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1、不等关系与不等式 高考复习第三章不等式第12课 不等关系与不等式最新考纲内容要求ABC不等式的性质1实数的大小顺序与运算性质的关系(1)abab0；(2)abab0；(3)ababbbb，bcac；(单向性)(3)可加性：abacbc；(双向性)ab，cdacbd；(单向性)(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(单向性)(5)乘方法则：ab0anbn(nN，n2)；(单向性)(6)开方法则：ab0(nN，n2)；(单向性)(7)倒数性质：设ab0，则a.(双向性)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)abac2bc2.()(2)a

2、b0，cd0.()(3)若不等式ax2bxc0.()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列四个结论，正确的是_(填序号)ab，cbd；ab0，cdbd；ab0；ab0.利用不等式的同向可加性可知正确；对于，根据不等式的性质可知acb0可知a2b20，所以，所以不正确3已知a0，1bab2a由1b0，可得bb21.又aab2a.4已知一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x个单位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出x满足的不等关系_三边分别缩短x个单位长度后，三边分别为15

3、x,19x,23x个单位长度，由题意可知，构成钝角三角形需满足5(2017吉林长春二模)若a，bR，且ab，则下列不等式恒成立的是_(填序号)a2b2；1；2a2b；lg(ab)0.取a1，b2，排除，.比较两个数(式)的大小(1)已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是_(2)若a，b，c，则a，b，c的大小关系为_. 【导学号：62172069】(1)cba(2)abc(1)由cb44aa2(2a)20得cb.又由得b1a2.又ba1a2a20，故ba.cba.(2)令f(x)ln x，则a，b，c可以看作点(3，ln 3)，(4，ln 4)，(5，

4、ln 5)与原点连线的斜率显然abc.规律方法比较大小的两类方法：变式训练1已知xR，m(x1)，n(x2x1)，则m，n的大小关系为_mnmn(x1)(x2x1)0.mn.不等式的性质若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是_(填序号)法一：由0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以0，0.故，故正确中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误中，因为ba0，又0，所以ab，故正确中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正

5、确法二：因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误综上，可知正确规律方法解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证 ；二是利用特殊值法排除利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件变式训练2若a0ba，cd0，则下列命题：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中能成立的命题为_a0b，cd0，ad0，bc0，则adbc，错误由a0ba，知ab0，又cd0，因此a(c)(b)(d)，即acbd0，0，故正确显然acbd，正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，正确不等式的应用

6、设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_. 【导学号：62172070】5,10法一：设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即5f(2)10.法二：由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三：由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值43

7、2110，5f(2)10.规律方法由af(x，y)b，cg(x，y)d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向可乘的性质求得F(x，y)的取值范围变式训练3已知函数f(x)ax2c，且f(1)4，1，f(2)1,5，则f(3)的取值范围为_1,20法一：f(x)ax2c，f(3)9acf(1)f(2)又4f(1)1，1f(2)5，f(1)，f(2)，1f(3)20，f(3)的取值范围为1,20法二：设f(3)f(1)f(2)，9ac(ac)(4ac)，解得f(3)f(1

8、)f(2)又4f(1)1，1f(2)5，f(1)，f(2)，1f(3)20，f(3)的取值范围为1,20思想与方法1倒数性质，若ab0，则abNMNa1a2a1a21(a11)(a21)a1，a2(0,1)，a110，a210，即MN.2设，那么2的取值范围是_，2(0，)又，2.3用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为_. 【导学号：62172071】设矩形的宽为x m，面积为S m2，根据题意得Sx(302x)216,0302x18，4设abc0，x，y，z，则x，y，z

9、的大小关系是_(用“”连结)zyxabc0，y2x2b2(ca)2a2(bc)22c(ab)0，则y2x2，即yx.同理可证zy.zyx.5设a，b是实数，则“ab1”是“ab”的_条件充分不必要因为a，若ab1，显然a0，则充分性成立，当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立6(2016北京高考改编)已知x，yR，且xy0，则下列不等关系正确的是_(填序号)0； sin xsin y0；xy0.函数yx在(0，)上为减函数，当xy0时，xy，即xyy0y0时，不能比较sin x与sin y的大小，故错误；xy0xy0/ ln(xy)0/ ln xln y0，故错误7设

10、ab1，c0，给出下列三个结论：；acbc；logb(ac)loga(bc)其中所有正确结论的序号是_由ab1，c0得，；幂函数yxc(c0)是减函数，所以acbc；因为acbc，所以logb(ac)loga(ac)loga(bc)，均正确8已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是_. 【导学号：62172072】(，1)ab2aab，a0，当a0时，b21b，即解得b1；当a0时，b21b，即无解综上可得b1.9设x，y为实数，满足3xy28,49，则的最大值是_27将49两边平方，得1681.由3xy28，得.由，得227，即的最大值是27.10已知ab0，则与的大小关系是_(

11、ab).ab0，(ab)20，a2b20，0，.二、解答题11若ab0，cd0，e0.求证：.证明cd0，cd0.又ab0，acbd0，(ac)2(bd)20，0.又e0，.12某单位组织职工去某地参观学习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 【导学号：62172073】解设该单位职工有n人(nN)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1xx(n1)xnx，y2nx.所以y1y2xnxnxxnxx.当n5时，y1y2；当n

12、5时，y1y2；当n5时，y1y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠B组能力提升(建议用时：15分钟)1设x表示不超过x的最大整数，x，y满足方程组如果x不是整数，那么xy的取值范围是_(93,94)化为：解得x20，y73.x不是整数，20x21.93xy0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号且不为零)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数

13、的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)2若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2Da2b22ab(ab)2

14、0，A错误；对于B，C，当a0，b0，22.3(2016安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为()A7 B.8C9 D.10Ca，b都是正数，5529，当且仅当b2a0时取等号，故选C.4若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于() 【导学号：01772209】A1 B.1C3 D.4C当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，选C.5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.25设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为(202x)(10x)m，

15、则yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.利用基本不等式求最值(1)(2015湖南高考)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2C2 D.4(2)(2017郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_(1)C(2)3(1)由知a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.(2)由x22xy30得yx，则2xy2xx23，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3.规律方法1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”2在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，

16、可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式变式训练1(1)(2016湖北七市4月联考)已知a0，b0，且2ab1，若不等式m恒成立，则m的最大值等于()A10 B.9C8 D.7(2)(2016湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足mn0，mn1，则的最大值为_(1)B(2)4(1)41525229，当且仅当ab时取等号又m，m9，即m的最大值等于9，故选B.(2)mn0，mn1，m0，n0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)2，ab1，a0，b0，2224，3分8(当且仅当ab时等号成立).5分(2)法一：a0，b0，ab1，112，同理12，

17、52549，10分9(当且仅当ab时等号成立).12分法二：1，由(1)知，8，10分故19.12分规律方法1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形2利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到变式训练2设a，b均为正实数，求证：ab2. 【导学号：01772210】证明由于a，b均为正实数，所以2，3分当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab22，当且仅当ab时等号成立，

18、所以abab2，8分当且仅当即ab时取等号.12分基本不等式的实际应用运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(h)，y214，x50,100.2分所以这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x.(或yx，x).5分(2)yx26 ，当且仅当x，即x18，等号成立.8分故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.12分规律方法1.设变量

19、时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值3在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解变式训练3某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解(1)由题

20、意得，y，即yx1.5(xN*).5分(2)由基本不等式得：yx1.521.521.5，8分当且仅当x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分思想与方法1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解2基本不等式的两个变形：(1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)(2)(a0，b0，当且仅当ab时取等号)易错与防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致课时分层训练(七)二次函数与幂函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k() 【导学号：01772040】A. B.1C. D.2C由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.2函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值