初中数学 线段的垂直平分线学案.docx

1、初中数学 线段的垂直平分线学案线段的垂直平分线（一）一、知识点1：线段垂直平分线的性质： 例1如图，在ABC中，AB=AC=32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求BCN的周长。对应训练：1、如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ABD 的周长为13cm，求ABC的周长。2、已知ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，ABC和DBC的周长分别是60cm和38cm，求ABC的腰长和底边的长3如图7，ABC中，BA=BC，B=120，AB的垂直平分线交AC于点D，求证：AD=DC4、ABC中，C=90，A=15,AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E,AD

2、=3,则CD= 二、知识2：线段垂直平分线的判别： 例2、如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD,CB=CD(1) 小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线ACBD,垂足为E,并且BE=ED，你同意小明的判断吗？请说明理由(2) 设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积对应训练：如图，已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE。课堂检测：1、已知：是等腰三角形，ED为腰AB的垂直平分线，的周长为24cm，腰长为14cm，求底边BC的长。 2已知：如图，中，C，的垂直平分线交于，是垂足，且，求的面积。 3、已知

3、：如图，中，的中垂线交于，的中垂线交于，、为垂足，若，求证：4、已知，D是直角斜边AC的中点，于D交BC于E，求：的度数。 拓展提高：1、 如图，已知ABC中，点D在BC上，连接AD，作AD的垂直平分线交AD于E，交BC延长线于F，连接AF,若B=CAF求证：AD是BAC的平分线2、 如图，AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于E，EFAD交BC于F，求证：FAC=B线段的垂直平分线（二）一、知识点1：线段垂直平分线的尺规作图：例1、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。已知：线段a，h(如图)求作：ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。作法：二、知识点2：三角形三边中垂线的性质定理

4、：三角形三条边的垂直平分线 ，并且这一点到三个顶点的距离 三种三角形三边中垂线交点的位置不同：锐角三角形交点在三角形 钝角三角形交点在三角形 直角三角形交点在三角形 例2、如图6，ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E求证：点O在AC的垂直平分线上对应训练：1、到平面上三点 A，B，C距离相等的点（ ）A只有一个 B有二个 C三个或三个以上 D一个或没有2、如果一个三角形的三边中垂线的交点恰好在三角形的一边上，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形3、在锐角三角形ABC中，A=60，AB，AC两边的垂直

5、平分线相交于点O，则BOC=4、ABC中，ABC=135，MN垂直平分AB交AC于点N，EF垂直平分BC交AC于点F，那么NBF是三角形课堂检测：1、如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?2、已知线段a，求作以为a底、以a为高的等腰三角形。这个等腰三角形有什么特征？ 3、已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P。如果点P在直线外呢？拓展提高：1、如图，已知在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点B，求A的度数2、如图，在RtABC中，ACB=90，D

6、是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F,求证：BE垂直平分CD3、如图，在等边ABC中，ABC, ACB的平分线相交于点O，BO、CO的垂直平分线与BC分别相交于点E、F，求证：BE=EF=FC4、如图，在ACB中，ACB=90，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上5、如图，在ACB中，B=22.5，AB的垂直平分线交BC于点D，DFAC于点F，且与BC边上的高AE交于点G，求证：EG=EC典型例题线段的垂直平分线（含答案）一、选择题（共8小题）1、（2011绍兴）如图，在ABC中，分别

7、以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB=7，则ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、202、（2011丹东）如图，在RtACB中，C=90，BE平分ABC，ED垂直平分AB于D若AC=9，则AE的值是（） A、6 B、4 C、6 D、43、（2010义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、34、（2010烟台）如图，等腰ABC中，AB=AC，A=20线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接

8、BE，则CBE等于（） A、80 B、70 C、60 D、505、（2010台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确6、（2010三明）如图，在RtABC中，C=90，B=30AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A

9、、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、CAE=B7、（2010巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A、ABC的三条中线的交点 B、ABC三边的中垂线的交点 C、ABC三条角平分线的交点 D、ABC三条高所在直线的交点8、（2009钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分ACB二、填空题（共12小题）9、（2011长春）如图，在ABC中，B=30，ED垂直平分BC，ED=3则CE长为_10、（2010无锡）如图

10、，ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A=30，ACB=80，则BCE=_度11、（2010黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，A=30，AB的垂直平分线交AC于D，则CBD的度数为_12、（2009泉州）如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_13、（2009临沂）如图，在菱形ABCD中，ADC=72，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则CPB=_度14、（2008孝感）如图，AB=AC，BAC=120，AB的垂直平分线交BC于点D，那么ADC=

11、_度15、（2007陕西）如图，ABC=50，AD垂直且平分BC于点D，ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则AEC的度数是_度16、（2004陕西）如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_个不同的四边形17、（2004湖州）已知如图，在ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则ADE的周长等于_18、（2002天津）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：ACBD；BC=

12、DE；DBC=DAC；ABC是正三角形请写出正确结论的序号_（把你认为正确结论的序号都填上）19、（2002广西）如图，ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则ABD的周长为_cm20、（2002安徽）在ABC中，A=50，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则DBC的度数是_三、解答题（共6小题）21、（2011株洲）如图，ABC中，AB=AC，A=36，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC（1）求ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长22、（2011乐山）如图，在直角ABC中，C=90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平

13、分AB，求B的度数23、（2010娄底）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD24、（2009铁岭）如图所示，在RtABC中，C=90，A=30（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE求证：EF=2DE25、（2009梅州）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC那么：（1）ADC=_度；（2）

14、当线段AB=4，ACB=60时，ACD=30度，ABC的面积等于_（面积单位）26、（2008清远）如图，在ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求BEC的周长答案与评分标准一、选择题（共8小题）1、（2011绍兴）如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB=7，则ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、20考点：线段垂直平分线的性质。专题：几何图形问题；数形结合。分析：首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由AD

15、C的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得ABC的周长解答：解：在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接ADMN是AB的垂直平分线，AD=BD，ADC的周长为10，AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，AB=7，ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17故选C点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与作法题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用2、（2011丹东）如图，在RtACB中，C=90，BE平分ABC，ED垂直平分AB于D若AC=9，则AE的值是（） A、6 B、4 C、6 D、4考点：线段

16、垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。专题：计算题。分析：由角平分线的定义得到CBE=ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则A=ABE，可得CBE=30，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC解答：解：BE平分ABC，CBE=ABE，ED垂直平分AB于D，EA=EB，A=ABE，CBE=30，BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，AE=6故选C点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等3、（2010义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线C

17、D上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、3考点：线段垂直平分线的性质。专题：计算题。分析：由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB=PA，而已知线段PA=5，由此即可求出线段PB的长度解答：解：直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，PB=PA，而已知线段PA=5，PB=5故选B点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质，此题比较简单，主要利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这个结论4、（2010烟台）如图，等腰ABC中，AB=AC，A=20线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于（） A、80

18、 B、70 C、60 D、50考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。专题：计算题。分析：先根据ABC中，AB=AC，A=20求出ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即A=ABE=20即可解答解答：解：等腰ABC中，AB=AC，A=20，ABC=80，DE是线段AB垂直平分线的交点，AE=BE，A=ABE=20，CBE=ABCABE=8020=60故选C点评：此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等5、（2010台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP甲、乙两人想在AB上取两点D

19、、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确考点：线段垂直平分线的性质。分析：先根据直线CP是AB的中垂线且交AB于P，判断出ABC是等腰三角形，即AC=BC，再根据线段垂直平分线的性质作出AD=DC=CE=EB解答：解：甲错误，乙正确证明：CP是线段AB的中垂线，ABC是等腰三角形，即AC=BC，A=B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，

20、A=ACD，B=BCE，A=B，A=ACD，B=BCE，AC=BC，ACDBCE，AD=EB，AD=DC，EB=CE，AD=DC=EB=CE故选D点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质，还涉及等腰三角形的知识点，不是很难6、（2010三明）如图，在RtABC中，C=90，B=30AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、CAE=B考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的性质。分析：根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE；根据等角对等边，得BAE=B=30；根据直角三角形的两个锐角互余，得BAC=60，则CAE=B

21、AE=30，根据角平分线的性质，得CE=DE解答：解：A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE故该选项正确；B、因为AEAC，AE=BE，所以ACBE故该选项错误；C、根据等角对等边，得BAE=B=30；根据直角三角形的两个锐角互余，得BAC=60则CAE=BAE=30，根据角平分线的性质，得CE=DE故该选项正确；D、根据C的证明过程故该选项正确故选B点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、等角对等边的性质、角平分线的性质由已知条件结合各知识点得到结论对选项逐一验证时解答本题的关键7、（2010巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等

22、，凉亭的位置应选在（） A、ABC的三条中线的交点 B、ABC三边的中垂线的交点 C、ABC三条角平分线的交点 D、ABC三条高所在直线的交点考点：线段垂直平分线的性质。专题：应用题。分析：由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是ABC三条角平分线的交点由此即可确定凉亭位置解答：解：凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭选择ABC三条角平分线的交点故选C点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上8、（2009钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A、AB垂直平分CD B、CD垂

23、直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分ACB考点：线段垂直平分线的性质。分析：由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得解答：解：AC=AD，BC=BD，点A，B在线段CD的垂直平分线上AB垂直平分CD故选A点评：本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键二、填空题（共12小题）9、（2011长春）如图，在ABC中，B=30，ED垂直平分BC，ED=3则CE长为6考点

24、：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。分析：由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，EDB=90，又由直角三角形中30角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解解答：解：ED垂直平分BC，BE=CE，EDB=90，B=30，ED=3，BE=2DE=6，CE=6故答案为：6点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质解题的关键是数形结合思想的应用10、（2010无锡）如图，ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A=30，ACB=80，则BCE=50度考点：线段垂直平分线的性质。专题：应用题。分析：根据ABC中DE垂直平分AC，可求出AE=CE，再根据等腰三角形的

25、性质求出ACE=A=30，再根据ACB=80即可解答解答：解：DE垂直平分AC，A=30，AE=CE，ACE=A=30，ACB=80，BCE=8030=50点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答11、（2010黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，A=30，AB的垂直平分线交AC于D，则CBD的度数为45考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。分析：根据三角形的内角和定理，求出C，再根据线段垂直平分线的性质，推得A=ABD=30，由外角的性质求出BDC的度数，从而得出CBD=

26、45解答：解：ABC是等腰三角形，A=30，ABC=ACB=75，AB的垂直平分线交AC于D，AD=BD，A=ABD=30，BDC=60，CBD=1807560=45故填45点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得BDC=60是解答本题的关键本题的解法很多，用底角7530更简单些12、（2009泉州）如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为6考点：线段垂直平分线的性质。专题：计算题。分析：运用线段垂直平分线定理进行线段转换，根据题意列关系

27、式后求解解答：解：DE是BC边上的垂直平分线，BE=CEEDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，ED+DC+EC=24，BE+BDDE=12得，DE=6点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等13、（2009临沂）如图，在菱形ABCD中，ADC=72，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则CPB=72度考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质。专题：计算题。分析：欲求CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，ADC=72，可得BAD=18072=108，根据菱形对角线的对称性可得ADB=ADC=72=36，ABD=ADB=36度EF是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得DAP=ADB=36，PAB=DABDAP=10836=72度在BAP中，APB=180BAPABP=1807236=72度由菱形对角线的对称性可得CPB=APB=72度点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的灵活应用