完整版三角形中位线中的常见辅助线.docx

1、完整版三角形中位线中的常见辅助线三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一 中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义： 三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一 （底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合 ）三角形中位线定义 ：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 中位线判定定理： 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边 直角三角形斜边中线： 直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定： 若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线 解读：凡是

2、出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段， 从而达到将条件进行转化的目的。方法二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形 中位线的目的。方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现 两个等腰三角形，从而转化线段关系。常见考点构造三角形中位线考点说明： 凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取 四边形对角线中点 、 等腰三角形

3、底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点 ;延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。题中有中点，莫忘中位线 ”与此很相近的几何思想是 “题中有中线，莫忘加倍延 ”，这两个是常用几何思 想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来平移也有类似作用2 AE 典型例题例 1】 已知： AD 是 ABC 的中线， AE 是 ABD 的中线，且 AB BD ，求证： AC12. 在 ABC中， ACB 90 ，AC 2 BC ，以BC为底作等腰直角 BCD ，E是CD 的中点，求证： AE EB 且 AE BE 于 M 、 N ，求证： AMN BNM 举一反三1.已知

4、四边形 ABCD中， AC BD ，E、 F分别是 AD、BC的中点， EF交AC于M ；EF交BD于N ， AC 和 BD 交于 G 点求证： GMN GNM F2.已知：在 ABC中， BC AC，动点 D绕 ABC 的顶点 A逆时针旋转，且 AD BC，连结 DC过 AB、DC的中点 E、F 作直线，直线 EF与直线 AD、（1）如图 1，当点 D旋转到 BC 的延长线上时，点 求证： AMF BNE（2）当点 D旋转到图 2中的位置时， AMF 与BC 分别相交于点 M 、 N N 恰好与点 F 重合，取 AC 的中点 H ，连结 HE 、 HF ，BNE 有何数量关系？请证明B例 3

5、】 如图，在五边形 ABCDE 中， ABCBF EF AED 90 ， BAC EAD ， F 为 CD 的中点求证：举一反三1.如图所示，在三角形 ABC 中， D为AB的中点，分别延长 CA、CB到点 E、F，使DE=DF过 E、 F分 别作直线 CA、CB 的垂线，相交于点 P，设线段 PA、PB 的中点分别为 M 、N 求证：（1） DEM FDN ；（2） PAE PBF 证： PM PN4. 如图所示，已知 ABD和 ACE 都是直角三角形，且 ABD ACE 90 ，连接 DE，设 M 为 DE的中点（1）求证 MB MC MC 是否成立？请证明你（2）设 BAD CAE ，固

6、定 Rt ABD，让 Rt ACE 移至图示位置，此时 MB 的结论5.在ABC 中， AB=AC ，分别以 AB 和AC为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形， M 是BC边中 点中点，连接 MD 和 ME1）如图 1 所示，若 AB=AC ，则 MD 和 ME 的数量关系是2）如图 2 所示，若 ABAC 其他条件不变， 则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；的内侧作等腰直角三角形， M 是 BC 的中的形状3）在任意 ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向 ABC点，连接 MD 和 ME ，请在图 3 中补全图形，并直接判断 MED1）如图 当 AB

7、C 为直角三角形时， AM 与 DE 的位置关系是2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转 （0【例4】 以 ABC 的两边 AB、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰 Rt ACE， BAD CAE 90 连接 DE，M、 N分别是 BC、 DE的中点探究： AM 与DE的位置关系及数量关系 ；线段 AM 与 DE 的数量关系90 ）后，如图所示， （ 1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由举一反三1.（1）如图 1， BD 、 CE分别是ABC的外角平分线，过点 A作AD BD 、AE CE ,垂足分别为 D 、E， 1连接 DE 求证： DE BC ，

8、DE AB BC AC2（2）如图 2， BD 、CE 分别是 ABC 的内角平分线，其他条件不变；（3）如图 3， BD为 ABC的内角平分线， CE为ABC 的外角平分线，其他条件不变。则在图 2、图3 两种情况下， DE 、BC 还平行吗？它与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请你写出猜测，并给与证明2.已知 ABC中， ACB 90 ， AB边上的高线 CH 与 ABC的两条内角平分线 AM 、BN分别交于 P、Q 两点 PM 、 QN的中点分别为 E、 F求证： EFABCMAOB 60 ， P、 Q、 R 分例 5】 等腰梯形 ABCD 中， AB CD ， AC BD ， AC

9、与 BD 交于点 O ，别是 OA 、 BC 、 OD 的中点，求证： PQR 是正三角形举一反三1. AD是 ABC的中线， F 是AD的中点，BF的延长线交 AC于 E求证： AE 1AC 3D例6】 如左下图，在梯形 ABCD中， ABCD ，E、F 分别是 AC 、 BD中点求证： EF AB ，且EF 1 AB CD2举一反三2.在课外小组活动时， 小慧拿来一道题 （原问题）和小东，小明交流原问题： 如图 1，已知 ABC ， ACB 90 ， ABC 45 ，分别以 AB ，BC为边向外作 ABD和 BCE ，且DA DB，EB EC， ADB BEC 90 ， 连接 DE 交 A

10、B 于点 F ，探究线段 DF 与 EF 的数量关系。小慧同学的思路是：过点 D作 DG AB于G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是， ABC 30 ， ADB BEC 60小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（ 1）写出原问题中 DF 与 EF 的数量关系（ 2）如图 2，若 ABC 30 ， ADB BED 60 ，原问题中的其他条件不变，你在（ 1）中得到的 结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；生变化？请写出你的猜想并加以证明。真题演练1. 已知：

11、AOB 中，ABOB 2，COD中， CD OC 3，ABO DCO. 连接AD 、BC 、，点M 、N、 P分别为 AO、DO、BC的中点 .1）如图 1，若 A 、O、C 三点在同一直线上，且 ABO 60o ，则 PMN 的形状是，此时 ABDC2）如图 2，若 A 、 O 、 C三点在同一直线 上，且 ABO 2 ，证明PMN BAO，并计算 ABDC的值用含 的式子表示）；3）在图 2中，固定 AOB，将COD绕点 O旋转，直接写出PM 的最大值 .图1图22.如图， D是ABC中AB边的中点， BCE和ACF都是等边三角形， M、N分别是 CE、CF的中点 .（1）求证： DMN

12、是等边三角形；（2）连接 EF，Q是 EF 中点， CPEF于点 P. 求证： DPDQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考： 小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线； 小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？ 她考虑将NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置 .FDB3.在ABC中， D为BC边的中点，在三角形内部取一点 P，使得ABP=ACP过点 P作 PEAB于点E， PF AC 于点 F1）如图 1，当 AB=AC 时，判断的 DE

13、与 DF 的数量关系，直接写出你的结论；2）如图 2，当 AB AC，其它条件不变时， （ 1）中的结论是否发生改变？请说明理由图 1 图24.探究问题：已知 AD、BE分别为ABC 的边 BC、AC上的中线，且 AD、BE交于点 O.（1）ABC 为等边三角形，如图 1，则 AO OD = ；（2）当小明做完（ 1）问后继续探究发现，若 ABC 为一般三角形（如图 2）， 中的结论仍成立，请你 给予证明 .（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3，在ABC中，点 E是边AC的中点， AD平分 BAC, ADBE于点F，若AD=BE=4.求： ABC 的周长 .AB5.如图1，在四边形

14、ABCD中， AB CD，E、F分别是 BC、AD的中点，连结 EF 并延长，分别与 BA、CD的延长线交于点 M、N ，则 BME CNE （不需证明）（温馨提示：在图 1 中，连结 BD ，取 BD 的中点 H ，连结 HE、 HF ，根据三角形中位线定理，证明HE HF ，从而 1 2 ，再利用平行线性质，可证得 BME CNE ）问题一：如图 2，在四边形 ADBC 中， AB 与 CD相交于点 O，AB CD， E、F 分别是 BC、AD的中 点，连结 EF ，分别交 DC、AB于点 M、N，判断 OMN 的形状，请直接写出结论1）当直线 m与 BC平行时（如图1），请你猜想线段 B

15、E、CF 和 AD 三者之间的数量关系并证明；2）当直线 m绕点O旋转到与 BC不平行时，分别探究在图 2、图3这两种情况下， 上述结论是否还成立？需证明，其中7. 以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作 VAOB 和 VCODABO DCO 301）点 E 、 F 、M 分别是 AC 、CD 、 DB 的中点，连接 FM 、EM他条件不变，判断 FM 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；EMAB 上的一个动点，（3）如图 3，若BO 3 3，点 N 在线段OD 上，且 NO 2 点 P 是线段在将 VAOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为 ，最大值为 _