刘徽的无限思想及其解释最新教学文档.docx

1、刘徽的无限思想及其解释最新教学文档刘徽的无限思想及其解释单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 作者：佚名一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）春秋谷梁传疏曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

2、韩非子也有云：“今有不才之子师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 ：该文包括两方面的内容。一是从无限分割过程、不可分量可积性、有限过程等几个方面重新考察了刘徽的无限思想，力图澄清此课题的研究中存在的若干误解。二是从中国古代数学传统，刘徽的思想渊源特别是他受墨家、道家和玄学思想的影响等方面对刘徽利用无限思想处理问题的方式进行解释。要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的

3、低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我

4、要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。 在中国古代数学史上，刘徽的无限思想占有非常重要的地位。近年来关于刘徽无限思想的本身已有很多研究，对其思想渊源亦有一些论述，但仍有一些问题有待于进一步的探讨。本文拟在前人工作的基础上，重新考察刘徽的无限思想，并通过分析他所受的哲学思想的影响，来解释刘徽利用无限思想来处理问题的方式。“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种

5、社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。孟子中的“先生何为出此言也？”；论语中的“有酒食，先生馔”；国策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实国策中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于礼记?曲礼，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。刘徽注中的无限过程宋以后，京师所设小

6、学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。 刘徽直接用到无限过程的只有阳马术注和割圆术1。1.1阳马术注中的无限过程刘徽在证明从一般情形下的一个堑堵（斜割长方体后所得的直三棱柱）中分割出来的

7、阳马（一棱垂直于底的四棱锥）和鳖臑（各面为直角三角形的四面体），其体积之比为2比1的定理(吴文俊称之为刘徽原理)时，采取这样的步骤：首先，把堑堵的三度分割成两半，成为一些小的阳马、堑堵和鳖臑，然后重新组合，便得到在原堑堵的四分之三中阳马和鳖臑所占体积之比为2比1，那就只要考虑余下的四分之一部分中情况了，由于这四分之一部分又是二个与原堑堵结构完全一样的堑堵，于是刘徽又可以进行同样的分割，然后重新组合这些更小的形体，这样他又证明了在这四分之一部分的四分之三中，阳马和鳖臑的体积之比为2比1，这个过程可以不断地进行下去，他说“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？”3无限进行分割

8、的结果最后得到一个“至细”“无形”的东西，它刘徽认为可以舍弃不要了!瓦格纳认为刘徽实际上使用了极限方法，但在观念上还遇到很大困难4。不知是不是瓦氏误解了反问句的意思，其实这反问是正面的肯定。我们认为在刘徽的观念里把分割到最后得到的“至细”“无形”的东西弃而不取不存在什么困难。这不仅因为刘徽在任何地方都没有表现出他对自己的处理有什么疑虑，而且这还可以从他的思想渊源上得到解释。首先，刘徽受墨家的思想影响很深5。墨家“非半弗著斤”的命题，认为分割的不断进行最后得到一个“端”，而“端”是没有大小、量度为零、但又不是什么都没有的东西。由于刘徽要考虑的是分割到最后所得到的东西的体积，所以，从他受墨家思想的

9、影响看，刘徽把那个最后得到的东西的弃而不取(实际只是不取其体积)，不存在什么观念上的困难。其次，从道家思想传统看，也不存在刘徽对自己的处理产生怀疑的思想背景。刘徽这里用的“微”和“无形”两个概念，在刘徽之前已有密切的关系。荀子赋说“知”“精微而无形”6，瓦氏本人也注意到今传本河上公老子注有“无形曰微”之语7。郭书春指出8刘徽此语脱胎于庄子秋水“河伯曰：世之议者皆曰,至精无形。北海若曰,夫精，小之微也；夫精粗，期于有形者也；无形者,数之所不能分也；不可围者,数所不能穷也”9一段。这里，不仅“微”和“无形”通过概念“精”联系起来，而且充分体现了道家强调精微细小到极点就“无形”，“无形”就没有具体事

10、物的规定性的思想。庄子说“无形者，数所不能分也”，认为“无形”便不能用数量来表示它的大小，从小这一方面来说，就是小到没有大小、没有体积可言。既然如此，刘徽把分割至最后得到的“至细”“无形”的东西的体积视为零，也就顺理成章了。处在王弼等玄学家提倡“贵无”的时代，万物始于“无”而复归于“无”的思想在当时影响甚剧，刘徽对自己这种处理问题的方式，是不存在怀疑其是否合理的思想背景的。1.2割圆术中的无限过程刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接正六边形(“六觚”)开始割圆，依次得到内接正十二边形(“十二觚”)、正二十四边形(“二十四觚”)、，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不

11、可割，则与圆周合体而无所失矣”10，认为割圆到最后得到一个和圆重合的正无穷多边形。他把这个和圆重合的多边形(“觚之细者”)分割成无限多个小三角形(有人认为刘徽是把多边形分割成筝形，这似是而非。诚然，在求正6边形面积时，刘徽分割成3个筝形来处理，求正12边形面积时他也是分割成6个筝形来处理，等等；但是刘徽说“以一面乘半径，觚而裁之”，这个“觚”是不可再割的极限状态下与圆重合的觚，“一面”乃是此觚之一边，它乘半径，当然不会是另一个由两个更小的三角形组成的筝形的面积，否则此觚就还可再割了。而从行文来看，也是按此觚之一边来“裁”的，此一边已是分割到最后所得的一边。至于6边形分成3个筝形来处理之类，实为

12、具体计算之方便)，由于每个三角形的面积的是其底边与圆半径乘积的一半，于是，刘徽就可以合并求和而得到这个正无穷多边形的面积公式，从而也就得到了圆的面积公式。利用边数增加的圆内接正多边形逼近圆，当边数增加到无穷多时，这个正无穷多边形就和圆重合，这种处理并非始于刘徽。公元前5世纪的安提丰(Antiphon)探讨化圆为方问题时，先作一个内接多边形，例如一个正方形，然后作每一边的中垂线各交圆于一点，把每一点和与之相邻的正方形的顶点联结起来，于是得到一个正八边形,按照这样的方式不断进行下去，最后他得到一个多边形，其边和圆弧重合，圆便为它所穷尽了11。梁宗巨12、王青建13认为刘徽把边数不断增加的正多边形看

13、成和圆越来越接近,以至最后与圆重合的思想,和安提丰的思想相一致。值得注意的是安提丰的方法在古希腊被认为逻辑不缜密而遭到了抨击，亚里士多德甚至认为安提丰的作法不值一驳14,攸多克索（Eudoxus，公元前4世纪）改造安氏的方法，避免了无限概念的直接使用，符合希腊人对逻辑严密性的要求，其方法一直为古代西方数学所采用，并对近代数学产生了深远的影响；但是刘徽对他的方法则没有表现出什么不满意，从现有材料看，甚至整个中国古代都没有人怀疑过刘徽割圆术的合理性。刘徽的态度可以从以下方面得到解释。首先，刘徽的这种处理是比较符合直观的。从6边形到12边形、到24边形、，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代

14、替,所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合。我们知道，讲求直观是中国古代数学的传统。郭书春认为刘徽割圆术受司马迁“汉兴，破觚而为圆”之说的影响，而其实物原型乃是工匠把带有棱角的原材料加工成圆形15。刘徽从工匠的实际工作的中受到启发，获得其方法，是与中国古代数学讲求实际的特点相吻合的，而在这样的传统下，由于它来源于实际，所以更不容易被怀疑。刘徽对符合直观的方法比较信赖，还从他的其它注中能得到映证。九章“勾股”章葛缠木问:“今有木长二丈,围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何?”16刘徽用笔管缠青线模拟葛缠木，然后解开来看,发觉每周之间都相间成勾股弦（笔

15、管的周长和线两圈之间的距离分别为股和勾，线一周的长为弦），由此他解释了九章以木长为股，木围的七倍为勾(刘徽说在这里九章的术把勾和股颠倒了)，然后求弦便得到葛的长度的术的合理性。如果说葛缠木问还真可以把曲的拉直的话,那么要把曲池拉直就只能凭想象了。刘徽注曲池(上下底面都是环田的立体)体积公式时说要把它“引而伸之”，实际会得到一个楔形体，曲池的底面的内外周长(所谓“中外周”)便变为楔形体的底面的长，而广、高或深不变，于是他把曲面体化成了(平面)多面体了。但是，在他的思想中如何“引而伸之”，则语焉不详。这样化曲为直，应该说其理论的根据是不足的。刘徽没有对这样的作法表示怀疑，也说明他对那种从直观中获得

16、的知识的信任，进而也更说明他对自己大胆利用无限思想来处理问题是放心的(当然,要用无限分割的方法，解决这两个问题是很困难的)。其次，从墨家传统看，刘徽的处理也比较好理解。墨经中“无穷不害兼，说在盈否”的命题，按郭书春的解释，具有这样的意思：一个含有无穷多个部分的整体，只要一个部分都不缺，就不会影响这个整体17，虽然我们不能肯定这个解释是否一定符合墨经作者的原意，但后世学者从这样一个表述笼统的命题中获得某种思想是可能的，何况这个解释与墨经其它地方所表现的无限思想也不相矛盾。按照这个解释，在圆不可割状态下与之重合的无穷多边形，被分解为无穷多个三角形求和，是完全没有问题的；这无穷多个三角形只要一个不落

17、就对无穷多边形、因而也就对圆的面积不会有影响。此外，割圆术割圆到最后达到不可再割的极限状态，从道论传统看，达到无限的状态是不可言论、没法追究的，因而刘徽对割圆术满足于直观也就足够了。刘徽大胆地直接用无限过程来处理数学问题，而没有什么顾虑，这与古希腊学者大不一样。这一方面是由于刘徽时期及其以前不存在怀疑无限观念的传统，另一方面这也与中国古代数学注重实际，讲求直观的传统相一致。刘徽在无限过程的运用上，其思想和墨、道两家是一脉相承的。刘徽的不可分量的思想除无限分割外，刘徽还利用不可分量可积的思想处理问题。在他的观念里，线可以看成是由一系列点组成的，面可以看成是由一系列线组成的，体可以看成是由一系列面

18、组成的18。他在注圭田(等腰三角形)术时说的“中平之数”，就是组成圭田的平行于底(广)的一系列线段的平均值；在注环田（圆环或夹在二半径间的圆环部分）术时说的“中平之周”也是组成环田的一系列同心圆(弧)的平均值；而在注城、垣、沟、堑、渠（都是底为等腰梯形的直棱柱）的体积公式时所说的“中平之广”则是组成底面梯形的一系列平行于梯形底边的线段的平均值。刘徽把立体看成是由一系列面积组成的，这实际是他根据比较两个立体任意等高处的截面积来确立它们的体积是否相等的思想基础。祖暅之在刘徽工作的基础上研究球体积问题，他说“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”19。他一方面说“叠棊成立积”，另一方面又说“幂(面积

19、)势”怎么怎么，认为要根据截面积“幂”来确定立体体积的情况。虽然“棊”和“幂”具体是怎样的关系，尚难说定；不过，由于“棊”也正如郭世荣认为的存在于观念之中20，所以并不妨碍我们认为祖暅之把立体看成是由面积叠合而成的。祖氏的话透露出面积为体的思想思想来源于对实际中把有一定厚度的薄的东西一层层地叠合成厚的东西的工作的抽象，同时也反映了刘徽叠面成体的思想来源。这样一来就出现了这样的问题：组成面积的线段是不是有一定数量的宽度，组成体积的面是不是有一定数量的厚度呢?刘徽对此没有明说，考虑到他的割圆术和阳马术注中表现出的无限分割思想，我们认为这些线段或截面是被当做没有具体数量的宽度或厚度的来对待的。否则由

20、这些具有一定数量的宽度或厚度的线段或面积，是不能构成真正理想的三角形或圆锥这一类图形的。这样一来则又出现了这样的问题：我们现在都说零加零还是零，刘徽能毫不迟疑地认为这样一些线段或面积可以积为面或体吗？我们认为，这在刘徽那里，并不会存在什么困难。前面已经说过这种观念来源于对实际经验的抽象，这是中国古代数学的传统。从墨家和刘徽自己处理圆及阳马术问题的观念看，无限分割最后会得到一种没有具体数量的量度的东西，它是原来图形的组成部分,这当然有助于形成和接受点积为线、线积为面、面积为体的思想。而墨家“儇秪”的命题，认为环在地上滚动与地都接触，把环上的点和直线上的点对应起来，这也是很容易促成接受线由点组成的

21、思想的。再者，从道论和魏时王弼“贵无”的哲学角度看，这种思想也是容易接受的。道论认为“有”能从“无”中生出来，又会复归于“无”，道（“无”）这样无限小的东西和有限的东西具有一定的可比性，有限和无限是能沟通起来的。在这种情况下，点积为线、线积为面与面积为体是可以理解的。刘徽的这种观念还能由司马彪的思想得到映证。庄子天下记载惠施有“无厚不可积也，其大千里”的命题。钱宝琮的解释为“积累线段不能成面，积累面不能成体”21。这是一种不可分量不可积的观念。司马彪给这个命题作注时说“物言形为有，形之外为无，无形与有相为表里。故形物之厚，尽于无厚，无厚与有同一体也。其有厚大者，其无厚亦大。高因广立，有因无积”

22、22。说“有厚”和“无厚”的关系如同表里，他似乎是从物体(“形物”也就是“有厚”)的边界来考虑“无厚”的，这样就形象地把“有厚”和“无厚”联结起来，进而他认为“无”可以积为“有”。司马彪卒于晋惠帝末年，时年六十有余23，可见他生于245年前后，和刘徽大致同时而稍晚。这反映出当时认为“无厚”的东西可以积为“有厚”之物的思想，不仅比较符合直观，而且是在当时“贵无”的玄学思想氛围之下比较容易形成和接受的一种观念。从有限过程看刘徽的无限思想3.1刘徽的求微数法九章算术“少广”章的开(平)方术有“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”24的话，开立方术也有类似的话。刘徽作注也相应发表了一些看法。对此，有人

23、认为中算家懂得存在开方不尽的新数，这种数称为“面”，相当于定义了一个无理数。这种观点证据是不足的，但推翻了传统认为的“以面命之”是“以定法加借算”或“不加借算”的错误观点。李国伟论证了“面的使用并没有硬性规定限制在不可开的情形，开尽与开不尽的区别，除了反映有些是平方数、有些不是平方数外，似乎还没有引导出对更深层次差异的认识”25。的确，“面”只是利用对开方的几何解释定义的一个方根，这从刘徽给开(平)方作注时说的：“求方幂之一面也”26，和给开立方术作注时说的：“立方适等，求其一面也”27，可以明白地看出来。而刘徽针对“开之不尽”的情况所说的“令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多

24、。其数不可得而定。故惟以面命之，为不失耳”28，也只是说明刘徽认识到“加不加借算命分”都得到的不是精确值，只有就用被开方数的方根表示才是精确的，至于是不是一定不存在其他任何精确的表示，则语焉不详(反正他没有找到)。如果说九章只是认识到开方存在着不同的情况的话，刘徽和他的前人则对这些情况进行了讨论。前人提出“以借算加定法而命分”的方法,刘徽认为“虽粗相近,不可用也”29，他又考虑到“不加借算而命分”和“加借算而命分”都不精确，总是比精确值要么多一点，要么少一点，“其数不可得而定”，这说明刘徽比前人更深一层地认识到要精确表示“不可开”数的方根的困难。接着他提出一种更为精确的表示方根近似值的方法，即

25、求微数法:“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其二退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之”30。这里有两点值得注意，一是刘徽求微数法是“不以面命之”的一个方法，刘徽既以为“惟以面命之，为不失耳”，则他自己当不以求微数法为完全精确的方法。其次，他认为求微数一直求下去被弃的数就会越来越小，求出来的方根就会越来越接近真实值。但是他并没有无限进行下去，而是在还余下一个“不足言之”的数时就停了下来，所以有人说求微数法是用十进分数无限逼近方根，这是不对的。刘徽既弃掉一个“不足言之”的数，又认为求微数法不是完全精确的方法，当然求微数法就不可能是无限逼

26、近方根的。也就是说刘徽的求微数法虽然可以无限地进行下去，但他只进行到能达到所需精度的有限步就停了下来。可见，刘徽虽然对开方不尽的问题理解比前人深刻，但中国古代数学太注重于实际的传统的确是限制了对理论问题作更深层次的探讨，因而也阻碍了无理数的发现。当然，能否发现无理数还与刘徽“一者数之母”的观念有密切关系。郭书春认为刘徽“一者数之母”的观念“使他可以毫无顾忌地求任何数的精确值或精确近似值,甚至开方不尽时,求十进分数”，这样就关上了“彻底认识无理数的大门”31。李国伟则认为“通过彻底追寻公度的单位，才会体认出不可公度的矛盾”,“如果刘徽真正能彻底坚持一者数之母的主张,也许就能明确的界定出不可公度量

27、的特性”32。应该指出，这两种观点并没有实质性的对立，只是考虑问题的角度不同而已。让我们来考察一下刘徽的思维取向吧。“一者数之母”的主张，不是从来就有的。中国古代广泛存在着“一以统众”的思想，如管子轻重提出“天下之数，尽于轻重”33，把古代统治者所推行的政治和经济措施，全用“轻重”（“轻重”原指钱币的轻重，此书“轻重”已广泛用于表示各种数量关系34）二字统御起来；而道论更是把一切都置于道的统领之下，至王弼他一方面说“演天地之数，所赖者五十。其用四十有九，其一不用也；不用而用以通之，非数而数以之成，即易之太极也”35，认为“一”是统一包括数在内的一切的“太极”而“一”本身不是数；一方面又说“一，

28、数之始而物之极也”，“一，少之极也”36，虽然这里已隐约含有“一为万物之母”而且“一”也可以是数的思想，但这是一种非常模糊的观念。刘徽在这种“一以统众”的思想氛围之下，从前人的思想和自己的数学实践中提炼和升华出“一者数之母”的原理来,这条原理,一旦在他的工作中得到大量的验证,而没有遇到什么困难,是很难想到要怀疑它的。中国古代数学以实用为目的的传统，大大削弱了探求理论基础的动力，而“一者数之母”作为古代数学的原理，正好消除了达到其目的时可能出现的顾忌。事实上,在求微数这个比较容易引导出无理数发现的问题上，中国数学和希腊数学的思维取向几乎是倒过来了，我们似不能指望刘徽在这个问题上完全摆脱其传统的阴

29、影。因为要从开方程序的连续不断进行中寻求矛盾，这本身就是一个需要摆脱无限过程才比较好解决的问题，也就是说这里需要的是如何推导出与“一者数之母”矛盾的命题来。而要研究开方程序的无限进行到底会出现什么情况，需要耗费大量的精力去检验、考察开方到位数很多的情形，而在这些有限情况下获得的结论并不能保证在无限的情况下也能成立。至于对那种难以捉摸的对无限情况的想象，则更容易让人把握不住应该抓到什么来作为本质的基础的东西从而引出矛盾来。所以我们认为“一者数之母”的命题，对刘徽来说它消除了求微数法的后顾之忧，而从整个中国数学史的发展角度看，它则阻碍了无理数的发现。当然，正如李氏已经提到的，要导致无理数的发现，还

30、可能有别的途径，关键在于诱导出逻辑上的矛盾来。然而这既不是中国古代数学的传统，在中国思想史上也不占重要的地位。刘徽明显受墨、道、儒家的影响，但他似未受名家思想的影响。司马彪在给名家的一些命题作注时，往往带有道家和玄学的色彩，有时甚至是支持与名家相反的观点。如他给“轮不展地”作注时说“地平轮圆，则轮之所行者迹也”37，反而说轮是和地面接触的，轮过留下“迹”；又我们上面讲到的他注惠施“无厚不可积也”的命题时说了一大通，也是支持其反面的观点。把求微数的过程无限地进行下去，并不能找到什么办法用一个有限的公式来表示这个结果，况且要把那些微数一个一个地列举完毕，也是不可能的。所以如果没有有效的归谬法，设想

31、刘徽要把这个过程无限地进行下去，也不会得出明确的结论来。下面讨论的刘徽弧田术注也是这种情形。3.2弧田术注刘徽弧田术注中的分割过程过去常常被认为是一个无限的过程。郭书春认为只是“极限思想在近似计算中的应用”38，这是比较正确的。虽然刘徽可以无限地进行下去，但他没有那么做，这也体现出他受以实用为目的的传统的影响。不过，和求微数法相似的是，如果无限分割下去，不仅这种计算没法完结，而且他也恐怕不知有什么用了。这和割圆术是大不一样的，按照割圆术的思想，他把无限过程进行到底然后分割合并，可以得到简明的公式；而把弧田术注的分割无限进行到底，他是没法得到简化的公式的，由于对那些大小不一的三角形他只能一个一个

32、的相加，但这是没法加完的，所以他永远也得不到一个真正精确的值。从这一点来说，刘徽只进行到能得到所需精度的有限步，的确是明智之举。弧田术注和求微数法都是把一个可以无限进行的程序只进行了有限步就停了下来。这两个问题的情形和割圆术及阳马术注都不一样，后两个问题的程序无限进行到底能把问题简化，而前两个问题随着程序的进行，计算会越来越复杂，而如果程序进行到了无穷步，由于没有办法把各个步骤的计算列举完毕，这对解决实际问题是毫无俾益的，但这对研究无限却很有意义。事实上，如果刘徽充分考虑一下他认为求微数程序的不断进行所得到的数会越来越接近方根的真实值，与他认为求微数法不是完全精确的方法之间是不是存在某种矛盾，也许会得到一些意想不到的启示，可是刘徽却并没有把程序进行到底。可见他之于无限，也只是把它作为处理问题的手段和方法，而没有把它本身作为研究的对象。刘徽仍然没有摆脱中国古算讲求实际的传统的影响，在他的方法能满足实际需要之后，去探讨无限的更深层问题的动因就大大减弱了。加之比较成熟的归谬法也没有发展起来，因而刘徽没能从