福建高考数学双曲线专项练习含答案.docx

1、福建高考数学双曲线专项练习含答案福建2019届高考数学双曲线专项练习（含答案）在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。以下是双曲线专项练习，请考生认真练习。1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线左边一支C.双曲线右边一支D.一条射线2.若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A. B. C. D.(,0)3.(2019大纲全国,文11)双曲线C:=1(a0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()A.2 B.2 C.4 D.44.过双曲线=1(a0)的右焦点F作圆x2+y2=a2

2、的切线FM(切点为M),交y轴于点P.若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.5.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足=0,|=2,则该双曲线的方程是()A.-y2=1 B.x2-=1 C.=1 D.=16.已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()A. B. C. D.7.(2019福建莆田模拟)已知双曲线=1的右焦点的坐标为(,0),则该双曲线的渐近线方程为.8.A,B是双曲线C的两个顶点,直线l与双曲线C交于不同的两点P,Q,且与实轴所在直线垂直.若=

3、0,则双曲线C的离心率e= .9.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)在(2)的条件下求F1MF2的面积.10.(2019福建厦门模拟)双曲线=1(a0)的一条渐近线方程是y=x,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(a,0),B(0,-b).(1)求双曲线的方程;(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N求时,直线MN的方程.能力提升组11.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴

4、长为()A. B.2 C.4 D.812.已知点P是双曲线=1(a0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点I为PF1F2的内心,若+成立,则的值为()A. B. C. D.13.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A.3-2,+) B.3+2,+)C. D.14.(2019浙江,文17)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线=1(a0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.15.(2019湖南,文20)如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a10

5、)和椭圆C2:=1(a20)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|=|?证明你的结论.16.已知双曲线E:=1(a0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.1.C解析:|PM|-|PN|=34,由

6、双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.又|PM|PN|,点P的轨迹为双曲线的右支.2.C解析:双曲线的标准方程为x2-=1,a2=1,b2=.c2=a2+b2=.c=,故右焦点坐标为.3.C解析:e=2,=2.设焦点F2(c,0)到渐近线y=x的距离为,渐近线方程为bx-ay=0,c2=a2+b2,b=.由=2,得=2,=4,解得c=2.焦距2c=4,故选C.4.A解析:如图所示,在RtOPF中,OMPF,且M为PF的中点,则POF为等腰直角三角形.所以OMF也是等腰xx.所以有|OF|=|OM|,即c=a.故e=.5.A解析:由=0,可知.可设|=t1,|=t2,则t1t2=2.在MF1F2x

7、x,=40,则|t1-t2|=6=2a.解得a=3.故所求双曲线方程为-y2=1.6.A解析:双曲线的离心率为2,=2,abc=12.又|AF1|=4a,|AF2|=2a,|F1F2|=2c=4a,cosAF2F1选A.7.2x3y=0解析:因为右焦点坐标是(,0),所以9+a=13,即a=4.所以双曲线方程为=1.所以渐近线方程为=0,即2x3y=0.8.解析:如图所示,设双曲线方程为=1,取其上一点P(m,n),则Q(m,-n),由=0可得(a-m,-n)(m+a,-n)=0,化简得a2-m2+n2=0.又=1可得b=a,故双曲线的离心率为e=.9.(1)解:因为e=,所以可设双曲线方程为

8、x2-y2=.因为双曲线过点(4,-),所以16-10=,即=6.所以双曲线方程为=1.(2)证明:由(1)可知,在双曲线中a=b=,所以c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0).所以=(-2-3,-m),=(2-3,-m),则=9-12+m2=m2-3.因为点(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.所以=m2-3=0.(3)解:由(2)知F1MF2的高h=|m|=,由F1MF2的底边|F1F2|=4,则=6.10.解:(1)设直线AB:=1,由题意,所以所以双曲线方程为=1.(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜

9、率存在.设直线MN:y=kx-3,所以所以3x2-(kx-3)2=9.整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-6=,x1x2=,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.因为=(x1,y1-3),=(x2,y2-3), =0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即+9-+9=0,解得k2=5,所以k=,代入有解,所以lMN:y=x-3.11.C解析:设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m0),因为抛物线的准线为x=-4,且|AB|=4,所以|yA|=2.把坐标(-4,2)代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4,

10、所以双曲线方程为x2-y2=4,即=1.所以a2=4,所以实轴长2a=4.12.B解析:设PF1F2内切圆半径为r,根据已知可得|PF1|r=|PF2|r+2cr,整理可得|PF1|=|PF2|+2c.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,则2c=2a,故=.13.B解析:由a2+1=4,得a=,则双曲线方程为-y2=1.设点P(x0,y0),则=1,即-1.=x0(x0+2)+=+2x0+-1x0,当x0=时,取最小值3+2.故的取值范围是3+2,+).14.解析:双曲线=1的两条渐近线方程分别是y=x和y=-x.由解得A,由解得B.设AB中点为E,则E.由于|PA|=|PB|,所

11、以PE与直线x-3y+m=0垂直,而kPE=,于是=-1.所以a2=4b2=4(c2-a2).所以4c2=5a2,解得e=.15.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.由椭圆的定义知2a2=2.于是a2=2.故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,xxA(),B(,-),所以|=2,|=2.此时,|.当x=-时,同理可知,|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.

12、由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=0,于是+2-2,即|,故|.综合,可知,不存在符合题设条件的直线.16.解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=

13、a,从而双曲线E的离心率e=.(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为OAB的面积为8,所以|OC|AB|=8,因此a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k2或k-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=,由SOAB=|OC|y1-y2|得,=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得,

14、(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k20,=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又m2=4(k2-4),所以=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-2或k-2.由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k20,0,所以x1x2=,又因为OAB的面积为8,所以|OA|OB|sinAOB=8,由已知sinAOB=,所以=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k20,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为=1.当lx轴时,由OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.双曲线专项练习及答案的全部内容希望考生可以通过试卷查缺补漏。