武汉外冲数论专题.docx

1、武汉外冲 数论专题外冲班数论专题一、知识数的整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中

2、成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(ab)。性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca。用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除即如果bca，那么ba，ca。性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除。即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca。例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(34)12性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除如果 b

3、a，那么bmam（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除如果 ba ，且dc ，那么bdac；余数问题一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=

4、39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的

5、余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)三、弃九法原理四、中国剩余定理二、例 题1.常见数的整除判定特征例1两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被72整除，求和.巩固1若四位数能被15整除，则代表的数字是多少？例2六位数能被99整除，是多少？巩固2已知九位数既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是多少？

6、2.试除法例3 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。巩固3在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除那么这三个数字的和是多少? 3、1001系列整除例4已知四十一位数555999（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？巩固4应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被11整除？ 4、数的整除性质应用例5张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？巩固5某班同学

7、在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？5、带余除法的定义和性质例6有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？巩固6两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_例7.123456789101112131419981999除以9的余数是多少？巩固7123456789101112131420132014除以9的余数是多少？6、三大余数定理的应用例8有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数。巩固8有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，

8、求这个数.例9有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_巩固9用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=_例10与的和除以7的余数是_巩固10求除以5时的余数。例11六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本这种成语大词典的定价是_元巩固11商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾

9、客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克例12著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？巩固12有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？7、中国剩余定理例13一批书大约300本到400本，包装成每包12本剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本就有7包每包各多2本。这批书有多少本？巩固13一堆棋子，接近150个，五五数之余1，六六数之余2，八八数之余2，这堆棋子有多少个？例14有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？巩固14一

10、个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？ 例15有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被,5整除，最大的能被7整除。写出这样的三个最小的连续自然数。巩固15在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。三、习题1、已知九位数能被36整除，那么，这个九位数是多少？2、已知九位数既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？3、某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？ 4、三位数的百位、十位和个位

11、的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：.如果此数能被91整除，那么这个三位数是多少？ 5、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？6、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？7、有一个整数，用它去除70，110，160所得3个余数之和是50.求这个数。8、除以7的余数是多少？9、六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的2倍，则丙手中卡片上的数是_10、123456789101112131420172018除以9的余数是多少？11、有一些苹果，五个五个地数余下2个，六个六个的数余下2个，七个七个的数少2个，这些苹果最少有多少个？12、一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？13、有一串数1,2,4,7,11,16,22,29这串数的组成规律是第2个数比第一个数多1，第3个数比第2个数多2，以此类推，这串数左起第1992个数除以5的余数是多少？