高中数学新教材必修第一册第五章三角函数 55三角恒等变换南开题库含详解.docx

1、高中数学新教材必修第一册第五章 三角函数 55 三角恒等变换南开题库含详解第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 一、选择题（共40小题；共200分）1. 已知 ，则 等于 A. B. C. D. 2. 已知 ，则 A. B. C. D. 3. 在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ，则 A. B. C. D. 4. 要得到一个奇函数，只需将函数 的图象 A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 5. 已知 ，则 的值为 A. B. C. D. 6. 有四个关于三角函数的命题： ，；，； ，； 其中假命题是 A. ， B. ， C. ， D

2、. ， 7. 在 中，（， 分别为角 ， 的对应边），则 的形状为 A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 8. 中角 ， 所对的边长分别为 ，且 ，则 A. B. C. D. 9. 已知 ，则 的值为 A. B. C. D. 10. 在 中，若 ，则此三角形为 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 11. 设 ，则 A. B. C. D. 12. 设 ，则 A. B. C. D. 13. 在 中，已知 ，则 是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不确定 14. 有四个关于三角函数的命题： ：

3、，使得 ； ：，使得 ； ：，都有 成立； ： 其中假命题是 A. B. C. D. 15. 下列四种说法正确的是 函数 的定义域是 ，则“，”是“函数 为增函数”的充要条件； 命题“，”的否定是“，”； 命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”； ：在 中，若 ，则 ；： 在第一象限是增函数则 为真命题 A. B. C. D. 16. 下列四个命题中的真命题为 A. ，使得 B. ，总有 C. ， D. ， 17. 在 中，若 ，则 是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形 18. 已知 ，则 的值等于 A. B. C. D. 19. 在 中，则

4、是 A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 20. 已知 ，则 的值是 A. B. C. D. 21. 的内角 ， 的对边分别为 ，已知 ，则 A. B. C. D. 22. 在 中，已知 ，给出以下四个论断： ； ； ； 其中正确的是 A. B. C. D. 23. 设 ，则 ， 的大小关系为 A. B. C. D. 24. 设 且 ，则 A. B. C. D. 25. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 26. 若 ，则 A. B. C. D. 27. 函数 是 A. 最小正周期为 的

5、奇函数 B. 最小正周期为 的奇函数 C. 最小正周期为 的偶函数 D. 最小正周期为 的偶函数 28. 若 ，则 A. B. C. D. 29. 若复数 是纯虚数（ 为虚数单位），则 的值为 A. B. C. D. 或 30. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，终边在直线 上，则 A. B. C. D. 31. 已知 ，则 等于 A. B. C. D. 32. 若 ，则 A. B. C. D. 33. 在 中，角 ， 所对的边分别为 ，且 ，则 A. B. C. D. 34. 已知命题： ，使 成立； ，使 成立； ，有 成立； 若 ， 是 的内角，则 的充要条件是 其中正确命

6、题的个数是 A. B. C. D. 35. 下面能得出 为锐角三角形的条件是 A. B. C. D. 36. 如图，在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围为 A. B. C. D. 37. 已知函数 的定义域为 ，若存在常数 ，对任意 ，有 ，则称 为 函数给出下列函数： ； ； ； ； 是定义在 上的奇函数，且满足对一切实数 均有 其中是 函数的序号为 A. B. C. D. 38. 已知 ，则 A. B. C. D. 39. 在 中，角 ， 所对的边分别为 ，且满足 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 40. 设 为椭圆 上的

7、动点， 为椭圆 的焦点， 为 的内心，则直线 和直线 的斜率之积 A. 是定值 B. 非定值，但存在最大值 C. 非定值，但存在最小值 D. 非定值，且不存在最值 二、填空题（共40小题；共200分）41. 已知 ，那么 . 42. 若 ，则 43. 已知 ，则 44. 已知 ，则 . 45. 知 ，那么 46. 已知 ， 分别为三角形两个内角，满足 ，则 取最大值时 47. 化简： 48. 在 中，内角 ， 所对的边分别是 ，若 ，则 的形状为 49. 在直角坐标系 中，已知点 和点 ，若点 在 的平分线上且 ，则 50. 若 ，则 的值为 51. 已知 是第三象限角，且 ，那么 52. 已

8、知 ，则 的值为 . 53. 函数 的最大值是 54. 的值是 55. 已知 ， 是函数 在 内的两个零点，则 56. 已知 ，则 ， 57. 设 为锐角，若 ，则 58. 求值： 59. 已知 ，则 60. 的值是 61. 已知 ，那么 的值是 62. 函数 的最小值是 63. 函数 ， 的最小值为 64. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为 ，则 65. 若 ，则 66. 已知点 在直线 上，则 67. 若点 是函数 的一个对称中心，则 68. 已知 ，则 69. 已知 ， 是圆心在坐标原点 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点 的横坐标为

9、，点 的横坐标为 ，则 70. 若平面向量 ，且 ，则 的值是 71. 边长为 的正三角形 内（包括三边）有点 ，求 的范围 72. 在 中， 分别是角 ， 的对边，且 ，若 ，则 的值为 73. （1）若 ，则 的取值范围是 ； （2）若 ，则 的最小值为 74. 计算 75. 函数 的最大值与最小值之和为 76. 设 ， 分别为 三内角 ， 的对边，面积 ，若 ，则 的最大值是 77. 在 中， 分别为 ， 的中点，且 ，则 的最小值为 78. 在 中，则 的最大值为 79. 已知 ，且 ，若 ，则 80. 三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知 ， .（1）求 的值；（2）求

10、的值. 82. 中，角 ， 所对的边分别为 ，已知 ，（1）求 的值；（2）求 的面积 83. 已知函数 .（1）求 的最小正周期；（2）求 在区间 上的最大值和最小值. 84. 已知向量 ，设函数 的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 （1）求函数 的最小正周期；（2）若 的图象经过点 ，求函数 在区间 上的取值范围 85. 已知函数 （1）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数 在区间 上的最值 86. 设函数 （1）求 的最小正周期（2）若函数 与 的图象关于直线 对称，求当 时 的最大值 87. 已知 （1）求 的值；（2）求 的值 88. 已知函数 （1）求 的定

11、义域和最小正周期；（2）设 ，若 ，求 的值 89. 已知函数 ，（1）求函数 的最小正周期并写出函数 图象的对称轴方程；（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值 90. 已知函数 的最小正周期为 （1）求 的值及函数 的单调递减区间（2）将函数 的图象上各点的横坐标向右平行移动 个单位长度，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 在 上的最大值和最小值 91. 在 中，内角 ， 所对的边分别是 ，已知 ，（1）求 和 的值；（2）求 的值 92. 在 中，（1）求 的值；（2）求 的值 93. 已知函数 （1）求函数 的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数 在区间 上的图象

12、 94. 已知函数 ，其中向量 ，且 的最小正周期为 （1）求 的值；（2）求 的最小值，并求出相应的 的取值集合；（3）将 的图象向左平移 个单位，所得图象关于点 对称，求 的最小正值. 95. 设函数 （1）求函数 的单调递增区间；（2）当 时， 的最小值为 ，求 的最大值 96. 已知函数 （1）求函数 的单调增区间；（2）若 ，求 的值 97. 若函数 在区间 的最大值为 （1）求常数 的值；（2）求函数当 时的最小值，并求出相应的 的取值集合；（3）求该函数在 的单调增区间 98. 已知函数 的最小正周期为 （1）求 的值及函数 的单调递减区间；（2）将函数 的图象上各点的横坐标向右

13、平行移动 个单位长度，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 在 上的最大值和最小值 99. 己知向量 ，记 （1）若 ，求 的值；（2）在锐角 中，角 ， 的对边分别是 ，且满足 ，求函数 的取值范围 100. （1）在 中，已知边 ，已知角 ，求角 ； 若该题中的条件改为边 ，已知角 ，求角 ；请根据该题的解答归纳判断解三角形的一个解、两个解的依据；（2）， 的对边分别是 ，已知 ，求 的值；（3）在 中，内角 ， 的对边分别是 ，若 ，求角 ；（4）在锐角 中， 的对边分别是 ，求 的值答案第一部分1. A 【解析】由于 ，所以 ，所以 2. D 3. A 【解析】，由正弦定理得 ，又 ，

14、所以 ，易知 ， 4. B 5. C 6. A 【解析】 是假命题； 是真命题，如 时成立； 是真命题，因为 ，； 是假命题，如 ， 时，但 7. B 8. A 【解析】因为 ，所以 ，即 因为 ，所以 9. C 【解析】，则 10. B 11. A 【解析】，将第二个等号的两边平方，得 ，所以 12. A 【解析】，两边平方得：，即 ，则 13. B 【解析】（方法一）由正弦定理可得 由余弦定理得 ，化简得 所以 是等腰三角形（方法二） 可知 ，所以 所以 故 为等腰三角形14. A 【解析】 为假命题；因为 恒成立，所以命题 为假命题； 为真命题；因为当 ， 时，所以命题 为真命题； 为真

15、命题；因为 ，而 ，所以 ，所以 ，所以命题 为真命题； 为假命题；因为 ，而 ，所以命题 为假命题15. D 16. D 17. B 18. B 19. C 【解析】因为 ，所以 ，即 ，即 ，所以 20. D 【解析】，所以 ， ，故 .21. B 【解析】由题意 得 ，即 ，所以 由正弦定理 得 ，即 ，得 22. B 【解析】，由 得 ，所以 ，所以 ，所以 是为直角三角形，得不到；，所以 成立，正确；，得不到；，正确23. C 【解析】 ， 故 24. D 【解析】因为 ，所以 ，整理得 ，所以 25. A 【解析】因为 ，所以当 时，充分性成立；当 时，因为 ，所以 或 ，必要性不

16、成立26. D 【解析】因为 所以 27. A 【解析】28. D 29. C 30. A 31. D 【解析】由 ，则 ，又 ，所以 ，又 32. D 33. A 【解析】因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，可得 ，因为 ，所以 ，即 为锐角，所以 34. B 【解析】中 ，错误；中当 时， 成立，正确；中当 ， 时，等式右边式子无意义；中不妨设 ， 对应的边为 ，由三角形中大边对大角，知 ，又由正弦定理，知 ，于是 ，正确35. D 【解析】A选项中角 为钝角，B选项中只能得到角 为锐角，得不出锐角三角形；C选项中角 可以是锐角，也可以是钝角；D选项中，假设三角形为钝角三角形，不妨设角 为钝角

17、，将 用 表示后展开，可以变形得到 ，假设不成立36. B 【解析】可证 ，而当 为 的中点时，此时 ，从而 的最大值为 因此 设 ，则 ，在 中，综上所述，37. C 38. C 【解析】方法一（直接法）： 两边平方，再同时除以 ，整理得 ，故 或 ，代入 ，得 方法二（猜想法）：由给出的数据及选项的唯一性，记 ，这时 符合要求，此时 ，代入二倍角公式求解即可39. B 【解析】由 得，则 ，由 知， 为钝角，又 ，则 ， 由于 ，所以 ，所以 ，40. A 【解析】设 ，则有 ，则 则 ，即 ，为定值第二部分41. 42. 【解析】，则 43. 44. 【解析】因为 ，则 45. 【解析】

18、因为 ，所以 ，所以 46. 【解析】，把 代入得 ，当 ，即 时取得最大值47. 【解析】48. 等腰或直角三角形【解析】因为 ，所以 所以 ，所以 所以 ，所以 或 因为 ，所以 或 所以 为直角三角形或等腰三角形49. 【解析】设 ，结合题意知 因为 在 的平分线上，所以 在 ， 上的射影相等，从而有即化简得 ，结合 的范围知 ，其他解法：如图，可设 点坐标为 ，根据点 为 平分线上的点可知 ，再结合 可知，结合二倍角公式，可解得 ，由题意知 ，联立即可得到答案50. 51. 【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为角是第三象限角，所以 52. 【解析】由题意：， ， 得 ， 得 .

19、所以 .53. 【解析】函数化简为 所以最大值为 54. 【解析】55. 【解析】， 是函数 在 内的两个零点，可得 ，即为 ，即有 ，由 ，可得 ，可得 ，由 ，可得 ，由 ，即有 56. ，【解析】因为 ，所以 ，57. 【解析】58. 【解析】所以结果为59. 【解析】60. 61. 62. 【解析】 所以最小值为 63. 【解析】因为 ，所以由万能公式 ， 可得 （当且仅当 时取等号）64. 65. 66. 67. 【解析】因为点 是函数 的一个对称中心，所以 ，所以 ，则 68. 69. 【解析】由题意可得，所以 ；再根据 ，可得 所以 70. 71. 【解析】以 中点 为原点， 所

20、在的直线为 轴，建立如图所示的坐标系，因为正三角形 边长为 ，所以 ，设 的坐标为 ，所以 ，所以 ，即点 在 的圆弧即 上，如图可以求出 ，； ，设 ，则 ， ，又 ，所以 ，当 时， 最大，；当 时， 最小，；所以 的范围是 72. 或 【解析】，即有 ，即 ，即有 ，由于 为三角形的内角，则 ，又 ，即有 ，又 ，解得， 或 ，73. （1），（2）【解析】（1）由 ，解得 或 于是 （2）类似（1）可解得 ，于是 在 时取到最小值 74. 【解析】75. 【解析】由 ，得 ，所以 ，即 ，由 ，得 ，解得：所以函数 的最大值与最小值分别为 ，和为 76. 77. 【解析】如图，设 ，所

21、以 ， ，所以 ，所以 ，所以点 在圆 上，当直线 与该圆在第一象限相切时， 最大，设该圆的圆心为 ，所以 ，设圆的切线方程为 （取 ），则 ，所以 ，当 与 相切时， 最大， 最小此时 也最小，所以 78. 【解析】由正弦定理，知 ，所以 ，因为 ，所以 其中 ， 是第一象限的角因为 ，且 是第一象限角，所以 有最大值 79. 80. 第三部分81. （1） 因为 ，所以 ，所以 .（2） 因为 ，所以 ， ，所以 .82. （1） 因为 ，所以 ，因为 所以 ，由正弦定理知 ，所以 （2） 因为 ， 所以 ， 所以 83. （1） 所以 .（2） ，所以当 ，即 时， ，当 ，即 时， .

22、84. （1） 因为 由直线 是 图象的一条对称轴，可得 ，所以 ，即 又 ，所以 ，故 所以 的最小正周期是 （2） 由 的图象过点 ，得 ，即 ，即 故 ，由 ，有 ，所以 ，得 ，故函数 在 上的取值范围为 85. （1） 因为 所以周期 由 ，得 ，所以 图象的对称轴方程为 ，（2） 因为 ，所以 ，因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以当 时，又因为 ，所以当 时，86. （1） 故 的最小正周期为 （2） 在 的图象上任取一点 ，它关于 的对称点为 由题设条件，点 在 的图象上，从而 当 时，因此 在区间 上的最大值为 87. （1） 因为所以，由 得解得（2） 88.

23、 （1） 因为 ，所以 所以 的定义域为 的最小正周期 （2） 因为 ，所以 而 ， 故由 ，解得 ，因为 ，所以 ，所以 89. （1） 函数 的最小正周期为 函数 图象的对称轴方程为 ，（2） 因为函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， ，所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 90. （1） 因为 ，所以 当 ，函数 单调递减，所以函数 的单调递减区间为 （2） 将函数 的图象上各点的横坐标向右平行移动 个单位长度，纵坐标不变，得到函数 的图象， 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 所以 在 上最大值为 ，最小值为 91. （1） 在 中，由 ，可得 又由 及 ，可得 由得

24、因为 ，故解得 所以（2） 由 ，得所以92. （1） 在 中，根据正弦定理，于是（2） 在 中，根据余弦定理，得于是从而所以93. （1） 原式可变形为 所以函数 的最小正周期为 最大值为 （2） 由（1）列表得故函数 在区间 上的图象是94. （1） 由已知得， 因为 最小正周期为 ，所以 （2） 因为 ，所以 最小值为 ，此时满足 ，则 ， 因此 的取值集合为 （3） ，由题意得 ，所以 得最小正值 .95. （1） .由 ， ，得 ， 所以 的单调递增区间为 .（2） 由 ，得 ，故 由 的最小值为 ，得 解得 所以 的最大值为 .96. （1） 由 ，得 ，所以 的单调增区间为 （2） 由（1）知 ，即 所以 97. （1） ，所以函数 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，所以在区间 的最大值为 ，解得 （2） 的最小值为 ，此时 ，解得：（3） 不妨设 ，则函数 的单调增区间为 ，由 ，得 ，设 ，所以