平均数标准差与变异系数.docx

1、平均数标准差与变异系数 第三章 平均数、标准差与变异系数 本章重点介绍平均数（mean）、标准差（standard deviation）与变异系数（variation coefficient）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。 第一节 平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean）、中

2、位数（median）、众数（mode）、几何平均数（geometric mean）及调和平均数（harmonic mean），现分别介绍如下。 一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 （一）直接法 主要用于样本含量n30以下、未经分组资料平均数的计算。 设某一资料包含n个观测值：x1、x2、xn，则样本平均数可通过下式计算： （3-1） 其中，为总和符号；表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当在意义上已明确时，可简写为x，（3-1）式即可改写为： 【例3.1】 某种

3、公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均体重。 由于x=500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n=10 代入（31）式得： 即10头种公牛平均体重为528.5 kg。 （二）加权法 对于样本含量n30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为： （3-2） 式中：第i组的组中值； 第i组的次数； 分组数 第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此fi称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。

4、【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。 表31 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表 组别组中值（x）次数（f）f x101534520256150303526910404530135050552413206065852070753225合计1004520利用（32）式得： 即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg。 计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。 【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重为750 kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为

5、725 kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？ 此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即 即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。 （三）平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。 或简写成 2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。 (xi-)2(xi- a)2 （常数a） 或简写为：几何平均数调和平均数。 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。 第二节 标准差 一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本

6、资料中各观测值变异程度的影响。如果各观测值变异小，则平均数对样本的代表性强；如果各观测值变异大，则平均数代表性弱。因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。 全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。全距大，则资料中各观测值变异程度大，全距小，则资料中各观测值变异程度小。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。 为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测

7、值与平均数的离差，即（），称为离均差。虽然离均差能表达一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即（）=0，因而不能用离均差之和（）来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值n求得平均绝对离差，即|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方，即 ()2，再求离均差平方和，即，简称平方和，记为SS

8、；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即，求出离均差平方和的平均数；为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度n-1，于是，我们采用统计量表示资料的变异程度。统计量称为均方（mean square缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即 S2= （39） 相应的总体参数叫总体方差，记为2。对于有限总体而言，2的计算公式为： 2）2/N （310） 由于样本方差带有原观测单位的平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这时应将平方单位

9、还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差S2的平方根叫做样本标准差，记为S，即： （3-11） 由于 所以（3-11）式可改写为： （3-12） 相应的总体参数叫总体标准差，记为。对于有限总体而言，的计算公式为： = （3-13） 在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差。 二、标准差的计算方法 （一）直接法 对于未分组或小样本资料，可直接利用（311）或（3-12）式来计算标准差。 【例3.9】 计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。 此例n=10，经计算得：x=5400，x2=29550

10、00，代入（312）式得： (g) 即10只辽宁绒山羊产绒量的标准差为65.828g。 （二）加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式为： （314） 式中，f为各组次数；x为各组的组中值；f = n为总次数。 【例3.10】 利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。 将表3-4中的f、fx、fx2代入（314）式得： （g） 即某纯系蛋鸡200枚蛋重的标准差为3.5524g。 表34 某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布及标准差计算表 组别组中值（x）次数（f）fxfx244.1545.03135.06075.045

11、.8546.76280.213085.3447.5548.416774.437480.9649.2550.1221102.255220.2250.9551.8301554.080497.2052.6553.5442354.0125939.0054.3555.2281545.085317.1256.0556.9301707.097128.3057.7558.612703.241207.5259.4560.35301.518180.4561.1562.04248.015376.00合计 f=200 fx=10705.1 fx2=575507.11三、标准差的特性 （一）标准差的大小，受资料中每个观

12、测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。 （二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。 （三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。 （四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（2S）范围内；约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差（3S）范围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用（）来粗略估计标准差。 第三节 变异系数 变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比

13、较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。标准差与平均数的比值称为变异系数，记为CV。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。 变异系数的计算公式为： （315） 【例3.11】 已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为190kg，标准差为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。 此例观测值虽然都是体重，单位相同，但它们的平均数不相同，只能用变异系数来比较其变异程度

14、的大小。 由于，长白成年母猪体重的变异系数： 大约克成年母猪体重的变异系数： 所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。 注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。 习 题 1、生物统计中常用的平均数有几种？各在什么情况下应用？ 2、何谓算术平均数？算术平均数有哪些基本性质？ 3、何谓标准差？标准差有哪些特性？ 4、何谓变异系数？为什么变异系数要与平均数、标准差配合使用？ 5、10头母猪第一胎的产仔数分别为：9、8、7、10、12、10、11、14、8、9头。试计算这10头母猪第一胎产仔数的平均数、

15、标准差和变异系数。（=9.8头，S=2.098头，CV=21.40%）。 6、随机测量了某品种120头6月龄母猪的体长，经整理得到如下次数分布表。试利用加权法计算其平均数、标准差与变异系数。 组别组中值（x）次数（f）808428892109610029104108281121162012012415128132131361403（=111.07cm，S=12.95cm, CV=11.66%）。 7、某年某猪场发生猪瘟病，测得10头猪的潜伏期分别为2、2、3、3、4、4、4、5、9、12(天)。试求潜伏期的中位数。（4天） 8、某良种羊群19952000年六个年度分别为240、320、360、400、420、450只，试求该良种羊群的年平均增长率。（G=0.1106或11.06%）。 9、某保种牛场，由于各方面原因使得保种牛群世代规模发生波动，连续5个世代的规模分别为：120、130、140、120、110头。试计算平均世代规模。（H=123.17头） 10、调查甲、乙两地某品种成年母水牛的体高（cm）如下表，试比较两地成年母水牛体高的变异程度。 甲地137133130128127119136132乙地128130129130131132129130（S甲=5.75cm, C.V甲=4.42%；S乙=1.25cm，C.V乙=0.96%）