《三维设计》届高考数学一轮复习教学案基础知识+高频考点+解题训练直线平面垂直的判定与性质.docx

1、三维设计届高考数学一轮复习教学案基础知识+高频考点+解题训练直线平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质知识能否忆起一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直2直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面b3直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab二、平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面

2、过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l小题能否全取1(教材习题改编)已知平面，直线l，若，l，则()A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线l的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线lD垂直于直线l的平面一定与平面、都垂直解析：选DA中平面可与平行或相交，不正确B中直线可与垂直或斜交，不正确C中平面可与直线l平行或相交，不正确2.(2012厦门模拟)如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1D BAA1CA

3、1D1 DA1C1解析：选D易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，A1C1B1O.3已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若，n，mn，则m解析：选C对于选项A，若m，n，则mn，或m，n是异面直线，所以A错误；对于选项B，n可能在平面内，所以B错误；对于选项D，m与的位置关系还可以是m，m，或m与斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确4.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个答案：45(教材习题改编)如图，已知六棱

4、锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB.则下列命题正确的有_PAAD；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；直线PD与平面ABC所成角为30.解析：由PA平面ABC，PAAD，故正确；中两平面不垂直，中AD与平面PAE相交，BCAD，故不正确；中PD与平面ABC所成角为45.答案：1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理3几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直

5、线与已知平面垂直(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直垂直关系的基本问题典题导入例1(2012襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若m、n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，则n；m，n在平面内的射影互相垂直，则m，n互相垂直其中的假命题的序号是_自主解答显然错误，因为平面平面，平面内的所有直线都平行，所以内的两条相交直线可同时平行于；正确；如图1所示，若l，且nl，当m时，mn，但n，所以错误；如图2显然当mn时，m不垂直于n，所以错误答案由题悟法解决此类问题

6、常用的方法有：依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；否定命题时只需举一个反例寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选以题试法1(2012长春模拟)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：若ab，a，b，则b；若a，a，则；若a，则a或a；若ab，a，b，则.其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：选D对于，由b不在平面内知，直线b或者平行于平面，或者与平面相交，若直线b与平面相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“ab”相矛盾，因此正确对于，由a知，在平面内必存在直线a1a，又a，所以有a1，所以，正确对于，若直线a与平面相交于点A，过点

7、A作平面、的交线的垂线m，则m，又，则有am，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此正确对于，过空间一点O分别向平面、引垂线a1、b1，则有aa1，bb1，又ab，所以a1b1，所以，因此正确综上所述，其中正确命题的个数为4.直线与平面垂直的判定与性质典题导入例2(2012广东高考)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.自主解答(1)证明：因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHA

8、B.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.(2)如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EGPH，且EGPH.因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD.因为AB平面PAD，AD平面PAD，所以ABAD.所以底面ABCD为直角梯形所以VEBCFSBCFEGFCADEG.(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，所以MDA

9、B.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用判定定理的推论(ab，ab)(3)利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面以题试法2(2012启东模拟)如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.证明：(1)连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，ANPC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAABA，BC平面

10、PAB.BCPB.从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BNPC.ANBN.ABN为等腰三角形，又M为AB的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.(2)连接PM，MC，PDA45，PAAD，APAD.四边形ABCD为矩形，ADBC，APBC.又M为AB的中点，AMBM.而PAMCBM90，PAMCBM.PMCM.又N为PC的中点，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面PCD.面面垂直的判定与性质典题导入例3(2012江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)

11、平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.自主解答(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面

12、ADE，所以A1F平面ADE.由题悟法1判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直以题试法3(2012泸州一模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点(1)若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；(2)若点M在线段PC上，且PMtPC(t0)，试确定实数t的值，使得PA平面MQB.解：(1)因为PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.连接BD，因为四边形ABCD为菱形，BAD60，所

13、以ABBD.所以BQAD.因为BQ平面PQB，PQ平面PQB，BQPQQ，所以AD平面PQB.因为AD平面PAD，所以平面PQB平面PAD.(2)当t时，PA平面MQB.证明如下：连接AC，设ACBQO，连接OM.在AOQ与COB中，因为ADBC，所以OQAOBC，OAQOCB.所以AOQCOB.所以.所以，即.由PMPC，知，所以，所以APOM.因为OM平面MQB，PA平面MQB，所以PA平面MQB.1(2012杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分条件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b解析：选C对于选项C，在平面内存在cb，因为a，所以ac

14、，故ab；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定有ab.2设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题若，则；若l上两点到的距离相等，则l；若l，l，则；若，l，且l，则l.其中正确的命题是()A BC D解析：选D对于：若，则，前者不是后者的充分条件，比如当时，也有，.对于：显然错误，当l，lA时，l上到A距离相等的两点到的距离相等显然正确3给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，是一个平面，若l，lm，则m；(3)已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的充要条件；(4)a，b是两条

15、异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行其中正确命题个数是()A0 B1C2 D3解析：选B(1)错，也可能相交；(2)正确；(3)“”是“m”的必要条件，命题错误；(4)当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面，命题错误4.(2013济南模拟)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析：选A由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1.又AC面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上5.(2012曲阜师大附中质检)

16、如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是()A BC D解析：选B对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，BCAC.BC平面PAC.又PC平面PAC，BCPC；对于，点M为线段PB的中点，OMPA.PA平面PAC，OM平面PAC；对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确6.(2012济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱

17、锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下面命题正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析：选D在平面图形中CDBD，折起后仍有CDBD，由于平面ABD平面BCD，故CD平面ABD，CDAB，又ABAD，故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC.7.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：D

18、MPC(或BMPC等)8(2012忻州一中月考)正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的长为_解析：如图，设ACBDO，连接SO，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，易知ACEF，GHSO，GH平面ABCD，ACGH，AC平面EFG，故动点P的轨迹是EFG，由已知易得EF，GEGF，EFG的周长为，故动点P的轨迹长为.答案：9.(2013蚌埠模拟)点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD

19、1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是_解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1BC1.BC1平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，三棱锥PAD1C的体积不变又VPAD1CVAD1PC，正确平面A1C1B平面AD1C，A1P平面A1C1B，A1P平面ACD1，正确由于DB不垂直于BC1显然不正确；由于DB1D1C，DB1AD1，D1CAD1D1，DB1平面AD1C.DB1平面PDB1，平面PDB1平面ACD1，正确答案：10. 如图所示，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形(

20、1)求证：DM平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC.证明：(1)由已知，得MD是ABP的中位线，所以MDAP.又MD平面APC，AP平面APC，故MD平面APC.(2)因为PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MDPB.所以APPB.又APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.因为BC平面PBC，所以APBC.又BCAC，ACAPA，所以BC平面APC.因为BC平面ABC，所以平面ABC平面APC.11.(2012北京海淀二模)如图所示，PA平面ABC，点C在以AB为直径的O上，CBA30，PAAB2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OMAC.(1)求证：平面MOE平面PAC；(2)

21、求证：平面PAC平面PCB.证明：(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OEPA.因为PA平面PAC，OE平面PAC，所以OE平面PAC.因为OMAC，且AC平面PAC，OM平面PAC，所以OM平面PAC.因为OE平面MOE，OM平面MOE，OEOMO，所以平面MOE平面PAC.(2)因为点C在以AB为直径的O上，所以ACB90，即BCAC.因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.因为AC平面PAC，PA平面PAC，PAACA，所以BC平面PAC.因为BC平面PCB，所以平面PAC平面PCB.12(2012珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯

22、形，ABCD，四边形ACFE是矩形，平面ACFE平面ABCD，ADDCCBAEa，ACB.(1)求证：BC平面ACFE；(2)若M是棱EF上一点，AM平面BDF，求EM的长解：(1)证明：因为ACB，所以BCAC.又因为BC平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，平面ACFE平面ABCD，所以BC平面ACFE.(2)记ACBDO，在梯形ABCD中，因为ADDCCBa，ABCD，所以ACDCABDAC.所以ABCBCDDABACDACB3DAC，所以DAC，即CBO.又因为ACB，CBa，所以COa.连接FO，由AM平面BDF得AMFO，因为四边形ACFE是矩形，所以EMCOa.1.如图，在

23、三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：选C要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.2如图所示，b，c在平面内，acB，bcA，且ab，ac，bc，若Ca，Db，则ACD是()A锐角三角形 B直角

24、三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选Bab，bc，acB，b面ABC，ADAC，故ACD为直角三角形3.(2012莆田模拟)如图，在三棱锥PABC中，PAC，ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB1.(1)现给出三个条件：PB；PBBC；平面PAB平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA平面ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥PABC的体积解：法一：(1)选取条件在等腰直角三角形ABC中，AB1，BC1，AC.又PAAC，PA.在PAB中，AB1，PA.又PB，AB2PA2PB2.PAB90，即PAAB.又PAAC，ABACA，PA平面ABC.(2)依题意

25、得，由(1)可知PA平面ABC，V三棱锥PABCPASABC12.法二：(1)选取条件PBBC，又ABBC，且PBABB，BC平面PAB.PA平面PAB，BCPA.又PAAC，且BCACC，PA平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知PA平面ABC.ABBC1，ABBC，AC，PA，V三棱锥PABCPASABCABBCPA11.法三：(1)选取条件若平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，BC平面ABC，BCAB，BC平面PAB.PA平面PAB，BCPA.PAAC，且BCACC，PA平面ABC.(2)同法二1(2012福建高考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M为棱DD1上的一点(1)求三棱锥AMCC1的体积；(2)当A1MMC取得最小值时，求证：B1M平面MAC.解：(1)由长方体ABCDA1B1C1D1知，AD平面CDD1C1，点A到平面CDD1C1的距离等于AD1.又SMCC1CC1CD211，VAMCC1ADSMCC1.(