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1、M04pptConvertor第四章 数学规划模型 4.1 奶制品的生产与销售4.2 自来水输送与货机装运4.3 汽车生产与原油采购4.4 接力队选拔和选课策略4.5 饮料厂的生产与检修4.6 钢管和易拉罐下料y数学规划模型 实际问题中的优化模型x决策变量f(x)目标函数gi(x)0约束条件多元函数条件极值 决策变量个数n和约束条件个数m较大 最优解在可行域的边界上取得 数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析企业生产计划4.1 奶制品的生产与销售 空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、

2、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。例1 加工奶制品的生产计划50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？ 每天：x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利 243x1 获利 164 x2 原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 每天获利约束条件非负约束 线性规划模型(LP)时间48

3、0小时 至多加工100公斤A1 模型分析与假设 比例性 可加性 连续性 xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比 xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比 xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关 xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关 xi取值连续 A1,A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与相互产量无关的常数加工A1,A2的牛奶桶数是实数 线性规划模型模型求解 图解法 目标函数 z=c (常数) 等值线在B(20,30)点得到最优解目标函数和约束条件是

4、线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。 模型求解 软件实现 LINDO 6.1 max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100endOBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000

5、000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。 结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 4

6、0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2原料无剩余时间无剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三种资源“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束） 结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3)

7、0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量 原料增加1单位, 利润增长48 时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润影子价格 35元可买到1桶牛奶，要买吗？35 48, 应该买！聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1

8、 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000最优解不变时目标函数系数允许变化范围 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yesx1系数范围(64,96)

9、 x2系数范围(48,72) A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划 x1系数由24 3=72增加为303=90，在允许范围内 不变！(约束条件不变)结果解释 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CUR

10、RENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加10 时间最多增加53 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？最多买10桶!(目标函数不变)例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？50桶牛奶,

11、 480小时 至多100公斤A1 B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？出售x1 千克 A1, x2 千克 A2， X3千克 B1, x4千克 B2原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 利润约束条件非负约束 x5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B2附加约束 模型求解 软件实现 LINDO 6.1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4

12、0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680

13、000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2结果解释每天销售168 千克A2和19.2 千克B1， 利润

14、3460.8（元）8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，将得到的24千克A1全部加工成B1 除加工能力外均为紧约束结果解释OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.00000

15、0 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000增加1桶牛奶使利润增长3.1612=37.92增加1小时时间使利润增长3.26 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？投资150元增加5桶牛奶，可赚回189.6元。（大于增加时间的利润增长）结果解释B1,B2的获利有10%的波动，对计划有无影响 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RA

16、NGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY B1获利下降10%，超出X3 系数允许范围B2获利上升10%，超出X4 系数允许范围波动对计划

17、有影响生产计划应重新制订：如将x3的系数改为39.6计算，会发现结果有很大变化。 4.2 自来水输送与货机装运生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。其他费用:450元/千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 例1 自来水输送收入：900元/千吨 支出总供水量：160确定送水方案使利润最大问题分析 总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍利润 = 收入(900) 其它费用(450) 引水管理费供应

18、限制B, C 类似处理问题讨论 确定送水方案使利润最大需求约束可以不变求解OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000

19、 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 这类问题一般称为“运输问题”(Transportation Problem)总利润 88700（元） 如何装运，使本次飞行获利最大？ 三个货舱最大载重(吨),最大容积(米3) 例2 货机装运三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例 飞机平衡决策变量 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨）i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓)模型假设 每种货物可以分割到任意小；货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙； 模型建立

20、 货舱容积 目标函数(利润)约束条件货机装运模型建立 货舱重量 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量约束条件平衡要求 货物供应 货机装运模型建立 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.00000

21、0 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 货物2：前仓10,后仓5； 货物3: 中仓13, 后仓3；货物4: 中仓3。货机装运模型求解 最大利润约121516元货物供应点货舱需求点平衡要求如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？例1 汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月

22、的现有量。 制订月生产计划，使工厂的利润最大。4.3 汽车生产与原油采购设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1, x2, x3汽车厂生产计划 模型建立 线性规划模型(LP)模型求解 3） 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000

23、 0.731183 3) 0.000000 0.003226结果为小数，怎么办？1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？IP可用LINDO直接求解整数规划(Integer Programming,简记IP)“gin 3”表示“前3个变量为整数”，等价于：gin x1gin x2gin x3 IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632 max 2x1+3x2+4

24、x3st1.5x1+3x2+5x3600280x1+250x2+400x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 模型求解 IP 结果输出其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：方法1：分解为8个LP子模型 汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=80，x2= 150，x3=0，

25、最优值z=610LINDO中对0-1变量的限定：int y1int y2int y3 方法2：引入0-1变量，化为整数规划 M为大的正数，可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=0

26、或 80最优解同前 NLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法3：化为非线性规划 非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 x1=0 或 80应如何安排原油的采购和加工 ？ 例2 原油采购与加工 市场上可买到不超过1500吨的原油A： 购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨； 购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨； 购买量超过1000吨

27、时，超过1000吨的部分6000元/吨。 决策变量 目标函数问题分析 利润：销售汽油的收入 - 购买原油A的支出 难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂原油A的购买量,原油A, B生产汽油甲,乙的数量c(x) 购买原油A的支出利润(千元)c(x)如何表述？原油供应 约束条件x 500吨单价为10千元/吨； 500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨 x 1500吨，超过1000吨的6千元/吨。 目标函数目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划； 对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解。 汽油含原油A的比例限制 约束条件x1 , x2 , x3 以价格10, 8, 6(千元/吨)采购A的吨数目标函数 只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2方法1 非线性规划模型，可以用LINGO求解模型求解x= x1+x2+x3, c(x) = 10x1+8x2+6x3 500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨x= x1+x2+x3, c(x) = 10x1+8x2+6x3 方法1：LINGO求解Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21