必背经典算法.docx

1、必背经典算法必背经典算法(pascal)一、数论算法1求两数的最大公约数function gcd(a,b:integer):integer; begin if b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd (b,a mod b); end ;2求两数的最小公倍数function lcm(a,b:integer):integer; begin if a0 do inc(lcm,a); end;3素数的求法A.小范围内判断一个数是否为质数： function prime (n: integer): Boolean; var I: integer; begin for I:=2 to

2、trunc(sqrt(n) do if n mod I=0 then begin prime:=false; exit; end; prime:=true; end;B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）： procedure getprime; var i,j:longint; p:array1.50000 of boolean; begin fillchar(p,sizeof(p),true); p1:=false; i:=2; while i50000 do begin if pi then begin j:=i*2; while j=x then b

3、reak else if x mod pri=0 then exit; prime:=true; end;prime二、图论算法1最小生成树 A.Prim算法： procedure prim(v0:integer); var lowcost,closest:array1.maxn of integer; i,j,k,min:integer; begin for i:=1 to n do begin lowcost:=costv0,i; closest:=v0; end; for i:=1 to n-1 do begin 寻找离生成树最近的未加入顶点k min:=maxlongint; for

4、j:=1 to n do if (lowcostjmin) and (lowcostj0) then begin min:=lowcostj; k:=j; end; lowcostk:=0; 将顶点k加入生成树 生成树中增加一条新的边k到closestk 修正各点的lowcost和closest值 for j:=1 to n do if costk,jlwocostj then begin lowcostj:=costk,j; closestj:=k; end; end; end;primB.Kruskal算法：(贪心) 按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。func

5、tion find(v:integer):integer; 返回顶点v所在的集合 var i:integer; begin i:=1; while (i=n) and (not v in vset) do inc(i); if i0 do begin i:=find(eq.v1);j:=find(eq.v2); if ij then begin inc(tot,eq.len); vset:=vset+vsetj;vsetj:=; dec(p); end; inc(q); end; writeln(tot); end;2.最短路径 A.标号法求解单源点最短路径： var a:array1.max

6、n,1.maxn of integer; b:array1.maxn of integer; b指顶点i到源点的最短路径 mark:array1.maxn of boolean; procedure bhf; var best,best_j:integer; begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); mark1:=true; b1:=0;1为源点 repeat best:=0; for i:=1 to n do If mark then 对每一个已计算出最短路径的点 for j:=1 to n do if (not markj) and (ai,j0)

7、then if (best=0) or (b+ai,j0 then begin bbest_j:=best；markbest_j:=true; end; until best=0; end;bhf B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径： procedure floyed; beginfor I:=1 to n do for j:=1 to n do if aI,j0 then pI,j:=I else pI,j:=0; pI,j表示I到j的最短路径上j的前驱结点 for k:=1 to n do 枚举中间结点 for i:=1 to n do for j:=1 to n do if

8、 ai,k+aj,kai,j then begin ai,j:=ai,k+ak,j; pI,j:=pk,j; end; end;C. Dijkstra 算法：var a:array1.maxn,1.maxn of integer; b,pre:array1.maxn of integer; pre指最短路径上I的前驱结点 mark:array1.maxn of boolean;procedure dijkstra(v0:integer); begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); for i:=1 to n do begin d:=av0,i; if d

9、0 then pre:=v0 else pre:=0; end; markv0:=true; repeat 每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数 min:=maxint; u:=0; u记录离1集合最近的结点 for i:=1 to n do if (not mark) and (dmin) then begin u:=i; min:=d; end; if u0 then begin marku:=true; for i:=1 to n do if (not mark) and (au,i+dud) then begin d:=au,i+du; pre:=u; end; e

10、nd; until u=0; end;3.计算图的传递闭包Procedure Longlink; VarT:array1.maxn,1.maxn of boolean; BeginFillchar(t,sizeof(t),false);For k:=1 to n do For I:=1 to n do For j:=1 to n do TI,j:=tI,j or (tI,k and tk,j); End;4无向图的连通分量A.深度优先 procedure dfs ( now,color: integer); begin for i:=1 to n do if anow,i and c=0 th

11、en begin 对结点I染色 c:=color; dfs(I,color); end;end;B 宽度优先（种子染色法）5关键路径几个定义： 顶点1为源点，n为汇点。a. 顶点事件最早发生时间Vej, Ve j = max Ve j + wI,j ,其中Ve (1) = 0;b. 顶点事件最晚发生时间 Vlj, Vl j = min Vlj wI,j ,其中 Vl(n) = Ve(n);c. 边活动最早开始时间 Ee, 若边I由表示，则Ee = Vej;d. 边活动最晚开始时间 El, 若边I由表示，则El = Vlk wj,k;若 Eej = Elj ，则活动j为关键活动，由关键活动组成的

12、路径为关键路径。求解方法：a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;b. 从汇点起topsort,求Vl;c. 算Ee 和 El;6拓扑排序找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。例 寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO.7.回路问题Euler回路(DFS)定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点）Hamilton回路定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。一笔画充要条件：图连通且奇点个数为0个或2个。9判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法 x,y,t分别表示第I条边的起点，终点和权。共n个

13、结点和m条边。 procedure bellman-ford beginfor I:=0 to n-1 do d:=+infinitive;d0:=0;for I:=1 to n-1 do for j:=1 to m do 枚举每一条边 if dxj+tjdyj then dyj:=dxj+tj;for I:=1 to m do if dxj+tjdyj then return false else return true; end;10第n最短路径问题*第二最短路径：每举最短路径上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。*同理，第n最短路径可在求

14、解第n-1最短路径的基础上求解。三、背包问题*部分背包问题可有贪心法求解：计算Pi/Wi 数据结构： w:第i个背包的重量； p:第i个背包的价值；10-1背包： 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)：A.求最多可放入的重量。NOIP2001 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数，ov20000)，同时有n个物品(on30)，每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。l 搜索方法 procedure search(k,v:integer); 搜索第k个物品，剩余空间为v var i,j:integer; begin if v=be

15、st then exit; sn为前n个物品的重量和 if kwk then search(k+1,v-wk); search(k+1,v); end; end;l DPFI,j为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。实现:将最优化问题转化为判定性问题f I, j = f i-1, j-w (w=j0 then if j+now=n then inc(cj+now,aj); a:=c;end;2可重复背包A求最多可放入的重量。 FI,j为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。状态转移方程为 fI,j = f I-1, j w*k (k=1. j di

16、v w)B.求可以放入的最大价值。 USACO 1.2 Score Inflation 进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。 *易想到： fi,j = max f i- k*wj, j-1 + k*pj (0=k=0 Then Begin t:=problemj.point+fi-problemj.time; If tf Then f:=t; End; Writeln(fM);End.C.求恰好装满

17、的情况数。Ahoi2001 Problem2求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。procedure try(dep:integer); var i,j:integer; begin cal; 此过程计算当前系数的计算结果，now为结果 if nown then exit; 剪枝 if dep=l+1 then begin 生成所有系数 cal; if now=n then inc(tot); exit; end; for i:=0 to n div prdep do begin xsdep:=i; try(dep+1); xsdep

18、:=0; end; end;思路二，递归搜索效率较高 procedure try(dep,rest:integer); var i,j,x:integer; begin if (rest0 then for k:=1 to n div now do if j+now*k=n then inc(cj+now*k,aj); a:=c;end;mainbegin read(now); 读入第一个物品的重量 i:=0; a为背包容量为i时的放法总数 while i=n do begin a:=1; inc(i,now); end; 定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值for i:=2 to

19、 v do begin read(now); update; 动态更新 end; writeln(an);四、排序算法1.快速排序：procedure qsort(l,r:integer); var i,j,mid:integer; begin i:=l;j:=r; mid:=a(l+r) div 2; 将当前序列在中间位置的数定义为中间数 repeat while aimid do dec(j);在右半部分寻找比中间数小的数 if ij; if lj then qsort(l,j); 若未到两个数的边界，则递归搜索左右区间 if ir then qsort(i,r); end;sortB.插

20、入排序：思路：当前a1.ai-1已排好序了，现要插入a使a1.a有序。 procedure insert_sort; var i,j:integer; begin for i:=2 to n do begin a0:=a; j:=i-1; while a0aj then swap(a,aj); end;D. 冒泡排序procedure bubble_sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=n downto i+1 do if ajaj-1 then swap( aj,aj-1); 每次比较相邻元素的关系 end;E.堆排

21、序：procedure sift(i,m:integer);调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数 var k:integer; begin a0:=a; k:=2*i;在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1 while k=m do begin if (km) and (akak+1) then inc(k);找出ak与ak+1中较大值 if a0ak then begin a:=ak;i:=k;k:=2*i; end else k:=m+1; end; a:=a0; 将根放在合适的位置 end;procedure heapsort; var j:integer; begi

22、n for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n); for j:=n downto 2 do begin swap(a1,aj); sift(1,j-1); end;end;F. 归并排序a为序列表，tmp为辅助数组procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer);将已排序好的子序列ap.q与aq+1.r合并为有序的tmpp.r var I,j,t:integer; tmp:listtype; begin t:=p;i:=p;j:=q+1;t为tmp指针，I,j分别为左右子序列的指针 while (t=r) do begin if (ir) or (a=aj) 满足取左边序列当前元素的要求 then begin tmpt:=a; inc(i); end else begin tmpt:=aj;inc(j); end; inc(t); end; for i:=p to r do a:=tmp;end;mergeprocedure merge_sort(var a:listtype; p,r: integer