+A2+An)=_. 答案：不可能同时发生P(A1)+P(A2)+P(An) (2)甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙输的概率是_. 答案： (3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是_. 答案：0.32 (4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为_. 答案

8、：解答题 (1)某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示： 年降水量(单位：mm)， 概率0.100.250.200.12 求：降水量在，范围内的概率； 降水量在，范围内的概率. 解：P=0.20+0.12=0.32， 降水量在，范围内的概率为0.32. P=0.10+0.25+0.20=0降水量在，范围内的概率为0(2)从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率. 分析：“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果. 解：记“取出2个球为红球”为事件A, “取出2个球为白球”为事件B, “取出

9、2个球为黄球”为事则A、B、C彼此互斥, 且P(A)P(B)P(C)“2个球颜色相同”则可记为A+B+C, P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)(3)有币按面值分类如下：壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算： 至少有2枚币值相同的概率； 3枚币值的和为7分的概率. 分析：至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况; 3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况. 解：由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事又P(A)P( )=1- . 设“3枚币值和为7分”为事件B,则P(B)评述：要注意认真分析题意，灵

10、活应用对立事件的概率公式. 备课资料? 一、参考例题 例1抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？ (1)A与B;(2)A与C;(3)B与C. 分析：利用互斥事件与对立事件的概念. 解：(1)事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生, 事件A与B是互斥事件，也是对立事件. (2)事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生. A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件. (3)事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6

11、”，故B与C可能同时发生. B与C不是互斥事件.故也不是对立事件. 例2某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率. 分析：由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解. 解：设事件A：“一次射击击中的不够8环”，事件B：“一次射击击中8环或8环以上”， 事件A与B是互斥事件. 事件A与B中必有一个发生, 事件A与B又是对立事件. P(A)=1-P(B). P(B)=0.24+0.28+0.19=0P

12、(A)=1-0.71=0.29. 该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29. 评述：注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式. 例3有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求： (1)三人都分配到同一个房间的概率； (2)至少有两人分配到同一房间的概率. 分析：(1)因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有444=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求. (2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”, 事件B“三人都分配到不同的房间”, 故事件A与B是对

13、立事件.而P(B)因此，利用对立事件的概率关系可求P(A). 解：(1)根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为 P三人都分配到同一房间的概率为 . (2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”. 事件A与B是对立事件，且P(B)P(A)=1- . 至少有两人分配到同一房间的概率为 . 例4某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率. 分析：设事件A：“至少有一个二级品”，则事件A是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件

14、A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便. 解法一：设事件A：“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的， P(A)= 0.2解法二：事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为 , P(A)=1- 0.2至少有一个二级品的概率约为0.2例5某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？ 分析：设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两

15、名女生”是互斥的，所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P解法一：P(A)解法二：P(A)=1-P( )=1-至少有1名女生的概率是 . 二、参考练习 1.选择题 (1)下列命题中，真命题的个数是 将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件 若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件 若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件 若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件 A.1B.2D.4 答案：B (2)袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球

16、的概率是 A. BD. 答案：B 2.填空题 (1)在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：“所取的都是一级品”，则事件 表示为_. 答案：所取的不都是一级品 (2)口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是_. 答案：0.2 3.解答题 (1)某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求： 选出的2名学生至少有1名是班干部的概率; 选出的2名学生中没有班干部的概率. 解：P=1- . P(2)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以

17、用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求： 组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率; 组成的信号不是由1面信号旗组成的概率. 解：P= = ; P=1- . (3)某班共有学生n(n50)个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率. 解：记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即 . P( )P(A)=1- . (4)某单位的36人的血型分别是：A型的有12人，B型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？ 解：记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型

18、相同”为事件A的对立事件，即 ，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则 发生，而 P( )P(A)=1-P( )=1- . (5)一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是 ，求n的值. 解：记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即 . 又P( )由对立事件的概率公式P(A)+P( )=1，得P(A)=1-即n2+5n-204=0. 解得n=12. 评述：对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率