小学数学等差数列求和教案模板.docx

1、小学数学等差数列求和教案模板等差数列求和教学目标通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讲授法.教学过程 一.新课引入提出问题（播放媒体资料）一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放1支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见课件展示） 二.讲解新课（板书）等差数列前 项

2、和公式 公式推导（板书）问题（幻灯片）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两式左右分别相加，得，于是有.这就是倒序相加法.思路三受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是.于是得到了两个公式（投影片）和 .公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.公式的应用公式中含有四个量，运用方程的思想，知三

3、求一.例求和（1） ；（2） （结果用 表示）解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例等差数列 中前多少项的和是99？本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.三.小结推导等差数列前 项和公式的思路；公式的应用中的数学思想.等差数列求和教学目标掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式 （1）了解等差数列前推导的过程，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前 公式与前项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；（3）会利用等差数列

4、通项公式与前 项和的公式研究 的最值.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学建议 （1）知识结构本节内容是等差数列前 前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方

5、程组，共同运用，解决有关问题 （2）重点、难点分析教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要等差数列前 变用公式、前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上 （3）教法建议本节内容分为两课时，一节为公式推导及简

6、单应用，一节侧重于通项公式与前 式综合运用.前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.项和公强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.补充等差数列前项和的最大值、最小值问题.项和公式.用梯形面积公式记忆等差数列前等差数列的前教学目标通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式教学设计示例项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点 教学重点是等差数列的前 教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讲授法.项和公式的推导和应用，难点是获得推导公

7、式的思路.教学过程 一.新课引入提出问题一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放1支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是（板书）“ ”这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这1个数可以分为5组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于11，5个11就等于55了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？ 二.讲解新

8、课 （板书）等差数列前 公式推导（板书） 项和公式问题（幻灯片）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两式左右分别相加，得，于是有.这就是倒序相加法.思路三受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是.于是得到了两个公式（投影片）和 .公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前 等差数列前 项和的两个公式.项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着公式的应用公式中含有四个

9、量，运用方程的思想，知三求一. 例求和（1） ；（2） （结果用 表示）解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例等差数列 中前多少项的和是99？本题实质是反用公式，解一个关于 三.小结推导等差数列前的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.项和公式的思路；公式的应用中的数学思想.四.板书设计课题等比数列前 项和的公式教学目标（1）通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和.（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.教学重

10、点，难点教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.教学方法引导发现法.教学过程一、新课引入（问题见教材第26页）提出问题1222229=二、新课讲解记s1222229，式中有3项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有29项是对应相等的，作差可以相互抵消.即s1222229， 2s22222923, 得 2ss231,即s231; 由此对于一般的等比数列，其前n项和sna1a1qa1q2a1q3a1qn1，如何化简？等比数列前项n和公式仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比q，即sna1a1qa1q2a1q3a1qn1 , 两端同乘以q ，得2sna

11、1qa1q2a1q3a1qn1a1qn, 得（提问学生如何处理，适时提醒学生注意 的（1-q）sna1a1qn ，取值）当q1时，由可得snna1,（不必导出，但当时设想不到） 当q1时，由得a1(1qn)。sn1q反思推导求和公式的方法错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.（板书）例题求和s1234n 234n22222设, 其中n为等差数列，为2n等比数列，公比为1，利用错位相减法求和.2解s1*344nn22222两端同乘以1，得 2111111 s2233445nn1222222两式相减得111111ns234nn12222222于是， 所以1n11s2n1n(

12、1n)1222ns2n112212说明错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.三、小结等比数列前n项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；用错位相减法求一些数列的前n项和.一、教学目标等差数列求和教案知识与能力通理解等差数列的前 项和定义，理解倒序相加的原理，记忆两种等差数列求和公式。过程和方法让学生学会自主学习和合作学习，体会特殊到一般的数学方法。情感态度与价值观形成严谨的逻辑推理能力，引导对数学的兴趣。二、教学重点教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，已知其中三个量，求另两个值。教学难点获得公式推导的思路三、教学过

13、程 新课引入故事提出问题泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，位于印度，是国王为他心爱的妃子而建，传说泰姬陵中有一个三角形图案，以相同大小圆宝石镶嵌而成，共有1层，你知道这个图案一共有多少颗宝石吗？（板书）“讲解新课（板书）等差数列前 项和 公式推导（板书）问题1“S=1+2+3+4+、+n（倒序相加法）分小组讨论问题2”，两式左右分别相加，得，于是 .于是得到了两个公式和3、知识巩固（1）；（2）4、课堂小结等差数列前 项和公式；（结果用 表示）倒序相加法和分类讨论法的数学思想等差数列教学目的1明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题教学重

14、点等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点等差数列的性质教学过程引入 5，15，25，35，和 3，2995，299，2985，请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？共同特征从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误每相邻两项的差相等-应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列二、讲解新课1等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d 公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列an,若anan1=d (与n无

15、关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公2等差数列的通项公式ana1(n1)d【或anam(nm)d】 an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得a2a1d即a2a1da3a2d即a3a2da12da4a3d即a4a3da13d由此归纳等差数列的通项公式可得ana1(n1)d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a如数列1，2，3，4，5，6；an1(n1)1n（1n6）数列1，8，6，4，2，；an1(n1)(2)122n（n1） 数列1234;,;,1,;an1(n1)1n（n1） 5555555由上述关系还可得ama1(m1)d即a1am(m1)

16、d则ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d即的第二通项公式anam(nm)d d=amanmn如a5a4da32da23da14d三、例题讲解例1 求等差数列8，5，2的第2项 -41是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解由a18,d58253n=2，得a28(21)(3)49 由a15,d9(5)4得数列通项公式为an54(n1)由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得4154(n1)成立解之得n=1，即-41是这个数列的第1例2 在等差数列an中，已知a51，a1231，求a1,d,a2,an解法一a51，a1231，则 a14d1a12ana

17、1(n1)d3n5d3a111d31a2a119d55解法二a12a57d3117dd3a2a128d55ana12(n12)d3n小结第二通项公式anam(nm)d例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算usutst解通过计算发现usut的值恒等于公差st证明设等差数列un的首项为u1，末项为un，公差为d，usu1(s1)dutu1(t1)d-得usut(st)dusutd st(1) (2)小结这就是第二通项公式的变形，几何特征，直线的斜率例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为11cm，中间还有1级，各级的宽度成等差数列，计算中间

18、各解设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知a1=33,a12=11，n=12a12a1(121)d,即1=33+11d解得d7因此，a23374,a34747,a454,a561,a668,a775,a882,a989,a196,a1113,答梯子中间各级的宽度从上到下依次是4cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，13cm.例5 已知数列an的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n2）是不是一个

19、与n无关的常解当n2时, （取数列an中的任意相邻两项an1与an（n2）anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p为常数an是等差数列，首项a1pq，公差为注若p=，则an是公差为的等差数列，即为常数列q，q，q，若p, 则an是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.数列an为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q (p、q是常数3通项公式判断数列是否是等差数列的方法是否满足3四、练习（1）求等差数列3，7，11，的第4项与第1项.解根据题意可知a1=3,d=73=该数列的通项公式为an=3+（n

20、1）4,即an=4n1（n1,nN*） a4=441=15, a1=411=3（2）求等差数列1，8，6，的第2项.解根据题意可知a1=1,d=81=该数列的通项公式为an=1+（n1）（2）,即an=2n+12,a2=22+12=2评述要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）1是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解根据题意可得a1=2,d=92=此数列通项公式为an=2+（n1）7=7n令7n5=1,解得n=15,1是这个数列的第15项.（4）2是不是等差数列，31，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解由题意可知a1=,d=31此数列的通项公式

21、为an=7n+7,令7n+7=2,解得n=472227因为7n+7=2没有正整数解，所以2不是这个数列的项.在等差数列an中，（1）已知a4=1,a7=19,求a1与d; （2）已知a3=9, a9=3,求a1a1解（1）由题意得a13d1,解之得d3a16d19（2）解法一由题意可得a12d9,解之得a111d1a18d3该数列的通项公式为an=11+（n1）（1）=12n,a12= 解法二由已知得a9=a3+6d,即3=9+6d,d=1 又a12=a9+3d,a12=3+3（1）=.课时小结五、小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式anan1=d ，（n2，nN）.其

22、次，要会推导等差数列的通项公式ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式anam(nm)d和an=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.数学教案等差数列_高一数学教案_模板1等差数列目的要求学生掌握等差数列的概念等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。重点要证明数列an为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n1,且nN*） 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d (n1,且nN*).3等到差中项若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且难点等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。等差

23、数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。过程一、引导观察数列4，5，6，7，8，9，1， 3，-3，-6， ， ， ， ， 12，9，6，3，特点从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 “等差” 二、得出等差数列的定义（见P115）注意从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1名称AP 首项公差2若则该数列为常数列3寻求等差数列的通项公式由此归纳为当 时（成立）注意: 1 等差数列的通项公式是关于 的一次函数2 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP 证明若它是以 为首项， 为公差的AP

24、。3 公式中若则数列递增， 则数列递减4 图象一条直线上的一群孤立点三、例题注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以求出另一个。例1 （P115例一）例2 （P116例二） 注意该题用方程组求参数 例3 （P116例三） 此题可以看成应用题 四、关于等差中项如果 成AP 则证明设公差为 ，则例4 教学与测试P77 例一在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。解一 是-1与7 的等差中项 又是-1与3的等差中项 又是1与7的等差中项 解二设所求的数列为-1，1，3，5，7 五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法1定义法即证明例5、已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列

25、，并求其首项、公差、通项公式。解当 时时 亦满足 首项 成AP且公差为6 2中项法即利用中项公式，若 则 成AP。例6 已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。证明 ， ， 成AP 化简得= ， ， 也成AP 3通项公式法利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。例7 设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？解时 时 数列 不成AP 但从第2项起成AP。五、小结等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法 六、作业P118 习题32 1-9 七、练习1已知等差数列an，（1）an=2n+3,求a1和d （2）a5=2,a2=-35,写出数列的通项公式及a1. 在数列a

26、n中，an=3n-1，试用定义证明an是等差数列，并求出其公差。注不能只计算a2-a1、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。3在1和11中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。4在两个等差数列2，5，8，与2，7，12，中，求1到2内相同项的个数。分析本题可采用两种方法来解。（1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据 相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。（2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。5在数列an中, a1=1,a

27、n=,(n2),其中Sn=a1+a2+an.证明数列是等 差数列，并求Sn。分析只要证明 (n2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化 为Sn-Sn-1后再变形，便可达到目的。6已知数列an中，an-an-1=2(n2), 且a1=1，则这个数列的第1项为（ ）A 18 B 19 C 2 D21 7已知等差数列an的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（ ）A 2n-5 B 2n+1 C 2n-3 D 2n-1 已知m、p为常数，设命题甲a、b、c成等差数列；命题乙ma+p、mb+p、mc+p 成等差数列，那么甲是乙的（ ）A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件

28、 D既不必要也不充分条件 9（1）若等差数列an满足a5=b,a1=c(bc),则a15=（2）首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是（3）在正整数1至5之间能被11整除的整数的个数是1已知a5=11,a8=5,求等差数列an的通项公式。11设数列an的前n项Sn=n2+2n+4(nN*) (1) 写出这个数列的前三项a1,a2,a3; (2) 证明除去首项后所成的数列a2,a3,a4是等差数列。12已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有1项，问它们有多少个共同的项？13若关于x的方程x2-x+a=和x2-x+b=（ab）的4个根可以组成首项为 的等到差数列，求a+b 的值。教学目标通过教学使学生理解等比