1、基于秩次的非参数检验第七章 基于秩次的非参数检验前言:1. 问题的提出:前面学习了连续型资料两组样本均数差异的假设检验方法:小样本用t检验,条件是变量服从正态分布和方差齐。大样本用Z检验(中心极限定理)。如果是小样本,变量的分布不清、已知不服从正态分布或经数学转换后仍不服从正态分布时,如何检验两个样本或多个样本均数差异的统计学意义呢?需要一种不依赖于分布假定的检验方法,即非参数检验。2. 基本概念:前面介绍的检验方法首先假定变量服从特定的已知分布(如正态分布),然后对分布的参数(如均数)作检验。这类检验方法称为参数检验。今天介绍的检验方法不对变量的分布作严格假定,检验不针对特定的参数,而是模糊
2、地对变量分布的中心位置或分布形态作检验。这类检验称非参数检验,由于其对总体分布不作严格假定,所以又称任意分布检验。(1)非参数检验的优点:a. 不受总体分布的限制,适用范围广。b. 适宜定量模糊的变量和等级变量。c. 方法简便易学。(2)缺点:对于适合用参数检验的资料,如用非参数检验会造成信息的丢失,犯第类错误的概率增大,造成检验功效下降。(3)基于秩次的非参数检验(秩和检验)的基本思想:例:假设有一组观察值为1.1, 1.3, 1.7, 4.3, 11.4 。显然这一变量不服从正态分布,观察值间差异较大,既不对称,标准差也较大。如果将变量作转换,变成秩变量Y=1,2,3,4,5,则分布对称了
3、,观察值间的差异也均匀了,标准差也减小了。对秩和分布的中心位置(平均秩和)作检验,这就是秩和检验。一配对样本的符号秩检验(Wilcoxon signed rank test):例7.1:研究出生先后的孪生兄弟智力是否存在差异?表7.3 12对孪生兄弟智力测试结果对子号兄的得分弟的得分兄弟得分差秩次1868823271776737776-1-1.546864-4-45919655.5672720-77765-12-1089190-1-1.597065-5-5.510718099118881-7-8128772-15-11差值一般在5左右,但个别较大,如15,可能不服从正态分布。而且样本较小,不能
4、利用中心极限定理作正态假定。因此考虑使用非参数检验-符号秩检验。1符号秩检验的分布理论:假定有四对观察值,如果H0成立时,这四个值有同等的概率取正值或负值,即每个值取正值的概率等于二分之一。四个值共有24=16种组合,每种组合发生的可能性就是:。再考虑秩和,可能的结果数减少到11种,概率分布见表7.1。表7.1 n4时所有可能秩和情况和T*的分布正差数的秩次负差值的秩次正秩和T+负秩和T-概率P1,2,3,4-1000.06252,3,41910.06251,3,42820.06251,2,43730.12503,41,2731,2,34640.12502,41,3641,42,3550.12
5、502,31,4551,32,4460.125041,2,3461,23,4370.125031,2,43721,3,4280.062512,3,4190.0625-1,2,3,40100.0625如果零假设成立,观察的结果应该服从此分布,即出现极端的可能性很小。如果真是出现小概率,那么我们对零假设的真实性产生怀疑,拒绝零假设。2具体计算步骤:(1)检验假设:H0:差值的总体中位数为零。Md=0H1:差值的总体中位数不等于零。Md0=0.05。(2)编秩和计算秩和: 求差值,差值的绝对值由小到大编秩,差数为零不参加编秩,相同差值求平均秩。分别求正号和负号的秩和,取绝对值小的为T。(3)确定概率
6、,下结论:查附表10,在n=11时,T0.05=11。现T=24.511,故P0.05,按=0.05的水准,不拒绝H0。 (T小,P小)。3正态近似:当研究例数较大时(n50),秩和T的分布近似正态分布,可以用正态分布理论作假设检验:这时正态分布的均数和标准差分别等于: 检验的公式为: 二两独立样本的秩和检验(Wilcoxon rank sum test):表7.5 缺氧条件下猫与兔的生存时间(分)比较猫兔生存时间秩次生存时间秩次生存时间秩次生存时间秩次259.5151216281234151522172813441716323830144618174259.5351646191952711n
7、1=5T1=78.5n2=14 T2=111.5这是生存时间资料,一般不服从正态分布,个别寿命长的为特大值,样本也较小,需考虑用非参数检验-秩和检验。1具体计算步骤:(1) 检验假设:H0:两总体生存时间的中位数相等;H1:两总体生存时间的中位数不等; =0.05。(2) 编秩和计算秩和:两组由小到大混合编秩,有相同值求平均秩(同组相同值可不求平均秩),求例数较少组的秩和(T)。(数值为零应编秩。)(3) 确定概率,下结论:T值在表中两数值之间时,p值大于相应界值,T位于区间之外,P相应界值。本例T= T1=78.5,查附表11,T =78.578,P0.01,拒绝H0,可认为猫、兔在缺氧的条
8、件下生存时间不等。2正态近似:当样本较大时,秩和的分布近似正态分布,可以用正态分布理论作假设检验。这时正态分布的均数和标准差分别等于: 检验公式为: 三多个样本分布位置相同的假设检验:完全随机化设计资料分布位置的假设检验(Kruskal-Wallis test)表7.7 不同吸烟习惯母亲的新生儿体重(秩次)(kg)ABCD2.7(3)2.9(4)3.3(7)3.5(11)2.4(2)3.2(5)3.6(12.5)3.6(12.5)2.2(1)3.2(6)3.4(9)3.7(14)3.4(9)3.4(9)4(n)34315(R)1537.537.5计算步骤:1. 检验假设:H0:k个总体中心位置相等H1:k个总体中心位置不全相等=0.052. 计算统计量:各组由小到大混合编秩;如不同组间出现相同值,求平均秩;计算各组的秩和。当H0成立时,该检验统计量近似服从自由度为(k-1)的2分布。校正公式: tp为相同值的个数。3. 确定概率和判断结果:自由度=k-1=4-1=3,查2值表得2 0.05(3) =7.815,p0.05,故拒绝零假设,说明不同吸烟习惯对新生儿体重不同。秩和检验的重点:秩和检验的优缺点。不同设计类型资料秩和检验的编秩方法。 .
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